北京大学南京大学量子力学考研试题题库

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征值 和本和f函
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学 (b)在 宏农象巾,求 箅符
ε的铡i阵 表示 ,以 及 月的本 征竹 和l本 征 函数 。
)供ε 奋兀二砷 · ⑹ 求从 ⒔农象到 捻表象^的和幺i∷ 变换知阵。
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量子力学习题 No.3
2012荃 F7卢J5Fl
l。 沿 肴 J方 向运 动 的一 维 粒 子 的 Ilamilt【 J“ 扪 为 夕=~ε Ⅰ苎1+16ε 父2
式屮 ε楚具有能呈量纲的实数。
(⑴ 问 ψ⑺ =风 c2′ 是不是 玎 的本征函数 (A是 待求的归一化 系数 )?若 足,
求能量本征值 ⊙
⑹ 讠|^算 在 艿负轴找到粒子的概率。 (㈡ 求相应 于波 函数 ￠⑺ =2觅Ψ⑴ 的能量本征值 。
Q
(d)￠ ⑺ 和 Ψ⑺ 是否正交 ?
2.(酋 讠直讠亩4,6)设 F(贪,n是 辊 和 ヵ
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函数足指
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参 式 巾 C夯∴7足 数 仇 系数 c证 明
驻波 。你认 为足 否合 理 ?请 给 予解 释 。
Q ⒉奄美潆i洲 居瓦剞 黟昃芽泔诬胛 襁 饣匙茹岛钅舅F而↑轮窍窆禾筱 庋为△ %yO,ln∫ 位置不确趸度则楚Δ觅≈ε,因 此下列关系式似乎成立
`x<√
考 △觅·Δ
√’/P yO伤 《 沟
`x≈
这似乎 与测 不准 关 系矛盾 。 以上论证 的错 误何 在 ?
lcl)亻殴设在 莎=0时 刻 测址 系 统 能量 ,发 现 系统 处在 基 态 。能量 测 呈 完成 后 ,j讧
即求 系统 处在 佣〉态 的概率 。
习 7.(旧 洋古 8.3)已 知 Ⅱσ1nitia11彳 、⒚满足 ″ ±⒑2=1,启 窍+虑
考虑 简并 。
(⑴
在
孟表 象 中 9求 箅符
月和
宕的矩 阵表示 ,以 及
~' 夕=匹 +9石 +y(㈥
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pr足 径向动⒈t卸:符 ,￡ 是角动址算符c订 r明
(a)角 动计内-j∷ 个分呈 勹虍均对易,即 |充 f,臼 =o,氵 =丌 ,y,z
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3,(酋 滩"b宙川′4.17)定 义球 坐标 系 中的径 向动量算符 为
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证明
供 (㈤ 力严足 厄 米 算 符 ,即 耐 =pr
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4.质 甘为 u的 粒 了在 有 心力场 屮运动 ,J〔 ⅡaInjlk)11ian吖 j球 坐标表 示 为
式 丨||马 足实 数 ,其 有 能量景纲 。 设有 某种相 互作川 泞′能亻吏D和 万 Ι相转咬
, 差/|D〉 =ε 0|万 〉
舟′|I,〉 =ε 0|D〉
式 l||旬 出是 实 数 ,少1有 能址 址 纲 。如 呆 诊=0时 亻1ˉ -味 纯 的 D粒 F,求 r时 刻在
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Chapter12 syⅡ l1netrics and C)onscfvauOn1⒙Ⅵ/s
n1:γ 4,转式珈动中惯`和静量为〃唧分r的别平为烁雨系i转缈统了瞍在聊度这0≤』9殪≤奸2丌⒅l广运义动坐。标请·,川积Ⅷ分ls是oΙ拍礻s椭沿Om右rn系系σ?统№1l的d∶∶址运l动子÷化慌殁乇条(佩邪鐾′罗扩 ℃翳
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7. (柯 善哲 2.ll)粒 子 处在 ¨维 半壁无 限高谐振子 势场 中
y⑺ ={雾 艿2,I∷
(㈤ 具体 求解 定态 闷题 , 得 到基 态能量 。
(b)与 对称 谐振 :r势 场 y ⑺ =尝 庀 解作 比较 ,能 得 出什 么结论 ?
`的
8, (曾 谨 苗3。 15)质 量 为 昭 的粒 子在 如 图所示 的势场 中运动
着 圆周轨道运 动 。利用 Bollr的 量子化条件
丁、=刀 力, 刀=1,2,¨ ·
式 中 厶是轨,道 角动 呈 ,证 明圆周轨道半径和 能址为
‰=刀2r/Jl,,J刀 =-繁
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式 中 幻 和 RII分 别 是 氢 原 子 的 Bo扯 半径 和 Rydbc喟 常 数
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式 屮 εΙ1有 能景最 纲 c
(㈤ 测 蛀 能虽 可 以得 到哪些可 能值 ?
(b)如 呆测 址 能甘得 到 一ε后 ,立 即测量 A,有 哪 些 叮能测 呈 值 ?每 个测址值 的
衤u应 概 率 是 多少 ?
⑹ 汁算不确 定庋 △A。 6。 设某量 子系统 的 Hamiltonian为
″⑺ 蚰竿参 拶肾 3,质 杜为 叨 的粒jF在 一维无限深势阱 (0≤ x≤ 况)中 运动 y
=隽
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习 仃叶能测值及硐 M贤 轧 召≡罕|⒋
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率 ,计 箅粒 子 处于新基 态 ￠l的 几 呵 :x-^
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(⑾ 求 能级 公式 。
(b)讨 论极 限情 况 ,砑 → 0,%→ ∞ ,但 2砑 yO=γ (有 限值 )。
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习 学 9. 一个 质景 为 m的 粒 了以任 意 能量 J>0从 左 方 入 射 一 个任 意形 状 的坍垒 y⑺ ,
设 艿→ -∞ 时 y(ヵ → o9当 宽→ +∞ 时 ,y⑴)→ 一y。 (0,如 下 图所示 。同一 个粒 子 以本H冂 能呈从 右方入射 该势场 ,证 明在这两种 情况 卜透 射 系数1· ll等 。
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⑷ 求 Ex n勹 本征 值 和 本征 态 。
参叼
习 (b)在 叫 态 屮求平 均俏 〈E茁 〉、￠1〉 和 〈El〉 。
v=拮 (㈡ 在
σ?+丐 1)态 中求 平 均值 〈Ex〉 、c1〉 和 σ`1〉 。
4.`=1"`J,',Ez的 共 ll本 绗|∶ 态 叫 ⒅,tDl、 叫 ⒅,tpl和 Y了 l lrJ,⑵ 矽i了 帘 闷 屮足 完 各的 c
供
10, 有 ¨个相当简化的氢1分 子离子 (饥p模 型。电子在两个质了组成F句 一维对称势
场 中运动
w㈤ 一响卜卜+知 +巾 -豹 |
式 巾 伤为质1r之 问足u离 ,设 为常数 。求束缚态基态 能蚩和 波 函数 。
量子力学 习题 No.5
⒛ 12年 7月 9日
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(㈡ 利 lll丬 题 5.2F向 结 呆 ,∮ 新 在 叫 四,r/,l态 屮 汁鳋1Lx的 刂能测伯 和 丬1|应 儿率 。
5.,l∫ D及 JJ1反 粒 ∫ D颀 坩丬丬1l ll, ·l以 汰为足 臼山 HaΠ liltOllian Jr)∫ 臼洵 许态
FJO|D〉 =马 {D〉 , rrl)|D〉 =￡0|D〉
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景子力学 习题 No.4 zO12年 7月 6日
1.质 置 为 JPT的 粒 子 在
率帆 。huli汰 为是
^维 无 限深 势 阱 (-砑 ≤x≤ 曰)内 运 动 ,写 出Jt基 态 的动 亢1概
￠ 一 lO90=扣 (`亻 :誓 )+:J(`x+鹜 )
饫u阱 内的动 址 谱 足 ikIl个 在全 实轴 上反 向运 行 的 唯色 de BlO四 ic波 线 性 叠 加而 成 的
具体给 出 幻 和 RFf的 值 。下述量或表达式可 能有用
习 l ClL/ =l,6× 10ˉ 19J
″7召 C2=0.5111N/1eV
学 九ε =19⒎ 33McVfm=19⒎ 33× I()15McV∶ lt、
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=丽召2
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供 13,质 策为 阴 的…维谐振子在 一Ω≤艿≤曰运动。
-/求 它的能量 。Ⅶ bc,J1Som1nσ 妃ld量 子化条件
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)=Ξ
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0
(a)右 弹性系数突然增加 1倍 ,即 势场突然变为 ⒕⑺ =灯
即测计粒 子能
计,求 粒f处 于 饧 势场的基态的概率。
`,随
(b)势 场 山 叽 突变为 吻 后 ,不 进行测最 ,经 过 ^段 时问 r后 让势场豆新恢父 成 ∽,闷 t取 何值时粒 子正好恢复到原势J历 yl n勺 基态?
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虽 子力 学 (南 京人 学 )△ 虽 子力学 (北 京大 学 )习 黾
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量子力学 习题 No。 1
zO⒓ 年7月 2H
1.一 根 功率为 眄 lcW的 广 播天 线 ,发 出频率 为 4M11z的 无 线 电波 。计 算每秒种 发 出
的光子数 闩。
2.在 Bol1r的 氢 原子模 型 中,质 量为 阴ε的核 外 电子绕 原 了核 (质 母 ~r认 为是 ∞ )沿
⑶ i匝 过对这 二 个夙 于
一本征值 2∥ n勺 本和丨:态 作 线性 纰 合 ,求 解 r,f'汀 ∫‘J共
学 H本 '冂 彳 叫 ′ if态
lF,′ ,Φ )、
叫 lrJ′ ,Φ ′)和 Y丁 lσ ,￠ 勹1。
⑹ 根掘 腼 ⑷ 帕 祧 将 Ⅵ巴 ⑵
供 {g⒊ F唧 系展 丌 ,从 而在 叫 ⒅,⑼ 态 屮 汁箅 〃 丨胃lf岿品丨辎
Chapter6 ()hapter7
习 0ne-Dir11ensional PrOblcms
MOtion in a Centrall氵 ield
Spin and Λngular MOmcnt1HTl MOtiOn in∷ Elcc{rOmagnejcI氵 icld
()l)apter8
Cllaptc· r9 Chapter10
Q
考 泞=凡 (}伤 〉〈D+|D〉 〈倪)+2Jd c〉 〈c
式 屮 |围 〉,`9〉 ,0〉 构 成 系统 的 交 归 ^宄 备的基矢 ,玩 足 实常数 。
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参 ⑷ 求 该系统 的能l诖 本行E值 和相应 的本征 函数 。
llD)设 正=0时 刻 糸绍i处 在 浼〉态 ,求 ‘>0时 刻 系统状态 。 (㈡ 若在 ‘=o时 刻测i古 系统 能呈 ,问 可 能 的测 量值 和才H应 的概 率 。