量子力学-非简并定态微扰理论

分类号
编号
毕业论文
题目非简并定态微扰理论
学院物理与信息科学学院姓名崔骁
专业物理学
学号271040106
研究类型研究综述
指导教师方玉田
提交日期
原创性声明
本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。

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论文作者签名：年月日
论文指导教师签名：
目录
正文 ................................................................... .１
1 引言 .................................................. 错误！未定义书签。

2 非简并定态微扰理论 .................................... 错误！未定义书签。

2.1 理论定义 (1)
2.1 非简并 (1)
2.1.2定态 (1)
2.2理论推导 (2)
2.2.1一级近似计算 (3)
2.2.2二级近似计算 (4)
2.2.3三级近似计算 (7)
3 能量和波函数的修正关系 (9)
5 参考文献 (10)
非简并定态微扰理论
崔骁
（天水师范学院物理与信息科学学院，甘肃天水 741000）
摘要采用逐级近似的方法，求解非简并定态微扰理论能量和波函数的修正，能量和波函数分别修正计算至三级，并找出了能量逐级修正和波函数逐级修正之间的关系。

关键词非简并；定态微扰理论；逐级近似；能量修正；波函数修正
Non-degenerate Stationary Perturbation Theory
Cui xiao
(College of Physics and Information Science,Tianshui Normal University,
Tianshui Gansu 741001)
Abstract：Using the method of Progressive approximation to solve Energy level correction and Wave function in non-degenerate Stationary Perturbation Theory, energy and wave function were modified computing to level 3, and find out the relationship between Energy level correction and Wave function correction.
Key words: Non-degenerate，Stationary Perturbation Theory，Energy level correction，Wave function correction，Progressive approximation
1.引言
学习了量子力学的基本理论之后，我们方知以前讨论的一维无限深势阱中的粒子、线性谐振子、势垒贯穿和氢原子等问题，归根到底是解这些体系的哈密顿算符的本征方程（即定态薛定谔方程），从而求出其本征值和本征函数。

即设一个量子体系的哈密顿算符为H ˆ（不显含时间），则体系的能量本征值方程为
n
n n E H ψ=ψˆ （1） 设每一个本征值n E 只有一个与之对应的本征函数n ψ，即不存在简并情况，求解方程（1）就可以得出体系的能量本征值n E 和本征函数n ψ。

如以上几种问题，由于体系的哈密顿算符比较简单，因而我们可以精确求解。

然而，对于真实的量子体系而言，由于体系的哈密顿算符比较复杂，多数的定态薛定谔方程是得不到精确解析解的，而只能求得近似解。

为了求出其近似结果，通常要用合适的近似方法来处理，因此量子力学中用来求近似解的方法就显得特别重要，微扰论就是其中之一，它是通过逐级近似的方法来求所研究问题的近似解，在处理量子力学中非简并能级本征值问题时，这种方法显得准确，简洁。

大多数量子力学教材往往只计算到波函数的一级近似和能量的二级近似，如文献【1】。

而文献【3】只给出了波函数二级修正的系数表达式，文献【2】虽然给出了能量的三级修正，但没有计算波函数的三级修正，文献【6】虽然给出了能量的二级修正和三级修正，但都没有做详细推导。

受文献【5】的启发，本文采用逐级近似展开的方法，详细计算了能量和波函数的三级修正，并对能量和波函数的高级近似公式也做了一定的推导。

2.非简并定态微扰理论 2.1理论定义 2.1.1 非简并
非简并是指当体系处于0
ˆH 的第k 个本征值κE 时，系统只处于一个定态κψ. 2.1.2 定态
定态微扰论解决的是这样一种问题：体系的哈密顿算符H ˆ不显含时间（因而属于定
态问题），我们企图通过解其本征方程
n
n n E H ψ=ψˆ
(2)
求出H
ˆ的本征值和本征函数。

现在由于H ˆ比较复杂，我们无法求得此方程的精确解。

但是如果H
ˆ可以写为两部分 H H H '+=ˆˆˆ0 (3) (0ˆH 和H 'ˆ都不显含时间)，而且满足下列两个条件:第一，0
ˆH 的本征方程 )()(ψ=ψ0)0(00ˆn n n E H n=1,2,3…… (4) 可以精确求解，即)0(n E ，)0(n ψ，（n=1,2,3，.....）是已知的；第二，0
ˆH 和H 'ˆ的差别很大，或者说H
'ˆ很小，那么我们就可以把H 'ˆ看作是微扰，借助于（4）的精确解，用定态微扰的方法求出（1）的近似解。

2.2理论推导
假设体系的哈密顿算符H ˆ不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是0ˆH ，它的本征值)0(n E 和本征函数)(0n ψ是已知的；另一部分H 'ˆ很小，可以看作是加于0
ˆH 上的微扰： H H H '+=ˆˆˆ0 （5） )()(ψ=ψ0)0(00ˆn
n n E H （6） 我们以n E 和n ψ表示H
ˆ的本征值和本征函数，即: n
n n E H ψ=ψˆ （7） 假如没有微扰项H ˆ就是0
ˆH ，n E 和n ψ就是)0(n E 和)(0n ψ，微扰的引入使得能级由)0(n E 移动到n E ，波函数也有)(0n ψ变为n ψ。

下面我们将近似的由0ˆH 的分立能级)0(n
E 求出与H ˆ相对应的能级n E ，由波函数)(0n ψ求出n ψ。

为了明显的表示出微扰程度，将H
'ˆ写为： )
1(ˆˆH H
λ=' （8）
其中λ是一个很小的实参数。

由于n E 和n ψ都和微扰有关，可以把他们看作是表示微扰程度的参数λ的函数。

将它们展开为λ的幂级数：
+++=)2(2)1()0(n n n n E E E E λλ… （9） +ψ+ψ+ψ=ψ)
2(2)
1()
0(n
n
n
n λλ (10)
式中)0(n E 和)(0n ψ依次是体系未受到微扰时的能量和波函数，称为零级近似能量和零级近似波函数，)1(n E λ和)
1(n
λψ
是能量和波函数的一级修正，等等。

将（5）和（8)—(10)式代入（2）式中，得到：
...)
+ψ
+ψ+ψ
+++E
(=...)
+ψ+ψ+ψ+)2(2
)1()0()2(2
)1()
0()
2(2)1()
0()
1(0...)()(ˆˆ(n
n
n
n
n
n
n
n n
E E H H λλλλλλλ （11）
这个等式两边λ同次幂的系数应该相等，由此得到下面一系列方程： 零级近似能量本征值方程：
0)ˆ()0()0(0=ψ-n
n E H (12) 一级近似能量本征值方程：
)0()1()1()0(0)ˆ()ˆ(n
n n n E H E H ψ-'-=ψ- (13) 二级近似能量本征值方程：
)0()2()1()1()2()0(0)ˆ()ˆ(n
n n n n n E E H E H ψ+ψ-'-=ψ- （14） 三级近似能量本征值方程：
)0()3()1()2()2()1()3()0(0)ˆ()ˆ(n
n n n n n n n E E E H E H ψ+ψ+ψ-'-=ψ- （15） 在已知)0(n E 和)(0n ψ的情况下，求解方程（13）可得)1(n E 和)(1n ψ；在已知)0(n E 和)(0n ψ、
)
1(n E 和)
(1n ψ的情况下，求解方程（14）可得)
2(n E 和)
(2n ψ；在已知)
0(n E 和)
(0n ψ、)
1(n E 和)
(1n ψ、
)
2(n E 和)
(2n ψ的情况下，求解方程（15）可得)
3(n E 和)
(3n ψ，这就是逐级近似的思想。

2.2.1一级近似计算
如果)(1n ψ是方程（13）的解，那么)0(1n n a ψψ+)(（其中a 是任意常数）也是方
程（13）的解。

我们将)(1n ψ按0
ˆH 的本征函数}{0)(n ψ展开 ∑ψ=)(l
l l n a )0()1(1ψ （16）
由于)(1n ψ加上)(0n a ψ后仍是方程（13）的解，我们总可以选取a 使得上面的等式中不含
)
(0n ψ，即
∑≠)(ψ=
)
()
0()1(1n l l l
l
n a
ψ （17）
换句话说，相当于在（16）式中取了
0)1(=n a （18） 将（17）代入（13）式得：
)0()1()
()
0()
1()0(0)ˆ()ˆ(n
n n l l n
l
n
E H a
E H ψ-'-=ψ-∑≠ （19）
再利用（6）式，得：
)0()1()0()
0()
()1()
0()
0()1()
()1(ˆn
n n l
n l l l
n
l
l n l l l
E H a
E E a
ψ+ψ'-=ψ-ψ∑∑≠≠ （20） 用*
)
(0m ψ左乘上式两边并对整个空间积分，这里采用内积符号得：
),()ˆ,(),(),()0()0()1()0()0()
0()0()
()1()
0()
0()0()0()
()
1(n
m n n m l
m n l l l
n
l
m l n l l l
E H a
E E a
ψψ+ψ'ψ-=ψψ-ψψ∑∑≠≠ 再利用}{0)(n ψ的正交归一性，得： mn
n mn ml n l l l n
ml l n l l l E H a E E a δδδ)1()
()1()
0()1()()1(ˆ+'-=-∑
∑
≠≠ （21） 其中：
τd H H H n
m
n
m mn )0()
0()0()0(ˆ)ˆ,(ˆψ'ψ
=ψ'ψ='⎰*
（22） 上式是H
'ˆ在零级近似波函数中的微扰矩阵元。

再利用δ符号的性质，（21）式可简化为：
mn
n mn n m m m E H E a E a δ)1()0()1()0()1(ˆ+'-=- （23） 当n m =时，上式左边等于零，因此得： τd H H H E
n
n
n
n nn n
)0()
0()0()0()
1(ˆ)ˆ,(ˆψ'ψ
=ψ'ψ='=⎰*
（24） 这样我们就得出了能量的一级修正值，由此可见)1(n E 等于微扰H 'ˆ在态)(0n
ψ中的平均值。

当n m ≠时，由（23）式可得出： )(,ˆ)
0()
0()
1(n m E E H a
m
n
mn m
≠-'=
（25）
将上式代入（17）式，可得出波函数的一级修正公式： )
0()
()
0()0()
1(ˆl n l l l
n
nl n
E E
H ψψ
∑
≠-'=
（26）
2.2.2二级近似计算
将)(2n ψ按0
ˆH 的本征函数}{0)(n ψ展开，得： ∑ψ=)(l
l l n a )0()2(2ψ (27)
再将上式和（17）式代入（14）式有：
)
0()2()
()
0()1()1()0()2()0(0)ˆ()ˆ(n n n l l l
l n
l
l l n E a E H a E H ψ+ψ-'-=ψ-∑
∑≠
再利用（6）式可得：
)
0()2()
()
0()
1()1()
()0()1()0()2()0()0()0()2(ˆn n n l l l
l
n
n l l l l
l
l l n l
l l l E a
E H a
a E E a ψ+ψ+ψ'-
=ψ-ψ∑∑∑∑≠≠
用*
)
(0m ψ左乘上式两边并对整个空间积分，并利用}{0)(n ψ的正交归一性可得：
mn n n l l ml l n
n l l ml l
l
ml l n l
ml l l E a
E H a
a E E a δδδδ)
2()
()
1()1()
()
1()2()0()0()2(ˆ++'-
=-∑∑∑∑≠≠
再根据δ符号的性质，得：
mn
n m n ml n l l l
n m m m E a E H a
E a E a δ)2()1()1()
()
1()
0()0()0()0(ˆ++'-
=-∑≠ （28） 当n m =时，上式左边为零，再利用（18）式，可得能量的二级修正为： ∑
∑
≠≠-'='-'=
)
()0()0(2
ln
)
()0()0()
2()ˆ(ˆˆn l l l
n
nl n l l l
n
nl n
E
E
H H E
E
H E
（29）
上式中第二个等号利用了H 'ˆ是厄米算符的性质，*'='nl
H H ˆˆln . 当n m ≠时，由（28）式可得出：
)
1()1()()0()
0()1()
0()
0()
2(1ˆ1m
n n l l m
n
ml
m m
n
m a E E
E
H a E
E
a ∑
≠--'-=
再利用（24）式和（25）式，可得;
),(,)
(ˆˆ)
)((ˆˆ2
)0()0()
()0()0()0()
0(ln
)
2(n l n m E
E
H H E
E
E
E
H H a m
n
nn mn n l l l
n
m
n
ml m ≠≠-'-'-
--''=
∑
≠ (30)
到这里，还有一个问题尚未解决，那就是)2(n a 还没有确定。

必须特别指出的是，)
2(n
a 不能像一级近似那样简单取为零（见（18）式），而是要根据二级近似下波函数的归一化条件确定。

为此，用狄拉克符号将（27）式改写为 >>=∑)
0()
2()2(||l
l
l
n a
ψψ
用|)0(n ψ<左乘上式两边，有： )
2()2()
0()0()2()2()0(||n nl l
l l
n l
l
n n a a
a
=>=
<>=<∑∑δψψψψ （31）
对上式中两边去共轭，有:
*
>=<)2()0()2(|n n n a ψψ (32)
再利用狄拉克符号将（16）式改写为 >>=
∑)
0()1()1(||l
l
l
n a
ψψ （33）
用|)0(n ψ<左乘上式两边，有： 0||)
1()1()
0()0()1()1()0(==>=
<>=
<∑∑n nl l
l l
n l
l
n n a a
a
δψψψψ
（34） 上式最后一步用了（18）式。

对上式中两边去共轭，得：
0|)0()1(>=<n n ψψ （35） 对（33）式两边取共轭，得： |||)
0()
1()
0()
1()1(k
k
k
n
l
l
n a a ψ
ψψ<=
<>=
∑
∑
*
（36）
用上式两边左乘（33）式两边，可得：
2
)
()1(2
)1(2
)
()1(2
)1()
1()
1()
0()0()
1()
1()1()
1()
()()()
(||∑∑∑∑
∑
≠≠=
+=
=
>=
<>=
<*
*
n k k k
n
n k k k
k
k
kl kl
l k l k kl
l k n
n
a
a
a
a
a a a a δψψ
ψ
ψ
（37）
上式中最后一步利用了（18）式。

再利用>n ψ|及 >)0(|n ψ的归一化条件，略去三级以上高阶小量项，并利用（31）式、（32）式、（34）式、（35）式和（37）式，得：
*
++
+=>
<+><+><+><+><+>≈<>
++>≈<=<∑
≠)
2()
(2
)
1()
2()0()2()1()1()0()1()2()0()1()0()0()0()2()1()
0()(1|||||||1n
n k k k n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n
n
n
n
a a a ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψψ
ψ
ψψ
ψ
ψ
ψ
ψψ因此，得：
2
)
()
1()2()2(|
|∑≠-
=+*
n k k k
n n a
a a
如果取系数)
2(n a 为实数，则可得：
2
)
()1()2(|
|2
1∑≠-=n k k k
n a
a
最后将（25）式代入上式，可得： ∑
≠-'-
=)(2
)0()
0(2)2()
(|ˆ|2
1n k k k n
kn
n
E E H a
（38）
顺便指出，上述求)
2(n a 的方法，也完全可以用来求)1(n a 。

到此，我们已经完整的求出了波
函数的二级修正，即：
∑
∑
∑
∑∑≠≠≠≠-'-
-''-
--''=
+=
=
)()
0(2
)0()
0(2)
0(2
)0()
0()
()()
0()
0()
0()
0()()
0()2()0()2()
0()2()
2()
(|ˆ|2
1|)
(ˆˆ)
)((ˆˆ|
n k k n
k n
kn
k
k n
nn kn n k k n l l l n
k n
nl
kl n k k n
n k k
k
k
k
n E E H E E H H E E E E H H a a
a
ψ
ψ
ψψψψ
上式与文献[4]给出的结果完全一致。

2.2.3三级近似计算
将)(3n ψ按0
ˆH 的本征函数}{0)(n ψ展开，得: ∑ψ=
)(l
l
l
n a
)
0()
3(3ψ (39)
再将上式和（17）式、（27）式代入（15）式有：
)
0()3()
()
0()
1()2()0()2()1()0()3()0(0)ˆ()ˆ(n n n l l l
l
n l
l l n
l
l l n E a
E a E H a E H ψ+ψ+ψ-'-=ψ-∑∑∑≠ （40）
再利用（6）式可得：
)0()3()
()0()
1()2()0()2()
1()0()2()
0()3()
0()
0()0()
3(ˆn
n
n l l l
l
n
l
l l n l
l l
l
l
l
n
l
l
l l
E
a
E a E H a
a
E E a
ψ
+ψ
+ψ+ψ'-=ψ-ψ∑∑∑∑∑≠ （41）
用*
)
(0m ψ左乘上式两边并对整个空间积分，并利用}{0)(n ψ的正交归一性可得：
mn
n
n l l ml l
n
l
ml l n mn n n l l ml l
l
ml
l
n
l
ml l l
E
a
E a E H a H a
a
E E a
δδδδδ)3()
()
1()2()2()
1()2()
()2()3()
0()0()
3(ˆˆ+++'-'-
=-∑∑
∑∑∑≠≠ （42）
再根据δ符号的性质，得：
mn n
m n m n mn n n l l ml l n m m m
E a E a E H a H a E a E a δ)
3()1()2()2()1()2()
()2()
0()3()0()3(ˆˆ+++'-'-=-∑
≠ （43） 当n m =时，上式左边为零，再利用（18）式和（24）式可得： ∑∑∑≠≠≠'='+=-'+'-
=)
()
2()
()
2()2()1()2()
()
2()3(ˆˆˆˆn k k nk
k
n l l nl
l
n
n nn n n l l nl l
n H a
H a
a E H a H a
E （44） 再将（33）式代入上式可得能量的三级修正值)3(n E 为：
∑
∑∑
∑
∑∑∑
∑∑≠≠≠≠≠≠≠≠≠-''---'''=
-'''---'''=
'-''-
--''='=
)
(2
)
0()
0(2)()
()0()0()
0()
0(ln )
(2
)0()
0()()()
0()
0()
0()
0(ln 2
)0()0()()0()0()0()
0(ln
)()
()2()
3()
(|ˆ|ˆ)
)((ˆˆˆ)
(ˆˆˆ)
)((ˆˆˆˆ|)
(ˆˆ)
)((ˆˆ|ˆn k k k n
kn nn
n k k n l l l
n
k
n
nk
kl n k k k n
nk kn nn n k k n l l l n
k n
nk
kl kn
k
n
nn kn n l l l
n
k
n
kl n k k n k k nk
k
n
E E H H E E
E E
H H H E E H H H E E E E H H H H E
E
H H E
E
E
E
H H H a
E
(45)
当n m ≠时，由（43）式可求得： )0()0()1()2()0()0()2()1()0()
0()2()()
2()
0()0()3(ˆˆ1m
n
m n m
n
m n m
n
mn
n n l l ml
l
m
n
m
E
E
a E E
E
a E E
E
H a H a
E
E
a
--
--
-'+'-=
∑≠
再利用（25）、（25）、（29）、（30）和（38）式，可得：
)
,,(ˆ|ˆ|1))
(|ˆ|ˆ)
)((ˆˆˆ(
)
(ˆ|ˆ|2
1)
)((ˆˆˆ|
1)
()
0()
0(2ln )
0()
0(2
)0()0(2)
()0()0()0()
0(ln )
(2
)0()
0(2)()
0()
0()0()
0(ln
)
0()
0()3(n k n l n m E E H H E E E
E
H H E E
E
E
H H H E E H H E E E E H H H E E a
n l l l
n
mn m
n
m
n
nn mn n l l l
n
m
n
nn
ml n k k k n
mn kn n l l l
n
m n
ml ll m
n m
≠≠≠-''--
-''-
--'''+
-''-
--'''-=
∑
∑
∑
∑
≠≠≠≠ （46）
现在，仿照二级近似下求)2(n a 的方法求)3(n a ：
首先用狄拉克符号将（39）式展开为 >>=∑)0()
3()3(||l
l
l
n a
ψ
ψ
用|)0(n ψ<左乘上式两边，有： )
3()
3()0()0()
3()3()0(||n nl l
l l
n
l
l
n n a a a =>=
<>=<∑
∑
δψ
ψ
ψψ （47）
对上式中两边取共轭，有:
*
>=<)
3()0()3(|n n n a ψψ (48)
再利用狄拉克符号将（27）改写为 >>=∑)0()
2()2(||l
l
l
n a
ψ
ψ （49）
用（36）式左乘上式两边得： )
2()1()
2()1()0()
0()
2()1()2()1(||k
k
kl kl
l k
l
k
kl
l
k
n n a a a a a a *
*
*
=>=
<>=
<∑
∑
δψ
ψ
ψψ （50）
对上式两边取共轭得： *
*
*=>=
<=
><∑
∑
)1()
2()1()2()0()
0()
1()*
2()2()1(|)|(k
k kl kl
l k
k
l
kl
l
k
n n a a a a a a δψ
ψ
ψψ （51）
再利用>n ψ|及 >)0(|n ψ的归一化条件，略去四级以上高阶小量项，并利用（31）式、（32）式、（34）式、（35）式、（37）式、（48）式、（50）式和（51）式得：
*
+++
+
+
++=>
<+><+><+><+><+>
<+><+><+><+><+≈>++++++>≈<=<∑
∑
∑
≠*
≠*
≠)
3()
3()
1()
()2()
2()()1()(2
)
1()
3()
2()0()3()1()2()0()2()2()1()1()1()0()1()3()0()2()0()1()0()0()0()3()2()1()0()3()2()1()0()(1||||||||||1||1n
n
k n k k k
k
n k k k
n k k k n
n
n
n
n n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n
n
n
n
n n
n
n
a a a a a a a a a ψψψψψψψ
ψψψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψψψψ
ψ
ψψψψ
ψ
ψ
如果上式中所有系数均取实数，则有
)
2()
()1()
(2
)1()
3()
2(2
)(2211k
n k k k
n k k k
n
n
a a
a
a a ∑∑≠≠++
++=
所以得：
)
,,(,)
(ˆ|ˆ|)
()(ˆˆˆ)(2
1)()
(3)0()0(2)0()0(2)0()
0(ln )
2()
()1()(2
)1()2()3(n l n k n m E
E
H H E
E E
E
H H H a a a a
a
n k k n l l k
n
nn kn l
n
k
n
kn
kl k
n k k k n k k k n
n
≠≠≠-''-
--'''=
-
-
-=∑∑
∑
∑
≠≠≠≠
再将上式代入（39）式即可得出波函数的三级近似
),,(,)})
(ˆ|ˆ|)()(ˆˆˆ(
{
}
)
(ˆ|ˆ|1
|)
(ˆ|ˆ|)
)((ˆˆˆ|
)
(ˆ|ˆ|2
1)
(ˆˆˆ{
1)0(3
)0()0(2)()
()0()0(2
)0()
0(ln )
(2
)0()0(2ln )
()
0()0(2
)
0()0(2)0()0()0()
0(ln )()(2
)0()0(22
)0()0(ln )0()0()
0()3()
0()3(3n m n l n k E
E
H H E
E
E
E
H H H E
E
H H E E
E E
H H E
E
E E
H H H E E
H H E
E
H H H E
E
a a
n
k
n
nn kn n k k n l l l
n
k
n
kn
kl n l l l
n
nn n l l m n
k
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mn nn l
n
m
n
nn
mn n l l n k k k
n
mn kn m
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ml ll m
n
n
n m
m
m
n
≠≠≠-''-
--'''--''--
-''-
--'''+-''-
-'''-=
ψ+ψ=
∑∑
∑
∑
∑
∑
∑≠≠≠≠≠≠)(ψ
ψ
3.能级和波函数的修正关系
我们先来看波函数一级修正项与能量二级修正项的关系。

将（25）式代入并利用（13）式得：
())2()1()
0()
0()1()
0()1()0()
0()1()
0()1()0(ˆˆˆˆ,ˆ,n
l
nl l
l
l
n
l
l
l
l
n
l
l
l
n
n
n
E H a
d H a d a H a H H
='=
'=
'=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛'='∑∑⎰∑
⎰∑*
*
τψ
ψ
τ
ψψ
ψψ
ψψ
（52）
由该式可知能量的二级修正)
2(n
E 可以表示为微扰H '
在零级波函数)
0(n
ψ
和波函数的一级
修正项)1(n
ψ
之间的矩阵元。

下面通过进一步求解三级近似下波函数的修正项和能量修正项，来说明能级和波函数修正项之间的关系。

将（39）式代入（15）式，并假设体系不受微扰时处于0
ˆH 的某一非简并能级)0(k E ，即)0()0(k n E E =，相应的波函数为)0(k
)
0(ψ
ψ=n
，及利用一级二级修正近似解可得到：
()())0()
3()
0()
()
1()
()
1()0()2()0()3()0(0ˆˆˆˆn
n l
n l l l
nl
n l l l
l
l l nn
l l
l n E a
H a
a H H a E H ψ
ψψψ+'+'-'=-∑∑∑∑≠≠
经过一些运算得到能量的三级修正表达式同（45）式。

所以得： ())1()1()1()3()ˆ(,n
n l n E H E ψψ-'= （53） 由以上推到可以看出，能量的一级修正是微扰H 'ˆ在零级波函数)0(n
ψ中的平均值；能
量的二级修正是微扰H
'ˆ在零级波函数)
0(n
ψ和波函数的一级修正项)
1(n
ψ之间的矩阵元；能
量的三级修正是)1(ˆn
E H -'在一级波函数)
1(n
ψ中的平均值。

4.参考文献
[1] 周世勋.量子力学教程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2009.6,118-122.
[2] 周世勋.量子力学简明教程[M].北京:高等教育出版社,1999.
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[4] 张永德.量子力学[M].北京:科学出版社,2005,226-230.
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[9] 牛晓平.非简并微扰论中低能级修正与波函数修正之间的关系[J].安阳师范学院学报,2008。