线性代数(同济六版)知识点总结归纳

1. 二阶行列式--------对角线法则 :

2. 三阶行列式 ①对角线法则

②按行（列）展开法则

3. …

且比大的元素个数有个，

则。 排列中，奇偶各占一半，即

对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性4.

其中： 数 5.

下三角行列式:

副三角跟副对角相识

对角行列式： 副对角行列式：

6. 行列式的性质：

①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D =

②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值

33

323123

222113

1211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=31

2213332112322311a a a a a a a a a ---31

2111

a a a n n

2211n n

n 2n 1222111

...a a a a ...a a 0

a a a = n

...λλλλλλ21n

21

=

n

2

1

λλλ n

212

1)

n(n λλλ1)

( --=

为零。 互换两行：

③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k

推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0

第列上：7.

（下）

8. 剩下的( 的余子ij 代数余子式：记 A ij = ( ?1 ) i+j M ij 为元素 a ij 的代数余子式 。 ②重要性质，定理

1）第i 行各元素的余子式，代数余子式与第i 行元素的取值无关。 2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与

其对应的代数余子式乘积之和， 即：

in in i2i2i1i1A a A a A a D +++= nj

nj 2j 2j 1j 1j A a A a A a D +++= 或

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即 或

使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多0的行（列），从该行选取一个非0元素a ij ，并将该行其他元素

ij ij 9. 0，则无解

其中

即：

D = 0，第二章1. (i=1,2,(是

一组数 行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列）向量。 同型矩阵：行数，列数均相等的两个矩阵

A=B ： 矩阵A 和矩阵B 为同型矩阵，且对应的元素相等。

零矩阵：所有元素为0的矩阵，记为O ，不同型的零矩阵是不相等的。

对角矩阵：对角线元素为12,,,n λλλ，其余元素为0的方阵 单位矩阵：对角线元素为１，其余元素为0的方阵，

2. 矩阵的运算

1）加法：只有两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运算。A+B 等于对应元素相加起来。满足交换律和结合律 2）数与矩阵相乘

①()()A A λμλμ=，②()λμλμ+=+A A A ，

()λλλ+=+A B A B 3）矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；

数；

j 4

3. 矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作A T .

如：

性质： 设A 为n 阶方阵，如果满足

，即

，则A 为对称阵 如果满足 ，即

，则A 为反对称阵

4. 方阵的行列式：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记

122,458A ⎛⎫= ⎪⎝⎭1425;28T

A ⎛⎫ ⎪=

⎪ ⎪⎝⎭(3) ();T T A A λλ=(4) ().

T

T

T AB

B A =1112121

22

211

n n m m mn a a a a a a A A a a a λλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪

⎪⎝⎭

作|A |或det A .

性质：①T

||||=A A ，②||||n

λλ=A A ，③||||||=AB A B 。

5. 伴随矩阵：其中是

的代数余子式，*A 称为A 的伴随矩阵。（特别注意符号）

6. 逆矩阵：对于n 阶方阵 A ，如果有 n 阶方阵 B ，使得AB = BA = E ，则称A 可逆， 的逆矩阵，记为 0

A 可逆，且逆矩阵

。此时称

为非奇异矩阵。若

，则称A 为奇异矩阵。

二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调，副对角线两数反号。 。零矩阵是不可逆的。 可逆，那么

、

，若

左边，则

必须在C

左边，7. 行分块；

每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.

分块矩阵的运算：（其运算与矩阵运算基本一致）

1）加法：要求矩阵A 和B 是同型矩阵，且采用相同的分块法(即相对应的两个

1121

112222n n A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪

注意：元素的代数余子式是位于的第j 行第i 列（类似于转置） A = ----->

1T -）