系统零极点分布恶特性

j
)
(s P )
i
响应： r ( t ) R( s )
u
R( s )
(s z ) (s z
l 1 v l
m
(s P ) (s p )
k 1 k

j 1 n
j
)
Ai Ak R( s ) i 1 s p i k 1 s p k
§4.7 由系统函数零、极点分布决 定时域特性
• 序言
• H(s)零、极点与h(t)波形特征
• H(s) 、E(s)的极点分布与自由响 应、强迫响应特性的对应
一．序言
冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方 面表征了同一系统的本性。 在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点 分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多 规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的 零、极点分布表现出来。 主要优点：
v
n
r ( t ) L1 R( s )
pi t pk t A e u ( t ) A e i k u( t ) i 1 k 1
n
i 1
i
v
自由响应分量 ＋强制响应分量
X
第
几点认识
•响应函数r(t)由两部分组成： 系统函数的极点自由响应分量； 激励函数的极点强迫响应分量。
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当 α 0 ，极点在左半平面，衰减振荡 当 α 0，极点在右半平面，增幅振荡
第
二阶极点
1 H ( s ) 2 , 极点在原点 , h( t ) tu( t ), t , h( t ) s 1 H ( s) , 极点在实轴上， 2 ( s a)
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h( t ) t e t u( t ), α 0, t , h( t ) 0
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1．可以预言系统的时域特性； 2．便于划分系统的各个分量 （自由／强迫，瞬态／稳态）； 3．可以用来说明系统的正弦稳态特性。
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二．H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应
1．系统函数的零、极点
( s z1 )( s z 2 ) ( s z j ) ( s z m ) A( s ) H ( s) K B( s ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pk ) ( s pn ) m z1 , z 2 z n (s z j ) 系统函数的零点 j 1 K n p1 , p 2 p n ( s pk ) k 1 系统函数的极点
暂态响应和稳态响应
瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现 的有关成分，随着t增大，将消失。 稳态响应＝完全响应－瞬态响应 左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。
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2s H ( s) 2 , 在虚轴上， 2 2 (s ω ) h(t ) t sin tu(t ), t , h(t ) 增幅振荡
有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随 t , ht 0 ， H ( s ) 这表明的极点位于左半平面，由此可知， 收敛域包括虚轴，F s 和F (j ) 均存在，两者可通用，只 需 s j 将即可。
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•定义系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率 （或称“自然频率”、“自由频率”）。 H(s)的极点都是系统的固有频率； H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失。
•自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励 函数的形式无关，然而系数 Ai , Ak与H s , E s 都有关。
三．H(s) 、E(s)的极点分布与自由响应、 强迫响应特性的对应
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激励： e( t ) E ( s )
E ( s)
(s z ) (s P )
k 1 k l 1 v l
u
系统函数：h( t ) H ( s) m
H ( s)
j 1 n
(s z
i 1
在s平面上，画出H(s)的零极点图：
极点：用×表示，零点：用○表示
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2．H(s)极点分布与原函数的对应关系
几种典型情况
jω0
j
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α
O
α

jω0
第
一阶极点
1 1 H ( s) , p1 0在原点， h( t ) L [ H ( s )] u( t ) s 1 H ( s) , p1 a sa a 0, 在左实轴上 , h( t ) e at u( t ), 指数衰减
a 0, 在右实轴上 , h( t ) e at u( t ), a 0, 指数增加 ω H ( s) 2 , p1 jω, 在虚轴上 2 s ω h( t ) sinωtu( t )，等幅振荡 ω H ( s) , p1 α jω, p2 α j , 共轭根 2 2 (s α ) ω