高三理数一轮讲义：8.7.1-利用空间向量求空间角

第7节立体几何中的向量方法

第1课时利用空间向量求空间角

最新考纲 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.

知识梳理

1.异面直线所成的角

设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则

a 与

b 的夹角β

l 1与l 2所成的角θ

范围 (0，π) ? ????0，π2 求法

cos β＝a ·b

|a ||b |

cos θ＝|cos β|＝|a ·b |

|a ||b |

2.求直线与平面所成的角

设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n |

|a ||n |. 3.求二面角的大小

(1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内的大小θ＝__〈AB

→，

与棱l 垂直的直线，则二面角CD

→〉.

(2)如图②③，n 1，n 2 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角). [微点提醒]

1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|.

2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补.

基础自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( )

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( )

(4)两异面直线夹角的范围是? ????0，π2，直线与平面所成角的范围是???

???0，π2，二面角的范围是

[0，π].( )

2.(选修2－1P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( ) A.45°

B.135°

C.45°或135°

D.90°

3.(选修2－1P112A4改编)已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－1

2，则l 与α所成的角为( ) A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

4.(2018·郑州调研)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为( ) A.32

B.33

C.35

D.25

5.(2019·南宁二中、柳州高中联考)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，AA 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为________.

6.(2019·大连预测)过正方形ABCD 的顶点A 作线段P A ⊥平面ABCD ，若AB ＝P A ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角为________.

考点一用空间向量求异面直线所成的角

【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB

＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.32

B.155

C.105

D.33

(2)(一题多解)(2019·河北、山西、河南三省联考)在三棱锥P －ABC 中，△ABC 和△PBC 均为等边三角形，且二面角P －BC －A 的大小为120°，则异面直线PB 和AC 所成角的余弦值为( ) A.58

B.34

C.78

D.14

规律方法 1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v 1，v 2；(3)代入公式|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2|

|v 1||v 2

|求解.

2.两异面直线所成角的范围是θ∈? ?

???0，π2，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的

方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.

【训练1】 (一题多解)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝2AB ，E ，F 分别为BC ，BB 1的中点，M ，N 分别为AA 1，A 1C 1的中点，则直线MN 与EF 所成角的余弦值为( ) A.3

5 B.3

C.12

D.45

考点二用空间向量求线面角

【例2】 (2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点. (1)证明：PO ⊥平面ABC ；

(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －P A －C 为30°，求PC 与平面P AM 所成角的正弦值.

规律方法利用向量法求线面角的方法：

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所

夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.

【训练2】(2019·郑州测试)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是

平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠ABD＝π

6，AB＝2AD.

(1)求证：平面BDEF⊥平面ADE；

(2)若ED＝BD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值.

考点三用空间向量求二面角

【例3】(2018·武汉模拟)如图1，在高为6的

等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB

＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥

平面BCO1O，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB.

(1)(一题多解)证明：OD⊥平面P AQ；

(2)若BE＝2AE，求二面角C－BQ－A的余弦值.

规律方法利用空间向量计算二面角大小的常用方法：

(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后

通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图

形判断所求角的大小.

(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

【训练3】如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝BC＝CC1＝2CD，E为线段AB的中点，F是线段DD1上的动点.

(1)求证：EF∥平面BCC1B1；

(2)(一题多解)若∠BCD＝∠C1CD＝60°，且平面D1C1CD⊥平面ABCD，求平面BCC1B1与平面DC1B1所成角(锐角)的余弦值.

[思维升华]

1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.

2.合理建立空间直角坐标系

(1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同.

(2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点.

(3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.

[易错防范]

1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.

2.利用向量法求二面角大小的注意点

(1)建立空间直角坐标系时，若垂直关系不明确，应先给出证明；

(2)对于某些平面的法向量，要结合题目条件和图形多观察，判断该法向量是否已经隐含着，不用再求.

(3)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误.

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于()

A.120°

B.60°

C.30°

D.60°或30°

2.在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成角大小为()

A.π

6 B.π

4 C.

3 D.

3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝4，AB ＝2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M.则CD与平面ACM所成角的正弦值为()

2 B.

3 C.

3 D.

4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为()

A.1

2 B.

3 C.

3 D.

5.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()

2 B.

2 C.

3 D.

二、填空题

6.(2019·昆明月考)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，

AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直

线EF和BC1所成的角是__________.

7.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________.

8.(一题多解)已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为________.

三、解答题

9.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.

(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；

(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.

10.(2019·河北五校联考)如图，在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C.

(1)求证：A1C1⊥B1C；

(2)(一题多解)求二面角B1－A1C－C1的正弦值.

能力提升题组

(建议用时：20分钟)

11.(2019·长沙雅礼中学检测)在三棱锥P－ABC中，点P在底面的

正投影恰好是等边△ABC的边AB的中点，且点P到底面ABC的

距离等于底面边长.设△P AC与底面所成的二面角的大小为α，

△PBC与底面所成的二面角的大小为β，则tan(α＋β)的值是()

A.3

4 3 B.

5 3

C.－8

13 3 D.－

8 3

12.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()

5 B.

3 C.

5 D.

13.如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为__________.

14.如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG

且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2.

(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；

(2)求二面角E－BC－F的正弦值；

(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.