中考数学 二次函数综合试题含详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（6分）（2015•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．

注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．

【答案】（1）y=-2x-3；（2）．

【解析】

试题分析：（1）把A,B两点坐标代入，求待定系数b,c，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE，点F是AE中点，H是AB中点，则FH为三角形ABE的中位线，求出BE的长，FH就知道了，先由抛物线解析式求出点E坐标，根据勾股定理可求BE，再根据三角形中位线定理求线段HF的长．

试题解析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴把A,B两点坐标

代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点E（2，m）在抛物线上，∴把E点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E（2，﹣3），∴BE==．∵点F是AE中点，点H是抛物线的对称轴与

x轴交点，即H为AB的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH=BE=×=．∴

线段FH的长．

考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理．

2．如图，抛物线y＝1

2

x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，

0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；

（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为 （32，﹣258

）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（

32，﹣54）． 【解析】

【分析】

（1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；

（2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；

（3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 32

=对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线x 32

=

交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标． 【详解】 （1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =

+bx ﹣2上，∴2112⨯-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-

，∴抛物线的解析式为y 21322x =-x ﹣2． y 21322x =-x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228

x =--（），∴顶点D 的坐标为 （3

2528，

-）． （2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2．

当y ＝0时，

21322

x -x ﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．

∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2+OC 2＝5，BC 2＝OC 2+OB 2＝20，∴AC 2+BC 2＝AB 2．∴△ABC 是直角三角形． （3）∵顶点D 的坐标为 （3

2528，-），∴抛物线的对称轴为x 32

=．

∵抛物线y

1

2

=x2+bx﹣2与x轴交于

A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x

3

2

=对称．∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，y2

13

22

x

=-x﹣2＝﹣2，则点C 的坐标为（0，﹣2），则BC与直线x

3

2

=交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．

设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：

2

40

b

k b

=-

⎧

⎨

+=

⎩

，解得：

1

2

2

k

b

⎧

=

⎪

⎨

⎪=-

⎩

，∴y

1

2

=x﹣2．

当x

3

2

=时，y

135

2

224

=⨯-=-，∴点M的坐标为（

35

24

-，）．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．

3．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．

（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；

（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：

（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分