B样条曲线图片版
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B样条函数(basis)
1960年，de Boor开始研究用B样条做几何表示。之后它与 Mansfield, Cox分别独立发现了B样条的递归算法。
给出了B样条基函数的递归算法
1974年，Gordon与Riesenfeld将B样条函数推广到矢值形式， 得到了B样条函数。
从B样条函数到B样条曲线
样条函数的定义
B样条曲线的类型
3. 非均匀B样条曲线
任意分布的节点矢量 T=[t0,t1,…,tn+k]，只要在数学上成立（节点序 列非递减，两端节点重复度≤k，内节点重复度≤k-1）都可选取。 例如:T=(0,0,2,2,3,5,8,11,16)
B样条曲线的性质
1. 表示唯一性：
给定节点向量、给定控制顶点的k阶B样条曲线表示唯一。
P5
P″ 4
图 8-16 B 样 条 曲 线 的 局 部 支 柱 性
B样条曲线的性质
4. 几何不变性和仿射不变性：
B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。曲线作仿射变换， 只须把其控制多边形作此仿射变换。
5.B网逼近性质
B网大致反映了B样条曲线的形状，这有利于人机交互设计.
6.变差缩减性
设平面内 n+1 个控制顶点 构成B样条曲线 P(t) 的特征多边形。在 该平面内的任意一条直线与 P(t) 的交点个数不多于该直线和特征 多边形的交点个数。
规定：0/0=0
B样条基函数的性质
1. 正性与局部支撑性
[ti , ti+k]为Ni,k(t)的支撑区间
B样条基函数的性质
2. 权性(归一性)
3.线性无关性
B样条基函数的性质
4.微分--差分公式
导数为前一次数的两个基函数的线性组合
5.r阶导数
r阶导数为前一次数的两个基函数的r阶导数的组合
B样条基函数的本质
样条曲线
样条曲线：节点序列上定义的满足一定的连续性的分段曲 线 优点：局部性+。。。
B样条曲线的定义
1. B样条曲线定义
设有控制顶点P0,P1,…,Pn,则k阶(k-1次)B样条曲线的数学表达式为:
其中：Ni,k(t)是k-1次B样条曲线的基函数； 是单调不减的节点分割。
B样条曲线的定义
2. B样条基函数的递推定义(de Boor-Cox公式)
B样条曲线
B样条提出背景
仅包含一段的多项式曲线不能满足造型需求
约束条件增多，Bézier造型的缺陷：
Ø 次数增加 Ø 形状复杂
Ø 算法不稳定 Ø 不能局部控制
分段的多项式函数
Ø 拼接的话连续性容易产生问题
B样条的发展
1949年，Schoenberg最早提出定义在均匀节点向量上的B样 条函数理论。
谢谢！
控制顶点是唯一一组
B样条曲线的性质
2. 凸包性：
k 阶P(t)在区间(ti, ti+1) , k-1<=i<=n 上的部分位于k个点Pi-k+1…,Pi的 凸包内，整条曲线则位于各凸包Ci的并集之内。
每3个控制顶点构成一个凸包
B样条曲线的性质
3. 局部性
k 阶B样条曲线上参数为
的一点P(t)至多与k个控制顶点
区间 的一个分割 :ax0 x1 xn b
节点
定义于分割上的函数 g(x)满足两条件： k次样条函数
Ø 在[xi,xi1]上， g(x)是x的 k次多项式
Ø g(x)Ck1[a,b]
g(x)在区间 上有直到 k-1阶的连续导数
节点序列上定义的满足一定的连续性的分段函数 连续阶最高
B样条是Bézier的推广
B样条曲线的几何生成
割角公式：
B样条曲线的局部加细
节ห้องสมุดไป่ตู้插入公式：
节点向量中插入一点t’
原始基函数图例
节点的插入导致某个基函数细分 节点插入后细分的基函数图例
N
j,k
(t)
j,k
N
1 j,k
(t)
j 1,k
N
1 j 1,k
(t)
B样条曲线的优点
用B样条基函数代替Bernstein基函数： 1）逼近特征多边形的精度更高。 2）多边形的边数与基函数的次数无关。 3）具有局部修改性。 4） 灵活造型
Pj ( j=i-k+1,…i)有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第i个控 制顶点Pi至多影响到定义在区间(ti, ti+k) 上那部分曲线的形状, 对曲 线的其余部分不发生影响。
P1
P2
P4
P7 P6
P0 P3
P′ 4
一段区间由k个连续控制点参与；
一个控制点参与K段(ti, ti+k)曲线构造。
均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质
图3.1.23 三次均匀的B样条曲线
B样条曲线的类型
2 .准均匀B样条曲线
两端节点具有重数k，内部节点为均匀单节点。 例如:T=(0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,7,7)
图3.1.24 准均匀三次B样条曲线
准均匀B样条曲线保留了Bezier曲线端点的几何性质
每个基函数都是一个分段多项式
B样条曲线的类型
控制多边形的顶点为Pi(i=0,1…,n),阶数为k(次数为k-1)，则节点矢量 是T=[t0,t1,…,tn+k]。
1. 均匀B样条曲线
节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，所有节点区间长度 Δi=ti+1-ti=常数>0(i=0,1,…n+k-1)。例如:T=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)
B样条曲线的性质
7. 连续阶性：
曲线在重数为 m 的节点处，连续阶能达到k-1-m 。
连续阶=次数-重数 整条曲线的连续阶能达到次数-重数的最大值
B样条曲线的性质
8. 退化性：
节点矢量中两端节点具有重数k，所有内节点重数为k-1，这样的节 点矢量定义了分段的Bernstein基。 B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独 立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状。例 如:T=(0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2)
B样条曲线造型灵活性
用B样条曲线可以构造直线段、尖点、切线等特殊情况。 ¦对于4阶（3次）的B样条曲线P(t)若要在其中得到一条直线段，只 要Pi, Pi+1, Pi+2, Pi+3 4点位于一条直线上。 ¦为了使P(t)能过P(i)点，只要使Pi, Pi+1, Pi+2 重合。尖点也可通过三 重节点的方法得到。
1960年，de Boor开始研究用B样条做几何表示。之后它与 Mansfield, Cox分别独立发现了B样条的递归算法。
给出了B样条基函数的递归算法
1974年，Gordon与Riesenfeld将B样条函数推广到矢值形式， 得到了B样条函数。
从B样条函数到B样条曲线
样条函数的定义
B样条曲线的类型
3. 非均匀B样条曲线
任意分布的节点矢量 T=[t0,t1,…,tn+k]，只要在数学上成立（节点序 列非递减，两端节点重复度≤k，内节点重复度≤k-1）都可选取。 例如:T=(0,0,2,2,3,5,8,11,16)
B样条曲线的性质
1. 表示唯一性：
给定节点向量、给定控制顶点的k阶B样条曲线表示唯一。
P5
P″ 4
图 8-16 B 样 条 曲 线 的 局 部 支 柱 性
B样条曲线的性质
4. 几何不变性和仿射不变性：
B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。曲线作仿射变换， 只须把其控制多边形作此仿射变换。
5.B网逼近性质
B网大致反映了B样条曲线的形状，这有利于人机交互设计.
6.变差缩减性
设平面内 n+1 个控制顶点 构成B样条曲线 P(t) 的特征多边形。在 该平面内的任意一条直线与 P(t) 的交点个数不多于该直线和特征 多边形的交点个数。
规定：0/0=0
B样条基函数的性质
1. 正性与局部支撑性
[ti , ti+k]为Ni,k(t)的支撑区间
B样条基函数的性质
2. 权性(归一性)
3.线性无关性
B样条基函数的性质
4.微分--差分公式
导数为前一次数的两个基函数的线性组合
5.r阶导数
r阶导数为前一次数的两个基函数的r阶导数的组合
B样条基函数的本质
样条曲线
样条曲线：节点序列上定义的满足一定的连续性的分段曲 线 优点：局部性+。。。
B样条曲线的定义
1. B样条曲线定义
设有控制顶点P0,P1,…,Pn,则k阶(k-1次)B样条曲线的数学表达式为:
其中：Ni,k(t)是k-1次B样条曲线的基函数； 是单调不减的节点分割。
B样条曲线的定义
2. B样条基函数的递推定义(de Boor-Cox公式)
B样条曲线
B样条提出背景
仅包含一段的多项式曲线不能满足造型需求
约束条件增多，Bézier造型的缺陷：
Ø 次数增加 Ø 形状复杂
Ø 算法不稳定 Ø 不能局部控制
分段的多项式函数
Ø 拼接的话连续性容易产生问题
B样条的发展
1949年，Schoenberg最早提出定义在均匀节点向量上的B样 条函数理论。
谢谢！
控制顶点是唯一一组
B样条曲线的性质
2. 凸包性：
k 阶P(t)在区间(ti, ti+1) , k-1<=i<=n 上的部分位于k个点Pi-k+1…,Pi的 凸包内，整条曲线则位于各凸包Ci的并集之内。
每3个控制顶点构成一个凸包
B样条曲线的性质
3. 局部性
k 阶B样条曲线上参数为
的一点P(t)至多与k个控制顶点
区间 的一个分割 :ax0 x1 xn b
节点
定义于分割上的函数 g(x)满足两条件： k次样条函数
Ø 在[xi,xi1]上， g(x)是x的 k次多项式
Ø g(x)Ck1[a,b]
g(x)在区间 上有直到 k-1阶的连续导数
节点序列上定义的满足一定的连续性的分段函数 连续阶最高
B样条是Bézier的推广
B样条曲线的几何生成
割角公式：
B样条曲线的局部加细
节ห้องสมุดไป่ตู้插入公式：
节点向量中插入一点t’
原始基函数图例
节点的插入导致某个基函数细分 节点插入后细分的基函数图例
N
j,k
(t)
j,k
N
1 j,k
(t)
j 1,k
N
1 j 1,k
(t)
B样条曲线的优点
用B样条基函数代替Bernstein基函数： 1）逼近特征多边形的精度更高。 2）多边形的边数与基函数的次数无关。 3）具有局部修改性。 4） 灵活造型
Pj ( j=i-k+1,…i)有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第i个控 制顶点Pi至多影响到定义在区间(ti, ti+k) 上那部分曲线的形状, 对曲 线的其余部分不发生影响。
P1
P2
P4
P7 P6
P0 P3
P′ 4
一段区间由k个连续控制点参与；
一个控制点参与K段(ti, ti+k)曲线构造。
均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质
图3.1.23 三次均匀的B样条曲线
B样条曲线的类型
2 .准均匀B样条曲线
两端节点具有重数k，内部节点为均匀单节点。 例如:T=(0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,7,7)
图3.1.24 准均匀三次B样条曲线
准均匀B样条曲线保留了Bezier曲线端点的几何性质
每个基函数都是一个分段多项式
B样条曲线的类型
控制多边形的顶点为Pi(i=0,1…,n),阶数为k(次数为k-1)，则节点矢量 是T=[t0,t1,…,tn+k]。
1. 均匀B样条曲线
节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，所有节点区间长度 Δi=ti+1-ti=常数>0(i=0,1,…n+k-1)。例如:T=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)
B样条曲线的性质
7. 连续阶性：
曲线在重数为 m 的节点处，连续阶能达到k-1-m 。
连续阶=次数-重数 整条曲线的连续阶能达到次数-重数的最大值
B样条曲线的性质
8. 退化性：
节点矢量中两端节点具有重数k，所有内节点重数为k-1，这样的节 点矢量定义了分段的Bernstein基。 B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独 立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状。例 如:T=(0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2)
B样条曲线造型灵活性
用B样条曲线可以构造直线段、尖点、切线等特殊情况。 ¦对于4阶（3次）的B样条曲线P(t)若要在其中得到一条直线段，只 要Pi, Pi+1, Pi+2, Pi+3 4点位于一条直线上。 ¦为了使P(t)能过P(i)点，只要使Pi, Pi+1, Pi+2 重合。尖点也可通过三 重节点的方法得到。