高中数学《解三角形》章末复习
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解三角形
知识系统整合
规律方法收藏
掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能运用它们解斜三角形，通过解三角形，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力．
1．解三角形常见类型及解法
在三角形的6个元素中要知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法见下表：
2．三角形解的个数的确定
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．
(1)利用正弦定理讨论：若已知a、b、A，由正弦定理
a
sin A＝
b
sin B，得sin B＝
b sin A
a.若sin B>1，无解；若sin B＝1，一解；若sin B<1，一解或两解．
(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A，由余弦定理a2＝c2＋b2－2cb cos A，即c2－(2b cos A)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．
3．三角形形状的判定方法
判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理、余弦定理，化边为角(如：a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：sin A
＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝π
2等；二是
利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如：sin A＝
a
2R，cos A＝
b2＋c2－a2
2bc等，通过
代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．
4．解三角形应用题的基本思路
解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求．
5．正、余弦定理的综合应用
正、余弦定理将三角形边和角的关系进行量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余定理完成证明，求值问题．
(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解．
(2)解三角形与其他知识交汇问题，可以运用三角形的基础知识，正、余弦定理、三角形的面积公式与三角形恒等变换，通过等价转化构造方程及函数求解．
学科思想培养
一、正弦定理的应用
正弦定理主要有两方面的应用：一是已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；二是已知三角形的任意两边与其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．值得注意的是已知三角形的任意两边与其中一边的对角，运用正弦定理解三角形时，解不唯一，可结合三角形中大边对大角的性质或结合图形来判断解的个数．例1如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．
解在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°.
由正弦定理，得AB
sin∠BCA ＝AC
sin∠ABC
，
sin∠ABC＝AC sin∠BCA
AB
＝9sin30°
5
＝9
10.
∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ，
于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910.
在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，
由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝BD sin ∠BAD
， 解得BD ＝922.故BD 的长为922.
二、余弦定理的应用
余弦定理有三个方面的应用：一是已知三角形的两边和它们的夹角，可以由余弦定理求出第三边，进而求出其余两角；二是已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角；三是正、余弦定理的综合应用，如已知三角形的两边及其一边的对角，除了能用正弦定理解三角形外，也可以用余弦定理来解三角形．
例2 (1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°.求角A ，B 和边c ；⎝
⎛⎭⎪⎫cos15°＝6＋24 (2)在△ABC 中，AC ＝5，BC ＝5，cos A ＝910
，求AB 的长． 解 (1)由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C
＝4＋8－2×2×22×6＋24＝8－43，
∴c ＝ 8－43＝6－2，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3－32(3－1)
＝32. ∵C ∈(0°，180°)，
∴A ＝30°，B ＝180°－(A ＋C )＝135°.
(2)由余弦定理，得
BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos A . 将已知条件代入，得5＝AB 2＋25－10×AB ×910.
∴AB 2－9AB ＋20＝0，∴AB ＝4或AB ＝5.
例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(a ＋c ，b )与向量n ＝(a －c ，b －a )互相垂直．
(1)求角C ；
(2)求sin A ＋sin B 的取值范围．
解 (1)由已知可得，
(a ＋c )(a －c )＋b (b －a )＝0⇒a 2＋b 2－c 2＝ab ，
cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，所以C ＝π3.
(2)由C ＝π3，得A ＋B ＝2π3
， sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3－A ＝sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A
＝32sin A ＋32cos A ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫32sin A ＋12cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭