高斯求积型公式及其程序开发

2011年1月19日

摘要

在实际中，求非代数函数的积分往往要求精度很高，因为高斯型求积公式据有最高代数精度且高斯型求积公式是收敛和稳定的，同时它可以使更多的函数准确成立，所以研究高斯型求积公式及其程序开发是很必要的.目的是总结分析高斯型求积公式，在掌握其基本思想的基础上，深入学习几种常见的高斯型求积公式.

本文共包含两章，第一章主要介绍高斯型求积公式的概述，包括理论知识以及分类性质，还有算法分析及流程图.第二章主要介绍几种常用的高斯型求积公式，内容包括其定义及余项，还有部分C程序和流程图以及应用举例等.

关键词高斯型求积公式; 正交多项式;流程图;C程序

目录

引言 (1)

第一章高斯型求积公式 (2)

§1.1 高斯型求积公式的概述 (2)

§1.1.1 高斯型求积公式的定义及理论 (2)

§1.1.2 高斯型求积公式的分类及性质 (3)

§1.2 高斯型求积公式的方法及其流程图 (4)

§1.2.1 高斯型求积公式的方法 (4)

§1.2.2 高斯型求积公式的方法流程图 (5)

第二章常用的高斯型求积公式 (5)

§2.1 高斯-勒让德求积公式 (5)

§2.1.1高斯-勒让德求积公式的概述 (6)

§2.1.2高斯-勒让德求积公式的算法及引例 (7)

§2.1.3 C程序：用递归法求5阶勒让德值 (9)

§2.2 高斯-切比雪夫求积公式 (10)

§2.2.1高斯-切比雪夫求积公式的概述 (10)

§2.2.2 高斯-切比雪夫求积公式应用举例及算法流程图 (11)

§2.3 高斯-埃尔米特求积公式 (11)

§2.3.1高斯-埃尔米特求积公式的概述 (12)

§2.3.2高斯-埃尔米特求积公式应用举例 (13)

参考文献 (15)

附录A (16)

附录B (18)

引言

介绍高斯型求积公式，重点理解三种常用的高斯型求积公式即Gauss-Legendre 求积公式,Gauss-Chebyshev求积公式,Gauss-Hermite求积公式.同时，对部分高斯型求积公式进行程序设计及流程图设计.

我们知道，插值型求积公式分为等距节点下的Newton-Ctoes求积公式和非等距

节点下的Gauss求积公式两种,且对于1

n+个节点时，其代数精度至少为n次.在

Newton-Ctoes求积公式中，节点是等距的，从而限制了求积公式的代数精度，下面

讨论的高斯型求积公式将取消这个限制条件，使代数精度达到最高，1

n+个节点的高

斯型求积公式的代数精度为21

n+次，并且总是稳定和收敛的.

高斯型求积公式的系数

A恒为正，故高斯型求积公式是稳定的；且对（有限闭

k

区间上的）连续函数，高斯求积的数值随节点数目的增加而收敛到准确积公值.高斯

ρ，高斯节点不容易求.高斯型求积系型求积公式有很多优点，但对一般的权函数)

(x

数多为无理数，因此不如牛顿柯特斯求积公式的等距节点和柯特斯系数.当函数)

f

(x 赋值计算量大或者求非代数函数的积分时，高斯型求积公式常被优先选取.

另外，高斯型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时，前面的计算的函

数值不能被后面利用.计算过程比较麻烦，但精度高，特别是对计算无穷区间上的积

分和旁义积分，则是其他方法所不能比的.

第一章 高斯型求积公式

§1.1 高斯型求积公式的概述

我们知道，1n +个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度，那么，最高的代数精度能达到多少呢？为此，我们得到高斯型求积公式.

§1.1.1 高斯型求积公式的定义及理论

定义 1.1 放弃等距节点下的限制，在区间[],a b 上，适当选择1n +个节点

()0,1,k x k n = 使插值求积公式的稳定性好，总是收敛且代数精度高达21n +，这中

高精度的求积公式，称高斯型求积公式.高斯公式的的求积节点k x 称为高斯点.公式表示为

()()0

n

b

k k a

k f x dx A f x =≈∑⎰ （1-1）

其中()b

k k a

A l x dx =⎰.

高斯求积应用的定理：

定理1.1 插值型求积公式（1-1）的节点01...n a x x x b ≤≤≤≤≤是高斯点的 充分必要条件是这些节点为零点的多项式

()()()()101...n n x x x x x x x ω+=---

与任何次数不超过n 次的多项式()p x 带权()x ρ正交，即

()()()1

0b

n a

p x x x dx ωρ+=⎰.

定理1.2 高斯型求积公式（1-1）的求积系数k A ()0,1,...,k n =全是正的，且

()()2b

k k a

A l x x dx ρ=⎰.

定理1.3 对于高斯型求积公式（1-1），若[]22,n f C a b +∈，其余项为

[](

)

()()()212121!

n b n a

f x R f x dx

n ω++=

+⎰. 定理1.4 1n +个求积节点的插值型求积公式的代数精度m 满足

21n m n ≤≤+

定理1.5 求积公式

()()()0

b

k

k

a

k f x x dx A f x ρ∞

=≈∑⎰

中，()0,1,2,i x i n = 是高斯点的充分必要条件是：在区间[],a b 上，

()()0

n

j j x x x π==-∏

是关于权函数()x ρ的1n +次正交多项式.

§1.1.2 高斯型求积公式的分类及性质

高斯型求积公式分为带权和不带权两种： 带权积分公式：

()()()0

b

k

k

a

k f x x dx A f x ρ∞

=≈∑⎰

不带权积分公式：

()()0

b

k

k

a

k f x dx A f x ∞

=≈∑⎰.

即带权积分是不带权积分的推广，不带权积分是带全积分的特例.

通过定理7.9可知，正交多项式随权函数不同而异，所以有各种各样的高斯型求积公式.例如：

当1,1a b =-=，且取权函数()2

11x x

ρ=

-，则所建立的带权的高斯型求积公式

()()1

2

1

11n

k k k f x dx A f x x

-=≈-∑⎰

当,a b =-∞=+∞，且取权函数()x x e ρ-=，则所建立的带权的高斯型求积公式

()()0

n

x

i i i e f x A f x +∞

--∞

=≈∑⎰

.

高斯型求积公式（节点个数为1n +）的特点是：

()1具有最高代数精度

21m n =+.

()2高斯点k x 正好为1n +次正交多项式的零点.