数列中分奇偶项求和问题

数列中分奇偶数项求和问题

数列求和问题中有一类较复杂的求和,要对正整数n 进行分奇数和偶数情形的讨论,举例说明如下：

一、相邻两项符号相异； 例1：求和：

n 1

n S n-3-+ =1-5+9-13++(∈)

…（-1）（4） n N

解：当n 为偶数时：()()[]()S 1591342n =-+-+⋯+(4-7) - (4-3) =-=-2n

n n n

当n 为奇数时：()()[]()159134n 32n S =-+-+⋯+(4-11) - (4-7) +=

-+=2-1（4-3）（4-）n -1

n n n n

二、相邻两项之和为常数；

例2：已知数列{a n }中a 1=2，a n +a n+1=1，S n 为{a n }前n 项和，求S n 解：①当n 为偶数时：

12341n n n S a a a a a a -=++++++…

12341()()()122n n n n a a a a a a -=++++++=

⋅=…

②当n 为奇数时：123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++++…

13

222

n n -+=+

=

三、相间两项之差为常数；

例3：已知数列{a n }中a 1=1，a 2=4，a n =a n-2+2 （n ≥3），S n 为{a n }前n 项和，求S n 解：∵a n -a n-2=2 （n ≥3）

∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n-1为等差数列；a 2,a 4,a 6,…,a 2n 为等差数列

当n 为奇数时：1

1(1)22n n a n +=+-•=

当n 为偶数时：4(1)222

n n

a n =+-•=+

即n ∈N +时， 1(1)n n a n ⎡⎤=++-⎣⎦

∴①n 为奇数时：

1(1)

(123)2122n n n n S n n -+=+++++

⋅=+-…

②n 为偶数时：(1)

(123)222n n n n S n n

+=+++++⋅=+…

四、相间两项之比为常数；

例4：已知a n ，a n+1为方程21

()03

n n x C x -+=的两根n ∈N +，a 1=2，S n =C 1+C 2+…+C n ，

求a n 及S 2n 。

解：依题意：11()3n n n a a +•= ∴213n n a a += 其中121

2,6

a a ==。

∴13521,,,...,n a a a a -为等比数列；2462,,,...,n a a a a 为等比数列

∴①n 为偶数时：

11222

211111

()()()36323n n n

n a a --=== ②n 为奇数时：11

122

112()2()33

n n n a +--== 则有：1

2

2

12()21()3

11()2()23

{n n n

n k k N a n k k N -++=-∈==∈ 而C n =a n +a n+1

∴①n 为奇数时，n+1为偶数：111222

11111312()()()

32363n n n n n n C a a -+-+=+=+=

则：

13521131

63113n n C C C C -++++=-

（1-）

… ②n 为偶数时，n+1为奇数：

222

1

11151()2()()23323n n n

n n n C a a +=+=+= 则：

于是：

246251

6

3113n n C C C C ++++=-

（1-）

... 21234212 (11)

(1)(1)1359133..(1)

116623

1133

n n n

n n n S c c c c c c -=++++++-

-=+=---