第三节 曲面及其方程 (1,2,3) (2,-1,4)

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曲面及其方程

曲面及其方程

例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程.
解: 在yoz面上直线L 的方程为
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
两边平方
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
解:绕 x 轴旋转
绕 z 轴旋转
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
所成曲面方程为
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
的图形通常为二次曲面.
(二次项系数不全为 0 )
1. 椭球面
(1)范围:
(2)与坐标面的交线:椭圆

的交线为椭圆:
(4) 当 a=b 时为旋转椭球面;
同样
的截痕

也为椭圆.
当a=b=c 时为球面.
(3) 截痕:
2. 椭圆锥面(二次锥面)
椭圆
在平面 x=0 或 y=0 上的截痕为过原点的两直线 .
C
又如,方程组
表示上半球面与圆柱面的交线C.
空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
例如,
在xoy 面上的投影曲线方程为
又如,
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
故在空间
过此点作
柱面.
对任意 z ,
平行 z 轴的直线 l ,
表示圆柱面
在圆C上任取一点
其上所有点的坐标都满足此方程,
定义2.
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成

第三节 曲面及其方程

第三节 曲面及其方程

第三节 曲面及其方程 ㈠本课的基本要求 理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程 ㈡本课的重点、难点常用二次曲面的方程及其图形为重点,求以坐标轴为旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程为难点 ㈢教学内容一.曲面方程的概念曲面是空间上按照一定规律运动的点的轨迹。

定义:如果曲面S 上每一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F 。

而不在曲面S 上的点的坐标都不满足这个方程,则称0),,(=z y x F 为曲面S 的方程,而称曲面S 为此方程的图形。

例1 求两定点),,(),,,(22221111z y x M z y x M 等距离的点的轨迹方程。

解:设),,(z y x M =即:222222212121)()()()()()(z z y y x x z z y y x x -+-+-=-+-+-化简有:0)]([21)()()(222222212121121212=++-+++-+-+-z y x z y x z z z y y y x x x二.常见的二次曲面及其方程1.球面(空间中与某个定点等距离的点的轨迹)设定点的坐标为),,(000z y x ,则点),,(z y x M 在以0M 为球心,以R 为球半径的球面上的充R =即:2202020)()()(R z z y y x x =-+-+- 此即为以0M 为球心,R 为半径的球面方程。

当0M 是原点时,为特点:⑴是x 、y 、z 的二次方程,且222,,z y x 系数相等,符号相同; ⑵方程中不出现xy 、yz 、xz 等乘积项。

满足上述两个特点的三元二次方程0222=++++++D Cz By Ax z y x 一般为球面方程,变形:)4(41)2()2()2(222222D C B A C z B y A x -++=+++++可见,当04222>∆=-++D C B A 时,为球面,0=∆为点,0<∆为虚轨迹。

高等数学 第八章 第三节 平面及其方程

高等数学 第八章 第三节   平面及其方程
取法向量 n n1 n2 (10 , 15 , 5) 所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0
化简得 2x 3 y z 6 0
第八章 第三节
16
例7 求平行于平面 6x y 6z 5 0 而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程。
• B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面。
第八章 第三节
9
例3 设平面过原点及点 (6 , 3 , 2) ,且与平面 4x y 2z 8 垂直,求此平面方程。
解 设平面为 Ax By Cz D 0
由平面过原点知 D 0
由平面过点 (6 , 3 , 2) 6A 3B 2C 0
C
2 2
第八章 第三节
Π1
12
特别地
n2
(1) Π 1 Π 2
n1 n2
Π1
A1 A2 B1 B2 C1 C 2 0
(2) Π 1 // Π 2
n1 // n2
n2
n1
Π2
n1
A1 B1 C1 A2 B2 C2
Π2 Π1
第八章 第三节
13
例5 研究以下各组里两平面的位置关系:
第三节 平面及其方程
教学内容
1 曲面方程与空间曲线方程的概念
2 平面的点法式方程 3 平面的一般方程 4 两平面的夹角
考研要求
掌握平面方程及其求法,会求平面与平面的夹 角,并会利用平面的相互关系(平行,垂直,相交 等),解决有关问题。
第八章 第三节
1
一、曲面方程与空间曲线方程的概念
引例 求到两定点 A(1 , 2 , 3) 和 B(2 , -1 , 4) 等距离 的点的轨迹方程。

高等数学第七章:曲面及其方程

高等数学第七章:曲面及其方程
这条定直线叫旋 转曲面的轴.
4/21
旋转过程中的特征:
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
(2)点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
(1)双曲线
x2 a2

z2 c2

1分别绕 x轴和z轴;
绕x 轴旋转
x2 a2

y2 c2
z2
1
旋 转

绕z 轴旋转
x2 a2
y2

z2 c2

1
曲 面
x
y z
y2
(2)椭圆

a
2

z2 c2

1绕 y 轴和z轴;
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2

x2 c2
z2

1

0



2

叫圆锥面的
半顶角.试建立顶点在坐标原点,旋转轴为z 轴,
半顶角为 的圆锥面方程. z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )

o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周, 求生成的旋转曲面的方程.
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴.
4/21

第八章第3节曲面及其方程

第八章第3节曲面及其方程
磨璞见玉 砺剑生辉
祝同学们在新学期 取得更好的成绩
1
内容与学时
第八章 空间解析几何 6学时
第九章 多元函数微分法及其应用 20学时
第十章 重积分 12学时
第十一章 曲线积分与曲面积分 14学时
第十二章 无穷级数 18学时
第七章 微分方程 14学时
总复习 4学时
总计 88学时
2
第3节 曲面及其方程
40
习题8 3 P31
1,2,3,5,6,8(1,3),9(1,3),10(1,4),11(3)
x
33
(三)双曲面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
单叶双曲面
(1)用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.

x2 a2

y2 b2

1
z 0
34
与平面 z z1 的交线为椭圆.
x2

a
2

y2 b2

1
z12 c2
25
椭球面的几种特殊情况:
(1) a b,
x2 a2

y2 a2

z2 c2

1
旋转椭球c2
1绕
z 轴旋转而成.
方程可写为
x2 y2 a2

z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别:
与平面 z z1 ( | z1 | c)的交线为圆.
26
截面上圆的方程

(讨论旋转曲面) (2)已知坐标间的关系式,研究曲面形状.
(讨论柱面、二次曲面)
10

03曲面及其方程、二次曲面

03曲面及其方程、二次曲面
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线,动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
2019/7/24
44
高等数学(下)主讲杨益民
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线,动直线L叫柱面的母线。
高等数学(下)主讲杨益民
高等数学
北京工商大学 杨益民
2019/7/24
1
高等数学(下)主讲杨益民
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地,若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足: (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0 ;
这条定曲线C 叫柱面的准线,动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
2019/7/24
42
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三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线,动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
2019/7/24
43
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则称:方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程,而曲面S就叫做方程 F(x,y,z)=0的图像。
两个基本问题:
(1)已知曲面S,求曲面方程F(x, y, z) = 0 ?
(2)已知F(x, y, z) = 0 ,问它表示什么曲面?
2019/7/24
2
高等数学(下)主讲杨益民
例1 求球心在点 M 0(x0,y0,z0)半径为R的球面方程。 例2 已知空间两点A(1,2,3),B(2,-1,4),求线段AB的垂直平分

03曲面及其方程、二次曲面

03曲面及其方程、二次曲面

C:
f ( y, z) 0

x

0
绕oz轴旋转得旋转曲面
f( x2y2,z)0
2. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0

x

0
绕oy轴旋转得旋转曲面
f(y, x2z2)0
3.
xoy平面上的母线
C:
f (x,

z

0
y)

0
绕ox轴旋转得旋转曲面
x2 y2 z 2p 2q
( p与q同号 )
用截痕法讨论: 设 p0,q0
z
2019/10/17
o x
y
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(三)双曲面
(1)
x2 a2
by22
cz22
1
单叶双曲面
z
z
o
y
o
y
x x
.
2019/10/17
20
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(2)
x2 a2
by22
f(x, y2z2)0
2019/10/17
7
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例6
求xoz坐标面的上双曲线C:
x2 a2

z2 c2

1
分别绕x轴和z轴
一周生成的旋转曲面的方程。 y 0
解:
绕 x轴 旋 转 x2 a2

y2 z2 c2
1
旋 转

绕 z轴 旋 转x2a2y2 cz22 1
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫 圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。

03曲面及其方程、二次曲面-47页精品文档

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面的方程。
例3 方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0表示
什么图形?
一般地,三元二次方程(不含交叉项且平方项系数相同)
A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0
表示空间的一张球面。
一些特殊曲面
用截痕法讨论几种特殊曲面(特别二次曲面)
17.09.2019
3
高等数学(下)主讲杨益民
例4 方程 z (x 1 )2 (y 2 )2 1 的图形是怎样的?
解 根据题意有 z1
用平面z c去截图形得圆:
z
( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 1 c( c 1 )
当平面z c上下移动时,得
C:
f ( y, z) 0

x

0
绕oz轴旋转得旋转曲面
17.09.2019
13
高等数学(下)主讲杨益民
f( x2y2,z)0
5.
xoy平面上的准线方程
C:
f (x,

z

0
y)

0
母线平行于
z
轴的
柱面方程为: f(x, y)0
四、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫 圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
17.09.2019
8
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例7 试建立顶点在坐标原点,旋转轴为z轴,半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot

3曲面及其方程1

3曲面及其方程1
这条定曲线C 叫柱面 的准线
动直线L 叫柱面的 母线.
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
柱面方程的特征:
只含 x,y 而缺 z 的方程F ( x, y) 0, 在空间
直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面,
实 例
y2 b2

z2 c2
1
椭圆柱面 //x 轴
x2 a2

取 p=3, q=4
椭圆抛物面: x2 y2 z 2 p 2q
当p、q 均为正时
当p、q 均为负时
3. 双曲抛物面
由方程
x2 y2 z
2 p 2q
( p 与q 同号) 所表示的 曲面称为
双曲抛物面 (马鞍面)
4.椭圆锥面
由方程
x2 a2

y2 b2

例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,
求生成的旋转曲面的方程.
(1)xoz 面上双曲线
x2 z2 1 a2 c2
分别绕 x 轴和 z 轴;
绕 x 轴旋转:
x2 a2

y2 c2
z2
1
旋 转

绕 z 轴旋转:
x2 y2 a2

z c
2 2
1
曲 面
(2)yoz 面上椭圆
y2 z2 1 a2 c2
方法:在母线方程中,保持转轴对应的坐标变量不变, 另一个变量换成其余两个变量的平方和的平方根。
例2 求顶点在坐标原点,半顶角为 (0 )
2
旋转轴为z 轴的圆锥面方程. 解 yoz 面上直线方程

03曲面及其方程、二次曲面

03曲面及其方程、二次曲面

f(x, y2z2)0
2019/11/30
7
高等数学(下)主讲杨益民
例6
求xoz坐标面的上双曲线C:
x2 a2

z2 c2

1
分别绕x轴和z轴
一周生成的旋转曲面的方程。 y 0
解:
绕 x轴 旋 转 x2 a2

y2 z2 c2
1
旋 转

绕 z轴 旋 转x2a2y2 cz22 1
z
z
y2 2x z 0
平面
o
y
o
y
x
x
抛物柱面
y x

z

0
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11
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一般地,已知准线方程
f (x, y) 0
C:

z

0
母线平行于 z 轴的柱面方程为:f(x, y)0
注意:方程 f(x, y)0中缺z,表示z可以任意取值,所以 方程 f(x, y)0表示母线平行于z轴的柱面。
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高等数学
北京工商大学 杨益民
2019/11/30
1
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第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地,若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足: (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0 ;
观察柱面的 形成过程:
2019/11/30
40
高等数学(下)主讲杨益民
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。

《曲面及其方程》课件

《曲面及其方程》课件

02
常见曲面及其方程
平面
总结词:二维平面
详细描述:平面是一种常见的曲面,它在三维空间中表现为一个无限延展且没有 厚度的二维表面。平面的方程通常可以表示为 Ax + By + Cz = D。
球面
总结词
三维球体表面
详细描述
球面是三维空间中球体的表面,它可以由球心和球面上任意两点之间的距离来确定。球面的方程通常可以表示为 x^2 + y^2 + z^2 = R^2。
03
曲面的参数方程
参数方程的定义与特点
总结词
参数方程是描述曲面的重要方式,它通过引 入参数来表达曲面上点的坐标。
详细描述
参数方程通常由两个或三个参数变量和对应 的坐标表达式组成,例如,平面上的圆心为 $(h, k)$,半径为$r$的圆的参数方程为$(xh)^2+(y-k)^2=r^2$。参数方程能够清晰 地表达曲面的形状和大小,并且可以通过调 整参数来改变曲面的形状。
《曲面及其方程》 ppt课件
目录
CONTENTS
• 曲面及其方程概述 • 常见曲面及其方程 • 曲面的参数方程 • 曲面的性质与变换 • 曲面方程的求解方法 • 曲面在几何与工程中的应用
01
曲面及其方程概述
曲面的定义与分类
总结词
曲面的定义、分类
详细描述
曲面是三维空间中弯曲的二维表面,它可以由多种方式形成,如旋转、平移、 拉伸等。根据形成方式的不同,曲面可以分为多种类型,如球面、锥面、柱面 等。
性。
曲面的参数方程
曲面可以用参数方程表示,其中 两个参数(u和v)用于描述曲面 上的点。通过参数方程,可以方 便地研究曲面的几何性质和变换
方法。

《曲面及方程》课件

《曲面及方程》课件

7. 曲面的切向量与切线方程
⇢⇠
8. 曲面的法向向量与法线方程⇑⇓
9. 曲面的曲率及主曲率
10. 可视化表示曲面
11. 曲面的翻转与旋转
12. 曲面的投影与裁剪⇩⇧
13. 三维曲面的交点⚡
14. 曲面的梯度、散度、旋度⚙️
15. 曲面的高斯曲率与平均曲率⚖️
16. 曲面的最小曲面与最小旋
转曲面
17. 曲面的拓扑结构
18. 曲面的曲线包络与曲面包络⭕
19. 曲面的偏微分方程
20. 曲面的应用与发展趋势
《曲面及方程》PPT课件
从曲面的定义和特点开始,逐步深入探讨曲面的方程表示、参数化曲面以及
其切平面、法向量等概念,包括曲面的曲率、可视化表示以及应用与发展趋
势。
1. 什么是曲面?
2. 曲面的分类及特点✨
3. 曲面的方程表示
4. 参数化曲面的定义及优点
ห้องสมุดไป่ตู้
5. 常见的参数化曲面
6. 曲面的切平面与法向量⏩⏪

曲面及其方程

曲面及其方程

y
绕 y 轴一周
得 :旋转单叶双曲面
o
a
x
x2 + z2 y2 − 2 =1 2 a b
z
.
⎧ x2 y2 ⎪ 2 − 2 =1 双曲线 ⎨ a b ⎪z = 0 ⎩
x
绕 x 轴一周
0
y
⎧ x2 y2 ⎪ 2 − 2 =1 双曲线 ⎨ a b ⎪z = 0 ⎩
x
绕 x 轴一周
z
.
0
y
⎧ x2 y2 ⎪ 2 − 2 =1 双曲线 ⎨ a b ⎪z = 0 ⎩
yoz 面上直线方程为 z = y cot α
x
α
圆锥面方程
o
y
z = ± x 2 + y 2 cot α
例5 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求 生成的旋转曲面的方程.
x y (1)双曲线 2 − 2 = 1分别绕 y 轴和 x轴; a b
绕 y 轴旋转,得
x2 + z2 a2 − y2 b2 = 1 旋转单叶双曲面
⎧ f ( y, z ) = 0 绕 z 轴 曲线 C : ⎨ ⎩x = 0
z
旋转一周得旋转曲面 S
P M
N ( 0, y 1 , z 1 )
.
∀ M(x,y,z) ∈ S
f (y1, z1)=0
z1 = z
.
S
z o
z1
C
| y1 |= MP =
x +y
2
2
y1
y
y1 = ± x 2 + y 2
∴ S: f ( ± x + y , z ) = 0
4⎞ 116 2⎞ ⎛ 2 ⎛ ⎜ x + ⎟ + ( y + 1) + ⎜ z + ⎟ = 3⎠ 9 3⎠ ⎝ ⎝

03曲面及其方程、二次曲面27851 35页PPT

03曲面及其方程、二次曲面27851 35页PPT

cz22
1
双叶双曲面
z
o
y
x
oy x
30.08.2019
21
高等数学(下)主讲杨益民
习题8-3 4,5,7,8,9,10,11
30.08.2019
22
Thank you
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫 圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
30.08.2019
8
高等数学(下)主讲杨益民
例7 试建立顶点在坐标原点,旋转轴为z轴,半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
C
:

30.08.2019
15
高等数学(下)主讲杨益民
椭球面的几种特殊情况:
(1)
ab,
x2 a2
y2

z2 c2
1
旋转椭球面
由椭圆
x2 z2

a2

c2

1


y2 b2

z2 c2

1
y 0
x 0
绕z轴旋转而成。
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
30.08.2019
3
高等数学(下)主讲杨益民
例4 方程 z (x 1 )2 (y 2 )2 1 的图形是怎样的?
解 根据题意有 z1
用平面z c去截图形得圆:
z
( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 1 c( c 1 )
当平面z c上下移动时,得
目的:利用截痕法讨论二次曲面的形状。

曲面曲线方程

曲面曲线方程
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
2 2
C
x
o
1
y
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
y x 1
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
2.画出图形
x 1 (1) y2
z 4 x y (2) yx0
z
2
2
z
2 y
1
o o
o x
2y
x
(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
y 5x 1 (4) y x3
z
y 5x 1 y x3
o
y
z
x2 y2 1 (5) 4 9 y3
及 x 1.
z
(1,1)
x
y2 x
o 1
(1,1)
y
x2 y2 z
x 1 z0
(1)范围:
2
2
2
x a,
y b,
z c
y2 z2 1 , b2 c2 x0 x2 z 2 1 a 2 c 2 y0
(2)与坐标面的交线:椭圆
x2 y2 1, 2 2 a b z0
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
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得到, 见书 P316 )
72
内容小结
1. 空间曲面
三元方程 F (x , y , z) = 0
• 球面 (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R2
• 旋转曲面
如,
曲线
⎩⎨⎧
f (y, z) x=0
=
0

z
轴的旋转曲面:
• 柱面
f (± x2 + y2 , z) = 0
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
两个基本问题 :
F(x, y, z) = 0
z
S
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
o x
y
求曲面方程.
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
l
的坐标也满足方程 x2 + y2 = R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面.其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间
x2 + y2 = R2 表示圆柱面
62
2
2013/3/1
定义. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
2013/3/1
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
51
一、曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z) , 则 AM = BM , 即
(x −1)2 + ( y − 2)2 + (z − 3)2 = (x − 2)2 + ( y +1)2 + (z − 4)2
x
y
68
3
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3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
x2 a2
+
y2 b2

z c
2 2
=1
( a,b, c 为正数)
x
y
平面 z = z1 上的截痕为 椭圆.
平面 y = y1上的截痕情况:
1) y1 < b 时, 截痕为双曲线:
x2 a2

z2 c2
=1−
y12 b2
y = y1
(实轴平行于x 轴; 虚轴平行于z 轴)
2 p 2q
• 双曲面: 单叶双曲面
x2 a2
+
y2 b2

z c
2 2
=1
• 椭圆锥面:
x2 a2
+
y2 b2
=
z2
双叶双曲面
x2 a2
+
y2 b2

z c
2 2
= −1
74
4
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练习
1.指出下列方程的图形:
方程 x=5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
也为椭圆.
(4) 当 a=b 时为旋转椭球面; 当a=b=c 时为球面.
67
2. 抛物面
z
(1) 椭圆抛物面
x2 + y2 = z ( p , q 同号) 2p 2q
y x
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.
(2) 双曲抛物面(鞍形曲面)
z
− x2 + y2 = z ( p , q 同号) 2p 2q
• 第31页
• 2,3,5,7
答案: a ⋅ b = 1 ,
a × b = (1, 1, 3)
cosθ = 1 , 23
sinθ =
11 12
77
78
5
+
z2 c2
=1
⎪⎩ y = 0
66
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
=1
( a,b, c为正数)
(3) 截痕:与 z = z1 ( z1 < c)的交线为椭圆:
a2 c2
x2 (c2 −
z12
)
+
b2 c2
y2 (c2 −
z12
)
=
1
z
z = z1
同样 y = y1 ( y1 ≤ b ) 及 x = x1( x1 ≤ a)的截痕
如,曲面F (x , y) = 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
73
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
=1
• 抛物面:
椭圆抛物面
( p, q 同号)
x2 + y2 = z 2 p 2q
双曲抛物面 − x2 + y2 = z
−1
( a, b, c 为正数)
平面 y = y1 上的截痕为 双曲线
平面 x = x1 上的截痕为 双曲线 x 平面 z = z1 ( z1 > c)上的截痕为 椭圆
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
x2 a2
+
y2 b2

z c
2 2
=
1 单叶双曲面 −1 双叶双曲面
z oy
71
z
4. 椭圆锥面
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
55
二、旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
56
1
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建立yOz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yOz 面上曲线 C: f ( y, z) = 0 z
( 必要时需作图 ).
53
例1. 求动点到定点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 距离为 R 的轨迹 方程.
z M0
M
o
y
x
54
例3. 研究方程 x2 + y2 + z2 − 2x + 4 y = 0 表示怎样 的曲面.
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) A(x2 + y2 + z2 ) + Dx + Ey + Fz + G = 0
x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
x
y
z
61
三、柱面
z
例6. 分析方程 x2 + y2 = R2
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xOy 面上,x2 + y2 = R2 表示圆C,
C
o M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0) , 过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
z
x2 a2
+
y2 b2
=
z2
( a, b 为正数)
在平面 z = t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
+
y2 (bt)2
=1,
z=t

xx
o yy
在平面 x=0 或 y=0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
x2 + y2 = 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
y = x +1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
75
76
2. 设 a = i + 2 j − k , b = −i + j , 计算 a ⋅ b 及 a × b ,并求 a , b 夹角θ 的正弦与余弦 .
作业
四、二次曲面
三元二次方程 Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fzx + Gx + Hy + Iz + J = 0 (二次项系数不全为 0 )
的图形通常为二次曲面. 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .
69
2) y1 = b 时, 截痕为相交直线: x± z =0 ac y = b (或 − b)
3) y1 > b时, 截痕为双曲线:
x2 a2

z2 c2
=1−
y12 b2
<0
y = y1
(实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴)
z
x
y
z
x
y
70
(2) 双叶双曲面
x2 a2
+
y2 b2

z2 c2
=
化简得 2x − 6 y + 2z − 7 = 0 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
52
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
65
1. 椭球面
x2 a2
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