高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率课件北师大版选修1_10222260
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f1－f－1 2－1 1 函数 f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为 ＝ 2 ＝2. 1－－1
x＋3 ，－1≤x≤1， 2 由函数 f(x)的图像知，f(x)＝ x＋1，1<x≤3.
3 f2－f0 3－2 3 所以函数 f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为 ＝ 2 ＝4. 2－0
陡峭程度有何关系？ 答案
思考2
怎样理解自变量的增量、函数值的增量？
答案
(1)自变量的增量：用Δx表示，即Δx＝x2－x1，表示自变量相对
于x1的“增加量”.
(2) 函数值的增量：用 Δy 表示，即 Δy ＝ f(x2) － f(x1) ，也表示为
f(x1＋Δx)－f(x1)，表示函数值在x1的“增加量”.
Δs 1 所以 Δt ＝v0－gt0－2gΔt. Δs 当 Δt 趋于 0 时， Δt 趋于 v0－gt0，
故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.
(1)求瞬时速度的步骤
反思与感悟
①求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
Δs ②求平均速度 v＝ Δt ； Δs ③当 Δt 趋于 0 时，平均速度 Δt 趋于瞬时速度. Δy (2)求当 Δx 无限趋近于 0 时Δx的值 ①在表达式中，可把 Δx 作为一个数来参加运算； Δy ②求出Δx的表达式后，Δx 无限趋近于 0 就是令 Δx＝0，求出结果即可.
梳理
要求物体在t0时刻的瞬时速度，设运动方程为s＝s(t)，可先求物体
st0＋Δt－st0 Δs Δt 在(t0，t0＋Δt)内的平均速度 Δt ＝ ，然后Δt趋于0，得 到物体在t0时刻的 瞬时速度 .
题型探究
类型一
函数的平均变化率
命题角度1 求函数的平均变化率 例1 求函数y＝f(x)＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx都为 哪一点附近的平均变化率最大？
(3) 增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还
可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0.
梳理
平均变化率 fx2－fx1 Δy (1)定义式： ＝ x2－x1 . Δx (2)实质： 函数值的改变量与自变量的改变量 之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的 快慢 . (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)图像上
答案 解析
Δy f－1＋Δx－f－1 Δx ＝ Δx －1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6 ＝ Δx ＝Δx.
(2)如图所示是函数 y ＝ f ( x ) 的图像，则函数 f ( x ) 在区间 1 [－1，1]上的平均变化率为 2 ；函数f(x)在区间[0，2] 3 答案 解析 上的平均变化率为 4 .
解答
1 ， 3
反思与感悟
求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)； (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；
Δy fx2－fx1 (3)得平均变化率Δx＝ . x2－x1
跟踪训练 1
(1) 已知函数 f(x) ＝ x2 ＋ 2x － 5 的图像上的一点 A( － 1 ，－ 6) Δy 及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则 ＝ Δx . Δx
命题角度2 平均变化率的几何意义 例2 过曲线 y ＝ f(x) ＝ x2 － x 上的两点 P(1 ， 0) 和 Q(1 ＋ Δx ， Δy) 作曲线的 割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值. 解答
Δy 割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率 Δx. ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
第三章 变化率与导数
§1 变化的快慢与变化率
学习目标
1.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.
2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
函数的平均变化率
观察图形，回答下列ຫໍສະໝຸດ Baidu题：
思考1
函数f(x)在区间[x1，x2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的
＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2， Δy ∴割线PQ的斜率k＝ Δx ＝1＋Δx. 又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.
反思与感悟
函数 y ＝ f ( x ) 从 x 1到 x 2的平均变化率的实质是函数 y ＝ f ( x ) 图像上两点
Δy fx2－fx1 P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线P1P2的斜率，即 kP1P2＝ ＝ . Δx x2－x1
求函数的瞬时变化率
以初速度 v0(v0>0) 竖直上抛的物体， t 秒时的高度 s 与 t 的函数关系 1 2 为s＝v0t－ 2 gt ，求物体在时刻t0处的瞬时速度. 解答
1 2 1 1 2 2 v t － gt 因为 Δs＝v0(t0＋Δt)－2g(t0＋Δt) － 0 0 2 0＝(v0－gt0)Δt－2g(Δt) ，
x (2)过曲线y＝f(x)＝ 图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy) 1 －x 2
作割线，则当Δx＝0.5时割线的斜率为 3 .
答案 解析
当Δx＝0.5时，2＋Δx＝2.5，
2.5 5 故－2＋Δy＝ ＝－3， 1－2.5
5 －3＋2 2 故 kPQ＝ ＝3. 2.5－2
类型二 例3
Δy fx2－fx1 的两点，则平均变化率 ＝ 表示割线P1P2的 斜率 . Δx x2－x1
知识点二
瞬时变化率
思考1
物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？ 答案 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳
高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.
思考2
如何描述物体在某一时刻的运动状态？ 答案 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.
跟踪训练2
(1)甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与
解析
时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内， 甲，乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是 答案 A.v甲>v乙 C.v甲＝v乙 B.v甲<v乙 D.大小关系不确定
设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t) 在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC. 因为kAC<kBC，所以v甲<v乙.
x＋3 ，－1≤x≤1， 2 由函数 f(x)的图像知，f(x)＝ x＋1，1<x≤3.
3 f2－f0 3－2 3 所以函数 f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为 ＝ 2 ＝4. 2－0
陡峭程度有何关系？ 答案
思考2
怎样理解自变量的增量、函数值的增量？
答案
(1)自变量的增量：用Δx表示，即Δx＝x2－x1，表示自变量相对
于x1的“增加量”.
(2) 函数值的增量：用 Δy 表示，即 Δy ＝ f(x2) － f(x1) ，也表示为
f(x1＋Δx)－f(x1)，表示函数值在x1的“增加量”.
Δs 1 所以 Δt ＝v0－gt0－2gΔt. Δs 当 Δt 趋于 0 时， Δt 趋于 v0－gt0，
故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.
(1)求瞬时速度的步骤
反思与感悟
①求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
Δs ②求平均速度 v＝ Δt ； Δs ③当 Δt 趋于 0 时，平均速度 Δt 趋于瞬时速度. Δy (2)求当 Δx 无限趋近于 0 时Δx的值 ①在表达式中，可把 Δx 作为一个数来参加运算； Δy ②求出Δx的表达式后，Δx 无限趋近于 0 就是令 Δx＝0，求出结果即可.
梳理
要求物体在t0时刻的瞬时速度，设运动方程为s＝s(t)，可先求物体
st0＋Δt－st0 Δs Δt 在(t0，t0＋Δt)内的平均速度 Δt ＝ ，然后Δt趋于0，得 到物体在t0时刻的 瞬时速度 .
题型探究
类型一
函数的平均变化率
命题角度1 求函数的平均变化率 例1 求函数y＝f(x)＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx都为 哪一点附近的平均变化率最大？
(3) 增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还
可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0.
梳理
平均变化率 fx2－fx1 Δy (1)定义式： ＝ x2－x1 . Δx (2)实质： 函数值的改变量与自变量的改变量 之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的 快慢 . (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)图像上
答案 解析
Δy f－1＋Δx－f－1 Δx ＝ Δx －1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6 ＝ Δx ＝Δx.
(2)如图所示是函数 y ＝ f ( x ) 的图像，则函数 f ( x ) 在区间 1 [－1，1]上的平均变化率为 2 ；函数f(x)在区间[0，2] 3 答案 解析 上的平均变化率为 4 .
解答
1 ， 3
反思与感悟
求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)； (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；
Δy fx2－fx1 (3)得平均变化率Δx＝ . x2－x1
跟踪训练 1
(1) 已知函数 f(x) ＝ x2 ＋ 2x － 5 的图像上的一点 A( － 1 ，－ 6) Δy 及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则 ＝ Δx . Δx
命题角度2 平均变化率的几何意义 例2 过曲线 y ＝ f(x) ＝ x2 － x 上的两点 P(1 ， 0) 和 Q(1 ＋ Δx ， Δy) 作曲线的 割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值. 解答
Δy 割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率 Δx. ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
第三章 变化率与导数
§1 变化的快慢与变化率
学习目标
1.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.
2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
函数的平均变化率
观察图形，回答下列ຫໍສະໝຸດ Baidu题：
思考1
函数f(x)在区间[x1，x2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的
＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2， Δy ∴割线PQ的斜率k＝ Δx ＝1＋Δx. 又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.
反思与感悟
函数 y ＝ f ( x ) 从 x 1到 x 2的平均变化率的实质是函数 y ＝ f ( x ) 图像上两点
Δy fx2－fx1 P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线P1P2的斜率，即 kP1P2＝ ＝ . Δx x2－x1
求函数的瞬时变化率
以初速度 v0(v0>0) 竖直上抛的物体， t 秒时的高度 s 与 t 的函数关系 1 2 为s＝v0t－ 2 gt ，求物体在时刻t0处的瞬时速度. 解答
1 2 1 1 2 2 v t － gt 因为 Δs＝v0(t0＋Δt)－2g(t0＋Δt) － 0 0 2 0＝(v0－gt0)Δt－2g(Δt) ，
x (2)过曲线y＝f(x)＝ 图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy) 1 －x 2
作割线，则当Δx＝0.5时割线的斜率为 3 .
答案 解析
当Δx＝0.5时，2＋Δx＝2.5，
2.5 5 故－2＋Δy＝ ＝－3， 1－2.5
5 －3＋2 2 故 kPQ＝ ＝3. 2.5－2
类型二 例3
Δy fx2－fx1 的两点，则平均变化率 ＝ 表示割线P1P2的 斜率 . Δx x2－x1
知识点二
瞬时变化率
思考1
物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？ 答案 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳
高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.
思考2
如何描述物体在某一时刻的运动状态？ 答案 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.
跟踪训练2
(1)甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与
解析
时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内， 甲，乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是 答案 A.v甲>v乙 C.v甲＝v乙 B.v甲<v乙 D.大小关系不确定
设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t) 在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC. 因为kAC<kBC，所以v甲<v乙.