09-10第二学期高数答案A

广东海洋大学 2009 — 2010 学年第 二 学期

《 高 等 数 学 》课程试题答案

课程号： 19221101x2

□√ 考试

□√ A 卷

□√ 闭卷

□ 考查

□ B 卷

□ 开卷

一、 填空（3×8=24分）

1. 设{}2,1,3--=a ρ

，{}1,2,1-=b ρ，则=

∧),cos(b a ρρ21

23

2. 同时垂直于向量{}1,2,2=a ρ

，{}3,5,4=b ρ的单位向量为{}2,2,13

1-±

3. 曲线mx y 2=，x m z -=（m 为常数）在点),,(000z y x 处的切线方程为

1

210

00--=-=-z z m y y x x

4.

=+-→y

x e xy y x 21lim )1,0(),(0

5. 函数z xy u 2=在点)2,1,1(-处的梯度为{}1,4,2-

6. L 为圆周222a y x =+（0>a ），则=⎰+L y x ds e

2

^2^a e a π22^

7. 幂级数∑

∞

=-1

)

1(n n n

n x 的收敛半径为1

8. 微分方程x e y =''的通解为21C x C e y x

++=

二、 计算下列函数的导数或微分（2×6=12分）

1. 设

y x v y x u v

u

z -=+==, ,arctan ，求dz 。 解：2

22

22

2

22

211111y x y v u u v v u

v u v

v

u x z +-=

+-=

-+

++=

∂∂（3分）

2

22

22

2

22

211111y x x v u u v v u

v u v

v

u y

z +=

++=

+

++

=∂∂（2分）

dy y x x dx y x y dz 2

22

2++

+-=

（1

分）

2. 设y

z z

x ln =，求x z ∂∂和y

z ∂∂。

解：

0ln )..(=-=

y

z

z x z y x F （1分） 则 z

F x 1=，2

y z

z y F y

=

=y

1，z

z x F z

12

-

-

= （3

分）z

x z

F F

x z z x -=-=∂∂ )

(2

z x y z F F y z z y +=-=∂∂（2

分）

三、 计算下列函数的积分（4×7=28分） 1.

σ

d xy D

⎰⎰

，其中)0(:222>≤+a a y x D 第一象限部分。

解：原式⎰⎰

=

=2004

43

8

cos sin π

θθθa a

dr r d 分

(3分)

2.

⎰⎰⎰

Ω

++dV z y x 222，其中Ω是由球面z z y x =++222所围的闭区域。

解：原式⎰⎰

⎰=

=

π

π

ϕ

π

ϕϕ

θ

20

2

cos 0

4310

sin 分

dr r d d （3分）

3.

xdy dx e L

y +⎰2^，其中L 为1,1±=±=y x 所围成的矩形域边界线的正向。

解：原式⎰⎰⎰⎰==

-=D

D

y dxdy dxdy ye

41)21(32

^分

（4分）

（由对称性得022^=-⎰⎰dxdy ye D

y ）

4.

⎰⎰∑

++xzdxdy yzdzdx xydydz ，

其中∑为平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。 解：原式8

1)2)(21()()(11

010

2

31

010

10

3分分分=+-=

++=

++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Ω

---dy y x dx dz z y x dy

dx dV

z y x x

x

y

x

四、 解下列微分方程（2×7=14分） 1. 求微分方程0cot )3(=++xdy dx y 的通解。 解：x

y dx

dy cot 3

+=

，xdx dy y tan 31=+，（3分）C x y +-=+cos ln 3ln ，（3分）

3cos -=x C y （C 为任意常数）（1分）

2. 求微分方程x e y y 4=-''的通解。

解：0=-''y y ，012=-r ，1±=r ，x x e C e C x Y -+=21)(（3分） 设x axe x y =)(*，2=a ，x xe x y 2)(*=（3分） x x x xe e C e C x y x Y x y 2)(*)()(21++=+=-（1分） 五、 级数的应用（2×8=16分）

1. 将)4ln()(x x f +=展开成x 的幂级数，并指出收敛域。 解：∑

∞=-=+

=+04)1(41411

4

1

41n n n n x x x )4,4(-∈x （3分）

1

0104

)1()1(414ln )4ln(+∞

=+∑

⎰

+-=+=-+n n n n x

x n dx x

x

10

14)1()1(4ln )4ln(+∞

=+∑+-+

=+n n n n

x n x （4分）]4,4(-∈x （1分）

2. 将函数)0(1)(π≤≤=x x f 展开成正弦级数。

解：)(x f 作奇延拓展成正弦级数，),3,2,1,0(,0Λ==n a n ，（2分）

⎪⎩⎪⎨⎧===--=-==⎰

Λ

Λ,6,4,2,0,5,3,1,4

])1(1[2)cos 1(2sin 2

0n n n n n n nxdx b n

n π

πππππ

（4分）

x n n x f n )12sin(1

21

4

)(1--=

∑

∞

=π ),0(π∈x （2

分）

六．证α

ααb b b n n n n n n ==∞→∞

→lim )(

lim ，（4分）得当αb 发散。（2