量子力学-非简并定态微扰理论

分类号

编号

毕业论文

题目非简并定态微扰理论

学院物理与信息科学学院姓名崔骁

专业物理学

学号271040106

研究类型研究综述

指导教师方玉田

提交日期

原创性声明

本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。

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论文作者签名：年月日

论文指导教师签名：

目录

正文 ................................................................... .１

1 引言 .................................................. 错误！未定义书签。

2 非简并定态微扰理论 .................................... 错误！未定义书签。

2.1 理论定义 (1)

2.1 非简并 (1)

2.1.2定态 (1)

2.2理论推导 (2)

2.2.1一级近似计算 (3)

2.2.2二级近似计算 (4)

2.2.3三级近似计算 (7)

3 能量和波函数的修正关系 (9)

5 参考文献 (10)

非简并定态微扰理论

崔骁

（天水师范学院物理与信息科学学院，甘肃天水 741000）

摘要采用逐级近似的方法，求解非简并定态微扰理论能量和波函数的修正，能量和波函数分别修正计算至三级，并找出了能量逐级修正和波函数逐级修正之间的关系。关键词非简并；定态微扰理论；逐级近似；能量修正；波函数修正

Non-degenerate Stationary Perturbation Theory

Cui xiao

(College of Physics and Information Science,Tianshui Normal University,

Tianshui Gansu 741001)

Abstract：Using the method of Progressive approximation to solve Energy level correction and Wave function in non-degenerate Stationary Perturbation Theory, energy and wave function were modified computing to level 3, and find out the relationship between Energy level correction and Wave function correction.

Key words: Non-degenerate，Stationary Perturbation Theory，Energy level correction，Wave function correction，Progressive approximation

1.引言

学习了量子力学的基本理论之后，我们方知以前讨论的一维无限深势阱中的粒子、线性谐振子、势垒贯穿和氢原子等问题，归根到底是解这些体系的哈密顿算符的本征方程（即定态薛定谔方程），从而求出其本征值和本征函数。

即设一个量子体系的哈密顿算符为H ˆ（不显含时间），则体系的能量本征值方程为

n

n n E H ψ=ψˆ （1） 设每一个本征值n E 只有一个与之对应的本征函数n ψ，即不存在简并情况，求解方程（1）就可以得出体系的能量本征值n E 和本征函数n ψ。

如以上几种问题，由于体系的哈密顿算符比较简单，因而我们可以精确求解。然而，对于真实的量子体系而言，由于体系的哈密顿算符比较复杂，多数的定态薛定谔方程是得不到精确解析解的，而只能求得近似解。为了求出其近似结果，通常要用合适的近似方法来处理，因此量子力学中用来求近似解的方法就显得特别重要，微扰论就是其中之一，它是通过逐级近似的方法来求所研究问题的近似解，在处理量子力学中非简并能级本征值问题时，这种方法显得准确，简洁。

大多数量子力学教材往往只计算到波函数的一级近似和能量的二级近似，如文献【1】。而文献【3】只给出了波函数二级修正的系数表达式，文献【2】虽然给出了能量的三级修正，但没有计算波函数的三级修正，文献【6】虽然给出了能量的二级修正和三级修正，但都没有做详细推导。受文献【5】的启发，本文采用逐级近似展开的方法，详细计算了能量和波函数的三级修正，并对能量和波函数的高级近似公式也做了一定的推导。

2.非简并定态微扰理论 2.1理论定义 2.1.1 非简并

非简并是指当体系处于0

ˆH 的第k 个本征值κE 时，系统只处于一个定态κψ. 2.1.2 定态

定态微扰论解决的是这样一种问题：体系的哈密顿算符H ˆ不显含时间（因而属于定

态问题），我们企图通过解其本征方程

n

n n E H ψ=ψˆ

(2)

求出H

ˆ的本征值和本征函数。现在由于H ˆ比较复杂，我们无法求得此方程的精确解。但是如果H

ˆ可以写为两部分 H H H '+=ˆˆˆ0 (3) (0ˆH 和H 'ˆ都不显含时间)，而且满足下列两个条件:第一，0

ˆH 的本征方程 )()(ψ=ψ0)0(00ˆn n n E H n=1,2,3…… (4) 可以精确求解，即)0(n E ，)0(n ψ，（n=1,2,3，.....）是已知的；第二，0

ˆH 和H 'ˆ的差别很大，或者说H

'ˆ很小，那么我们就可以把H 'ˆ看作是微扰，借助于（4）的精确解，用定态微扰的方法求出（1）的近似解。

2.2理论推导

假设体系的哈密顿算符H ˆ不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是0ˆH ，它的本征值)0(n E 和本征函数)(0n ψ是已知的；另一部分H 'ˆ很小，可以看作是加于0

ˆH 上的微扰： H H H '+=ˆˆˆ0 （5） )()(ψ=ψ0)0(00ˆn

n n E H （6） 我们以n E 和n ψ表示H

ˆ的本征值和本征函数，即: n

n n E H ψ=ψˆ （7） 假如没有微扰项H ˆ就是0

ˆH ，n E 和n ψ就是)0(n E 和)(0n ψ，微扰的引入使得能级由)0(n E 移动到n E ，波函数也有)(0n ψ变为n ψ。下面我们将近似的由0ˆH 的分立能级)0(n

E 求出与H ˆ相对应的能级n E ，由波函数)(0n ψ求出n ψ。

为了明显的表示出微扰程度，将H

'ˆ写为： )

1(ˆˆH H

λ=' （8）

其中λ是一个很小的实参数。由于n E 和n ψ都和微扰有关，可以把他们看作是表示微扰程度的参数λ的函数。将它们展开为λ的幂级数：

+++=)2(2)1()0(n n n n E E E E λλ… （9） +ψ+ψ+ψ=ψ)

2(2)

1()

0(n

n

n

n λλ (10)

式中)0(n E 和)(0n ψ依次是体系未受到微扰时的能量和波函数，称为零级近似能量和零级近似波函数，)1(n E λ和)

1(n

λψ

是能量和波函数的一级修正，等等。