数学文化与数学史
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40.斐波那契命题：
41.在约瑟夫问题中，若设排成一圈的人数为n，并且从1号开始按顺时针方向点数，每点
到2，第2号被扔进大海。记最后剩下的一个人位于第J(n)号。试给出J(n)与n的一般关系式，并计算J(100)和J(500)。
42.奥雷姆级数求和
25.
26.
Lecture7文艺复兴时期的欧洲数学
44.列出Dürer幻方的性质。
对于教师来讲，要使个体知识的发生遵循人类知识的发生过程，那么数学史就成为了数学教学的有效工具。将数学史作为一种资源运用到教学中，给教学提供一种新的视角，发挥其启发和借鉴的作用，并丰富课堂教学，使教学活动变得自然而有趣。这对数学教育改革也具有极其重要的意义。
Lecture1古代数学（II）：美索不达米亚
2.谈谈你对数学史教育价值的认识。
一门学科一座桥梁一条进路一种资源一组专题
对学生来讲，通过对数学史的学习，有利于学生对数学知识的掌握和数学能力的提高,它不仅使学生获得了一种历史感，而且，通过从新的角度看数学学科，他们将对数学产生更敏锐的理解力和鉴赏力，有利于学生对数学的思考,促进学生的数学理解，启发学生的人格成长，有利于激发学生的情感、兴趣和良好的学习态度,有利于辩证唯物主义世界观的形成,有利于学生了解数学的应用价值和文化价值。
，
，
则有：
18.勾股容方公式证明
19.试述刘徽和祖暅的球体积工作。
正方形与其内切圆的面积之比都是：
由“截面原理”可得：
于是我们只要求出牟合方盖的体积即可求出球的体积。
刘徽：提出从立方体割出牟合方盖之后所余的“外棋”着手。但是外棋的复杂难倒了刘徽。
祖暅：对边长为D的正方体及其内牟合方盖的八分之一进行考察如右图并将其分解为一个内棋和三个外棋
祖暅公理：用平行于底面的平面去截两个等高的立体，如果所得的两个截面面积处处相等，则这两个立体的体积就相等。
20.简要介绍刘徽的割圆术。（要求写出相关公式）
圆内接正多边形边长递推公式：
Lecture 4古希腊数学
21.描述希皮亚斯（Hippias,公元前5世纪）的割圆曲线，并用利用它来三等分角。
22.用欧几里得的方法证明勾股定理。
(1)n是素数(2)n是合数，但他只能被大于P的素数整除
这两种情况都和P是最大素数矛盾。所以假设错误，所以素数是无限
24.欧几里得方法推导等比数列求和公式：
27.如图所示，ADBC是球O被纸面所截得的大圆，AB和CD是其相互垂直的两条直径。XVWY是球O的外切圆柱（以AB为轴）的相应截面。阿基米德通过力学方法发现：球O的体积等于直径为CD且垂直于纸面的大圆为底、以B为顶点的圆锥BCD的体积的4倍。试介绍阿基米德的方法。
在天元术中写出一个多项式，常常是在一次项旁记入一个“元”字，或正常项旁记一个“太”字。
天元术只表示一个未知数，即一元。
32.什么是大衍求一术？
Leabharlann Baidu中国剩余定理
33.杨辉构造四阶幻方
1）十六子斜排2）上下对易，左右相更3）四维挺进
34．
35.阿拉伯数学家阿布·韦发（Abu’l-Wefa, 940-998）是如何推导和角正弦公式的？
（5）I、III象限的右列数字之和相等，且等于II、IV象限的左列数字之和；I、III象限左列数字之和相等，且等于II、IV象限的右列数字之和。
（6）第一行和第四行的平方和相等，第二行和第三行的平方和相等。
（7）第一列和第四列的平方和相等，第二列和第三列的平方和相等。
（8）两条对角线上的数字和等于不在对角线上的数字和。
右图就是Durer幻方
（1）每行、每列和每条对角线上的数字之和为34；
（2）关于两对角线交点对称的任意两数的和为17；
（3）每一象限（I、II、III、IV）的数字之和为34；
（4）I、III象限的上行数字之和相等，且等于II、IV象限的下行数字之和；I、III象限下行数字之和相等，且等于II、IV象限的上行数字之和。
7.
8.见第4
9.和差术推导椭圆标准方程
Lecture2古代数学（I）：埃及
10、Rhind纸草书问题79是一个等比数列求和问题，介绍其中蕴涵的等比数数列求和方法。
11.“埃及几何学中的珍宝”是什么？
正四棱台体积公式：
12.数列求和公式：
.
Lecture4古代数学（III）：中国
13.同号两数相减，等于其绝对值相减；异号两数相减，等于其绝对值相加；零减正数得负数，零减负数得正数。
（9）两条对角线上的数字平方和等于不在对角线上的数字平方和。
（10）两条对角线上的数字立方和等于不在对角线上的数字立方和。
45.给出三次方程x3+px=q的求根公式。
46.利用16世纪法国数学家韦达（F.Viète,1540-1603）的方法推导平面三角中的和差化积公式sinα±sinβ。
47.韦达的方法推导和差化积定理：
6.古巴比伦时期的泥版Str.362上记载了如下问题：“十兄弟分银 迈纳，每个兄弟均比相邻的弟弟多得若干，已知老八分得6斤（1迈纳＝60斤）。问：各兄弟比相邻的弟弟多得几何？”泥版上给出的解法是：“取十兄弟所得平均数10斤，倍之，得20斤；减去老八所得的两倍即12斤，得8斤。于是，公差为 斤。”用我们今天的代数符号来表达这一解法，并写出一般公式。
36.阿尔·海塞姆自然数二次幂和公式：
37.阿拉伯数学家阿尔·卡克希（Al-Karkhi, 953-1029）是如何推导自然数三次幂和公式的？
如下图所示：
38.内绥尔丁证明正弦定理
Lecture6
39斐波纳契《计算之书》中有如下问题：“棋盘（64格）上的数列满足：任意一项等于它前面所有各项和的两倍。已知首项为1，求棋盘上数列各项之和。”试用今天的方法求解。
3.研究古巴比伦时期的泥版BM15285。设想你是一位祭司，你会提出什么数学问题？
4.美国哥伦比亚大学收藏的Plimpton 322号巴比伦泥版的内容是什么？
泥版上有15行、4列数字，原来人们还以为是一份帐目。但是，奥地利著名数学史家诺伊格鲍尔（O. Neugebauer, 1899～1990）经过研究惊奇地发现：第3列数与第2列数的平方差竟都是平方数（少数行不满足这一规律，但显然是抄写错误所致）！例如（见下表，表中数字均为60进制）：
《数学文化与数学史》期终复习提纲
Lecture0为什么要开设数学史
1.介绍文艺复兴时期意大利艺术大师达·芬奇（L.DaVinci, 1452～1519）和19世纪英国业余数学家伯里加尔（H.Perigal, 1801～1898）、梅文鼎证明勾股定理的方法。
达·芬奇
H. Perigal的水车翼轮法
梅文鼎的方法
28.利用托勒密定理推导和角正弦公式。
29.证明海伦三角形面积公式。
Lecture6中世纪数学
30.叙述中国剩余定理。
31.什么是天元术？
元代天元术和现代列方程的方法极为相似。它首先是“立天元一为某某”，亦即现代的“设X为某某”的意思，其次再根据问题给出的条件列出两个相等的多项式，令二者相减即可得出一个一端为零的方程。这种以相等二个多项式相减以列出方程的步骤，被称为“同数相消”或“如积相消”。
14.用出入相补原理证明勾股定理。
15．刍童公式
16.介绍西汉时期的“日高公式”。南宋数学家杨辉是如何推导这个公式的？
日高公式：
杨辉推导日高公式：
根据上面的原理我们可得：（其中d为两个杆子的距离）
17.在直角三角形中，勾、股、弦分别为a、b、c，已知勾弦差（c-a）和股弦差（c-b），
试用中国古代的方法来证明下面一组公式：
， ，等等这就表明，它是一张勾股数表。
英国著名数学家齐曼（C. Zeeman, 1925～）指出，如果巴比伦人使用了勾股数一般公式
， ，
那么，满足 ， 且 （ 是勾 所对的角）为有限小数的勾股数只有16组。而Plimpton 322号泥版给出了其中的15组！其水平之高，令人惊叹不已。
5.古代巴比伦人是如何求平方根近似值的？
23.用欧几里得的方法证明命题：“素数无限多”。
答：假设素数个数有限，则必有一个最大的设最大的素数是P
令n=2*3*5*7*……*P+1，即把所有的素数相乘并加上1，显然n>P
若因为P是最大素数，所以n是合数，则n能被2，3，……，P中至少一个素数整除，但用这些数去除n，都有余数1，即都不能整除
这就有两种可能
41.在约瑟夫问题中，若设排成一圈的人数为n，并且从1号开始按顺时针方向点数，每点
到2，第2号被扔进大海。记最后剩下的一个人位于第J(n)号。试给出J(n)与n的一般关系式，并计算J(100)和J(500)。
42.奥雷姆级数求和
25.
26.
Lecture7文艺复兴时期的欧洲数学
44.列出Dürer幻方的性质。
对于教师来讲，要使个体知识的发生遵循人类知识的发生过程，那么数学史就成为了数学教学的有效工具。将数学史作为一种资源运用到教学中，给教学提供一种新的视角，发挥其启发和借鉴的作用，并丰富课堂教学，使教学活动变得自然而有趣。这对数学教育改革也具有极其重要的意义。
Lecture1古代数学（II）：美索不达米亚
2.谈谈你对数学史教育价值的认识。
一门学科一座桥梁一条进路一种资源一组专题
对学生来讲，通过对数学史的学习，有利于学生对数学知识的掌握和数学能力的提高,它不仅使学生获得了一种历史感，而且，通过从新的角度看数学学科，他们将对数学产生更敏锐的理解力和鉴赏力，有利于学生对数学的思考,促进学生的数学理解，启发学生的人格成长，有利于激发学生的情感、兴趣和良好的学习态度,有利于辩证唯物主义世界观的形成,有利于学生了解数学的应用价值和文化价值。
，
，
则有：
18.勾股容方公式证明
19.试述刘徽和祖暅的球体积工作。
正方形与其内切圆的面积之比都是：
由“截面原理”可得：
于是我们只要求出牟合方盖的体积即可求出球的体积。
刘徽：提出从立方体割出牟合方盖之后所余的“外棋”着手。但是外棋的复杂难倒了刘徽。
祖暅：对边长为D的正方体及其内牟合方盖的八分之一进行考察如右图并将其分解为一个内棋和三个外棋
祖暅公理：用平行于底面的平面去截两个等高的立体，如果所得的两个截面面积处处相等，则这两个立体的体积就相等。
20.简要介绍刘徽的割圆术。（要求写出相关公式）
圆内接正多边形边长递推公式：
Lecture 4古希腊数学
21.描述希皮亚斯（Hippias,公元前5世纪）的割圆曲线，并用利用它来三等分角。
22.用欧几里得的方法证明勾股定理。
(1)n是素数(2)n是合数，但他只能被大于P的素数整除
这两种情况都和P是最大素数矛盾。所以假设错误，所以素数是无限
24.欧几里得方法推导等比数列求和公式：
27.如图所示，ADBC是球O被纸面所截得的大圆，AB和CD是其相互垂直的两条直径。XVWY是球O的外切圆柱（以AB为轴）的相应截面。阿基米德通过力学方法发现：球O的体积等于直径为CD且垂直于纸面的大圆为底、以B为顶点的圆锥BCD的体积的4倍。试介绍阿基米德的方法。
在天元术中写出一个多项式，常常是在一次项旁记入一个“元”字，或正常项旁记一个“太”字。
天元术只表示一个未知数，即一元。
32.什么是大衍求一术？
Leabharlann Baidu中国剩余定理
33.杨辉构造四阶幻方
1）十六子斜排2）上下对易，左右相更3）四维挺进
34．
35.阿拉伯数学家阿布·韦发（Abu’l-Wefa, 940-998）是如何推导和角正弦公式的？
（5）I、III象限的右列数字之和相等，且等于II、IV象限的左列数字之和；I、III象限左列数字之和相等，且等于II、IV象限的右列数字之和。
（6）第一行和第四行的平方和相等，第二行和第三行的平方和相等。
（7）第一列和第四列的平方和相等，第二列和第三列的平方和相等。
（8）两条对角线上的数字和等于不在对角线上的数字和。
右图就是Durer幻方
（1）每行、每列和每条对角线上的数字之和为34；
（2）关于两对角线交点对称的任意两数的和为17；
（3）每一象限（I、II、III、IV）的数字之和为34；
（4）I、III象限的上行数字之和相等，且等于II、IV象限的下行数字之和；I、III象限下行数字之和相等，且等于II、IV象限的上行数字之和。
7.
8.见第4
9.和差术推导椭圆标准方程
Lecture2古代数学（I）：埃及
10、Rhind纸草书问题79是一个等比数列求和问题，介绍其中蕴涵的等比数数列求和方法。
11.“埃及几何学中的珍宝”是什么？
正四棱台体积公式：
12.数列求和公式：
.
Lecture4古代数学（III）：中国
13.同号两数相减，等于其绝对值相减；异号两数相减，等于其绝对值相加；零减正数得负数，零减负数得正数。
（9）两条对角线上的数字平方和等于不在对角线上的数字平方和。
（10）两条对角线上的数字立方和等于不在对角线上的数字立方和。
45.给出三次方程x3+px=q的求根公式。
46.利用16世纪法国数学家韦达（F.Viète,1540-1603）的方法推导平面三角中的和差化积公式sinα±sinβ。
47.韦达的方法推导和差化积定理：
6.古巴比伦时期的泥版Str.362上记载了如下问题：“十兄弟分银 迈纳，每个兄弟均比相邻的弟弟多得若干，已知老八分得6斤（1迈纳＝60斤）。问：各兄弟比相邻的弟弟多得几何？”泥版上给出的解法是：“取十兄弟所得平均数10斤，倍之，得20斤；减去老八所得的两倍即12斤，得8斤。于是，公差为 斤。”用我们今天的代数符号来表达这一解法，并写出一般公式。
36.阿尔·海塞姆自然数二次幂和公式：
37.阿拉伯数学家阿尔·卡克希（Al-Karkhi, 953-1029）是如何推导自然数三次幂和公式的？
如下图所示：
38.内绥尔丁证明正弦定理
Lecture6
39斐波纳契《计算之书》中有如下问题：“棋盘（64格）上的数列满足：任意一项等于它前面所有各项和的两倍。已知首项为1，求棋盘上数列各项之和。”试用今天的方法求解。
3.研究古巴比伦时期的泥版BM15285。设想你是一位祭司，你会提出什么数学问题？
4.美国哥伦比亚大学收藏的Plimpton 322号巴比伦泥版的内容是什么？
泥版上有15行、4列数字，原来人们还以为是一份帐目。但是，奥地利著名数学史家诺伊格鲍尔（O. Neugebauer, 1899～1990）经过研究惊奇地发现：第3列数与第2列数的平方差竟都是平方数（少数行不满足这一规律，但显然是抄写错误所致）！例如（见下表，表中数字均为60进制）：
《数学文化与数学史》期终复习提纲
Lecture0为什么要开设数学史
1.介绍文艺复兴时期意大利艺术大师达·芬奇（L.DaVinci, 1452～1519）和19世纪英国业余数学家伯里加尔（H.Perigal, 1801～1898）、梅文鼎证明勾股定理的方法。
达·芬奇
H. Perigal的水车翼轮法
梅文鼎的方法
28.利用托勒密定理推导和角正弦公式。
29.证明海伦三角形面积公式。
Lecture6中世纪数学
30.叙述中国剩余定理。
31.什么是天元术？
元代天元术和现代列方程的方法极为相似。它首先是“立天元一为某某”，亦即现代的“设X为某某”的意思，其次再根据问题给出的条件列出两个相等的多项式，令二者相减即可得出一个一端为零的方程。这种以相等二个多项式相减以列出方程的步骤，被称为“同数相消”或“如积相消”。
14.用出入相补原理证明勾股定理。
15．刍童公式
16.介绍西汉时期的“日高公式”。南宋数学家杨辉是如何推导这个公式的？
日高公式：
杨辉推导日高公式：
根据上面的原理我们可得：（其中d为两个杆子的距离）
17.在直角三角形中，勾、股、弦分别为a、b、c，已知勾弦差（c-a）和股弦差（c-b），
试用中国古代的方法来证明下面一组公式：
， ，等等这就表明，它是一张勾股数表。
英国著名数学家齐曼（C. Zeeman, 1925～）指出，如果巴比伦人使用了勾股数一般公式
， ，
那么，满足 ， 且 （ 是勾 所对的角）为有限小数的勾股数只有16组。而Plimpton 322号泥版给出了其中的15组！其水平之高，令人惊叹不已。
5.古代巴比伦人是如何求平方根近似值的？
23.用欧几里得的方法证明命题：“素数无限多”。
答：假设素数个数有限，则必有一个最大的设最大的素数是P
令n=2*3*5*7*……*P+1，即把所有的素数相乘并加上1，显然n>P
若因为P是最大素数，所以n是合数，则n能被2，3，……，P中至少一个素数整除，但用这些数去除n，都有余数1，即都不能整除
这就有两种可能