质点运动学和动力学习题课

达式： 达式：( (1)
dv =a dt
D
) dr v = aτ dt
（A）只有 、4是正确的； 是正确的； ）只有1、 是正确的 (C)只有 是正确的； 只有2是正确的 只有 是正确的；
(B)只有 、4是正确的； 只有2、 是正确的 是正确的； 只有 (D)只有 是正确的。 只有3是正确的 只有 是正确的。
∫ dx = ∫
0 0
x
2 m ln 2
vB e
−
t 2m
dt
x = −2mvB e
t 2 m ln 2 − 2m 0
1 = −2mvB ( − 1 ) = mvB = 14( m) 2
1.一 物 体 在 外 力 F = 2 + 6（ N ） 作 用 下 沿 X轴 x 正 方 向 运 动 ， 当 物 体 从 x =0处 移 到 x = 3 m处 的 过程中，外力F对物体作功多少？
1 2 由 解： mgR = mvB 2
得 vB = 2 gR = 7(m / s )
v dv dv 法一： f = − = m = mv 2 dt dx
∫
x
0
dx = ∫
vB 2
vB
vB − 2mdv, x = −2m( − vB ) = 14( m) 2
法二：冲量定理
mvC − mvB = ∫
2-4 一质点在X-Y平面内运动，其运动方程分别为 x = 3cos 4t，y = 3sin 4t SI）， （ 试求： 1.质点任一时刻的速度和加速度的表达式； 2.质点的切向加速度和法向加速度的大小。 解：（1） dx dy
vx = dt dt dv dv ax = x = −48cos 4t，a y = y = −48sin 4t dt dt = −12sin 4t，v y = = 12 cos 4t
2 。若质点在原点处的速度为零，试求其在任意位 a = 4 + 3x（SI）
置处的速度。 解：设质点在任一位置 x 处的速度为
a= dv dv d x vdv = ⋅ = = 4 + 3x 2 dt d x dt dx
v ，则
由初始条件
v d v = ∫ 4 + 3 x 2 d x得 v = 8 x + 2 x 3 ∫0 0
v v v I ＝P－P0
v n v P＝∑ m i v i = 恒矢量
i =1
3.质点系的动量定理 质点系的动量定理 4.动量守恒定律 动量守恒定律 5.牛顿第二定律 牛顿第二定律
v v dp F = dt
v v 恒力 W = F ⋅ s = Fs cosθ
6、功的计算 功的计算： 功的计算
v v b 变力 W = dW = F ⋅ d s = F d s cosθ ∫ ∫ ∫
4.一特殊弹簧，其弹性力F=－kx3, k为倔强系数，x为 一特殊弹簧，其弹性力 － 为倔强系数， 为 一特殊弹簧 为倔强系数 形变量。现将弹簧水平放置于光滑的平面上， 形变量。现将弹簧水平放置于光滑的平面上，一端固 一端与质量为m的滑块相连而处于自然状态 的滑块相连而处于自然状态。 定，一端与质量为 的滑块相连而处于自然状态。今 沿弹簧长度方向给滑块一个冲量，使其获得一速度v 沿弹簧长度方向给滑块一个冲量，使其获得一速度 , 则弹簧被压缩的最大长度为： 则弹簧被压缩的最大长度为： （D） ）
1 2 (A) v = At + v0 2
解： dv = − Av 2t
dt
1 A 2 1 = t + (C) (D) 1 = − A t 2 + 1 v 2 v0 v 2 v0
dv 改写为： 改写为： − 2 = Atdt v
A 2 (B) v = − t + v0 2
两边积分： 两边积分：
dv 1 1 1 t − 2 = = − = Atdt = 1 At 2 ∫ v vv v v ∫ 2 v0 0 0 0
故任一时刻速度和加速度分别为
v v v v = −12 sin 4ti + 12 cos 4tj SI） （ v v v （ a = −48 cos 4ti − 48 sin 4tj SI）
（2）速度
v v
的大小为 v =
vx 2 + v y 2 = 12 m⋅ s −1 ） （
由质点运动轨迹方程
2 v0 0 v t
π
2
t dt
π
x t dx π π （2） v = Q = 2π cos t， ∴∫ d x = ∫ 2π cos t d t 0 0 dt 2 2
2
t
∴ x = 4sin
π
2
t
2-11 一质点由静止沿半径R=3m的圆周运动，切向加速度为
aτ = 3m⋅ s −2 ，问：
（1）经过多少时间它的总加速度与径向成450？ （2）在上述时间内，质点所经过的路程为多少？
3-3 一个质量为m的人站在质量为M的小船的船头上。 小船以速度
v0
在静水中向前行驶。若此人突然以
相对于小船的速度u向船尾跑去，问小船的速度变 为多少？如果人到达船尾后停止跑动，此时小船的 速度又变为多少？
解：研究系统（m + M），因系统所受合外力为零， 故系统动量守恒：（选择静水作为参考系， 并选择船的速度方向为正方向） （m + M）v0 = Mv1 + m − u + v1） （ mu 得v1 = v0 + m+M 到达船尾不动后 （m + M）v0 = m + M）v2 （ 得 v2 = v0
解：（）因aτ = 3m⋅ s −2 为常量，故由任一时刻的速率v = aτ t，得 1 v 2 aτ2t 2 an = = R R 当总加速度a与径向成450 时，an = aτ，即 aτ2t 2 = aτ R t= R = 1s aτ
（2）在上述0到1s内，质点经过的路程为 1 2 s = aτ t = 1.50 m 2
dr（B) (A) dt
(D)
dx 2 dy 2 ( ) +( ) dt dt
v v v 质点做曲线运动， 表示位置矢量， 表示路程， 2．质点做曲线运动， r 表示位置矢量，s 表示路程， v 表示速度， 表示加速度， 表示切向加速度， 表示速度， a 表示加速度， aτ 表示切向加速度，下列表
2 x 2 + y 2 = 3（cos 2 4t + sin 2 4t） 32 = 可知质点作半径 R = 3 m
的圆周运动，故切向加速度 a τ 和 法 向 加 速 度 a n 分 别 为
dv v2 （ ） 12 2 aτ = =0 an = = = 48 m⋅ s −2 ） （ R dt 3 2-5 一质点沿 x 轴运动，其加速度 a 与位置坐标 x 的关系为
是切向加速度， 的大小。 中 解（1）中的 ）中的dv/dt是切向加速度，不是 的大小。(2)中 是切向加速度 不是a的大小 r v v ） d r = d r ≠ d r = d s 而（4）中的 dv = a 是加速度
dt
的大小。 的大小。
3、某质点沿直线运动的加速度a = －Av2t(A为大于零 、某质点沿直线运动的加速度 为大于零 的常数)。 则其速度v与时间 与时间t 的常数 。当t＝0时，初速度为vo，则其速度 与时间 时 的函数关系是： 的函数关系是： （ C ）
三、计算题 1.如图，质量为 如图， 的物体由A点沿 如图 质量为2kg的物体由 点沿 的光滑圆弧轨道 的物体由 点沿1/4的光滑圆弧轨道 静止滑下，轨道半径为2.5m，到达 点后物体沿水平 静止滑下，轨道半径为 ，到达B点后物体沿水平 作直线运动，在水平面上物体所受的阻力f与速率成正 作直线运动，在水平面上物体所受的阻力 与速率成正 比，且f=-v/2，求物体在水平面上滑行多远时其速率降 ， 点速率的一半。 为B点速率的一半。 点速率的一半
1.解 ： W = ∫（ 2 + 6 x） d x = 33 J
0
3
dx 2.解：v= = 4 + 2t dt t = 0，v0 = 4
t = 3，v = 10
1 W = m v 2 − v0） 168 J （ = 2
d U x） （ 3.F == − − 6 x + 5）= 6 x − 5 （ dx
2 .质 量 m =4kg的 质 点 在 外 力 作 用 下 ， 其 运 动
2 方 程 为 x = 3 + 4 t + t（ SI ） ， 求 该 外 力 在 最 初 3s内
对质点所做的功W 为多少？
3.一 质 点 的 势 能 函 数 可 近 似 表 示 为 U x） = - 3 x 2 + 5 x， 求 该 质 点 所 受 的 保 守 力 （ 为多少？
v v v v M = M外 = ∑ri × Fi外
i
10、力矩 力矩： 力矩
质点系
v v 11、角动量定理 角动量定理： M = d L 角动量定理 外 dt
练
r r dr (C) d r dt dt
习
1、若一运动质点在某一瞬时的运动矢径为 、 r(x，y)，则其速度大小为： ( D ) ， ，则其速度大小为：
（1）水平方向上， v x = v0 cos α = v cos θ , 球在 M 处的速度为 v0 cos α cos θ （2） a y = − g，在 M 点将 g 分解可得 v= aτ = − g sin θ ， a n = g cos θ （3）因为 a n = v2
ρ
，故有
2 v 2 v0 cos 2 α = ρ= an g cos 3 θ
m k 4mv 1 4 2mv 2 1 4 ( A) ⋅ v , ( B) ⋅ v , (C ) ( ) , ( D) ( ) k m k k
分析：根据动能定理：
−∫
A
0
1 2 kx dx = 0 − mv , 2
b b a a a
7、质点的动能定理 质点的动能定理： 质点的动能定理
1
1
8、已知一维势能函数，求保守力： 已知一维势能函数，求保守力 已知一维势能函数
质点相对某一参考点
9、角动量 角动量： 角动量
质点系相对某一参考点
v v v L = r ×mv
v v v L = ∑ri ×mvi i
i
质点
v v v M = r ×F
x = 2( mvB − mvC ) = 14( m )
v dv 法三： f = − = m 2 dt
v t
x dx v fdt = ∫ − dt = − = − 2 2 2 0
∫
x
t dv dt − = ∫− , v = v e 2 m = dx ∫ v 0 2m B vB dt v = vB t = 0, v = vB / 2 t = 2m ln 2
2 t 2-7 一滑块以加速度 a = −π sin （SI）沿直线运动。设滑块初速度 2
π
v0 = 2π ，且以滑块中心与坐标原点重合时为起始位置，求：
（1）滑块任意时刻的速度； （2）滑块的运动方程。 解：滑块作匀速直线运动。
dv π 2 （） Q a = 1 = −π sin t， dt 2 ∴ v = 2π cos ∴ ∫ d v = ∫ −π sin
v
x
2-6 如图所示，手球运动员以初速度与水平方向成角抛出一球。 当球运动到点处，它的速度与水平方向成角，若忽略空气阻力， 求：球在点处速度的大小； 球在点处切向加速度和法向加速度的大小； 1.抛物线在该点处的曲率半径。 解：手球的运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向 上的匀变速直线运动。
v 2v v dv d r a= = 2 dt dt
6.自然坐标系中加速度公式： d v v d 2s v v 切向： = aτ τ = 2τ dt dt 2 v v 法向： = v n an ρ
质点动力学公式
1.冲量 冲量
v I＝
∫
t2 t1
v F dt
2.动量定理 动量定理
v I =
∫
v v F d t＝ ∆ p
质点运动学公式
1.质点的运动方程： v v v v v r = r (t ) = x (t ) i + y (t ) j + z (t ) k 2.位移公式： v v v ∆r = rB − rA 3.速度公式：
v v dr v= dt
4.速率（速度的大小）公式：
ds v v= =v dt
5.加速度公式：
v
v
1 1 1 2 = + At v v0 2
4. 质点沿XOY平面作曲线运动,其运动 方程为:x=2t, y=19-2t2. 则质点位置矢 量与速度矢量恰好垂直的时刻为( D ) (A)0 (A)0秒和3.16秒. 3.16 . (B) 1.78秒. (C)1.78秒和3秒. (D)0秒和3秒.