第十三章电流和稳恒磁场习题解

方向垂直纸面向外
13-10 有一同轴电缆，其尺寸如图所示．两导体中的电流均为I，但电流的流向 相反， 导体的磁性可不考虑． 试计算以下各处的磁感强度： （1） r ＜R1 ； （ 2） R1 ＜r ＜R2 ；（3） R2 ＜r ＜R3 ；（4） r ＞R3 ．画出B －r 图线．
解
同轴电缆的磁场分布具有轴对称性，磁感应线是围绕轴线的同心圆。取半
B2
0 I 2πr
I
i
i
I
I 2 π ( r 2 R2 ) 2 π ( R R2 )
2 3
I r 2 R22 B3 2πr 0 I 2 2 R3 R2 （4） r ＞R3时，


2 2 0 I R3 r B3 2 2πr R32 R2
电势差为 4 10 5 V ， 大气中的总电阻是多大？(课本习题中平均电流密度值错了， 指数少了负号) 解： （1）大气电阻率

E 120 3 1013 m -12 j 4 10
（2）总电阻
1
R
U U 4 10 5 196 2 2 I j 4RE 4 10 -12 4 3.14 （6.37 10 6）
0 I 8R
方向垂直纸面向外
图（b）中，O点处总磁感应强度可看作圆形电流和无限长直导线电流组成，由叠 加原理，得
BO
0 I 0 I 2 R 2 πR
方向垂直纸面向里
图（c）中，O点处总磁感应强度可看作二分之一圆弧电流和两半无限长直导线电 流组成，由叠加原理，得
4
BO
0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 4 πR 4πR 4 R 2 πR 4 R
f
G m p g 1.64 10
因此，
-26
N
f 1.95 1010 N G
即质子所受的洛伦兹力远大于重力。
13-15 如附图所示，在无限长载流长直导线I1旁，垂直放置另一长为L的载流直
7
导线I2，I2导线左端距I1为ɑ，求导线I2所受到的安培力。(此题课本的习题答案错 了) 解：由于电流I2上各点到电流I1距离相同，I2各点处的B相同，I2收到的安培力方 向如图所示，安培力大小为：
13-8
如图所示，有两根导线沿半径方向接触铁环的a、b 两点，并与很远处的
电源相接。求环心O 的磁感强度．
解
根据磁场叠加原理，O 点磁感应强度由 acb、adb、be、ef、fa 中电流共同
产生。 电源很远， Bef 0 。be、fa 两段直线的延长线通过 O 点， Bbe 0 ， Bef 0 。设 两圆弧长分别为 l1 和 l 2 ，流过的电流为 I 1 和 I 2 ，方向如图。圆弧 acb、adb 中电 流在 O 点产生的磁场分别为
l l
在导线内r<R， I 所以 B
I Ir r2 2 2 R R
2
0 Ir 2R 2
s
在剖面上磁感应强度分布不均匀，因此需要根据磁通量的定义 m B dS
进行计算。 沿轴线方向在剖面上取面元 ds ldr ，考虑到面元上各点B相同，则穿过面元 的磁通量dΦ=BdS，通过积分，可得单位长度导线内的磁通量
F = I 2 LB1 sin θ
B1 =
μ0 I1 2πa
θ=
π 2
F = I2 L
μ0 I1 π μII L sin = 0 1 2 2πa 2 2πa
I2受到I1的引力，同理I1也受到I2的引力。
13-16.在均匀磁场中，放置一半圆形半径为 R 通有电流为 I 的载流导线，求载 流导线所受的安培力。
Q 表示，则 Q It I
故电子总数为
l c
N
Q Il 8 10 -3 240 4 1010 e ec 1.6 10 -19 3 10 8
13-2
一用电阻率为 的物质制成的空心半球壳， 其内半径为 R1 ， 外半径为 R2 。
试计算其两表面之间的电阻。(此题课本的习题答案错了，答案是用空心球壳计 算的结果) 解： R dR
如图所示，一用电阻率为 的材料制成的圆台，其高为 l，两端面的半
13-6
径分别为 R1 和 R2 。试计算此圆台两端面之间的电阻。
x R1 O' l
解 建立如图坐标轴，在 x 处高度为 dx 的圆台电阻为 dR dx πr 2
2
r dx
R2 O
①
由几何关系，可得
r ( R1 R2 ) x l R1
径为 r的磁感应线作积分环路L，由安培环路定理得 B dl B 2πr 0 I i
L i
（1） r ＜R1时，
B1 2πr 0
I πr 2 2 πR1
B1
0 Ir 2πR12
（2） R1 ＜r ＜R2时，
B2 2πr 0 I
（3） R2 ＜r ＜R3时，
13-18 一半径为 R 的薄圆盘,放在磁感应强度为 B 的均匀磁场中, B 的方向与
盘面平行,如图所示,圆盘表面的电荷面密度为 ,若圆盘以角速度 绕其轴线 转动,试求作用在圆盘上的磁力矩。
解：如图所示取一小圆环，其电流为： dI fdq
2πrdr rdr ，其磁矩大 2π
13-5
一铜导线横截面积为 4 mm 2 ，20s 内有 80C 的电量通过该导线的某一横截
面，已知铜内自由电子的数密度为 8.5 10 22 m -3 ，每个电子的电量为 1.6 10 -19 C ， 求电子的平均定向速率。 解： j
I q 1 10 6 A/m 2 S tS j v 7.35 10 -5 m/s ne
习题 第十三章 电流和稳恒磁场 电流和稳恒磁场习题
13-1 北京正负电子对撞机的储存环是周长为 240m 的近似圆形轨道，求当环中
电子电流强度为 8mA 时，在整个环中有多少电子在运行。已知电子的速率接近 光速。 解：设储存环周长为 l ，电子在储存环中运行一周所需时间
t
l l v c
在这段时间里，通过储存环任一截面的电量即等于整个环中电子的总电量，以
0 I 1l1 0 I 2 l 2 0 4 πr 2 4 πr 2
13-9 如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I，它们在点O的磁感强 度各为多少？
解
图（a）中，两直线电流延长线均通过O点，所以 B1 B2 0 。O点处总磁感
应强度仅为四分之一圆弧电流产生，故有
BO
R
m B dr
s 0
0 Ir I dr 0 2 4 2R
13-14 已知地面上空某处地磁场的磁感强度 B=0.4×10-4T，方向向北，若宇宙射 线中有一速率 v=5.0×107m/s 的质子，垂直地通过该处.求洛伦兹力的大小，并与 该质子受到的万有引力相比较。 解： 洛伦兹力的方向如图所示 因 v B ，质子所受洛伦兹力 f qvb 3.2 10 -16 N 在地球表面质子所受到的万有引力为
B4 2πr 0
磁感应强度分布曲线：
B4 0
5
B
r O R1 R2 R3
13-11 如图所示，一个半径为 r 的半球面放在均匀磁场中，通过半球面的磁通量 为多大？ 解：做一半径为r的圆面S′与半球面S形成一闭合面，根据磁场中的高斯定理可 知： B dS 0
S
即穿过闭合面的总磁通量为0。也就是说穿进S面的磁通量等于穿出S′面的磁通 量。所以通过半球面的磁通量为： s s B S r 2 B cos
d2
dx 0 Il d 2 ln 2 d1 d1 x

6பைடு நூலகம்
13-13 电流 I 均匀地流过半径为 R 的圆形长直导线， 试计算单位长度导线内的磁 场通过附图中所示剖面的磁通量。 解：围绕长直导线的轴线取同心圆为环路 l ，取其绕向与电流成右手螺旋关系， 根据安培环路定理可得 B dl B dl B2r 0 I i
R2 R2 dr dr 1 1 ( ) 2 R 1 2r S 2 R 1 R 2
R1
13-3
大气中由于存在少量的自由电子和正离子而具有微弱的导电性，地表面
附近，晴天时大气平均电场强度约为 120 V/m ，大气中的平均电流密度约为
4 10 -12 A/m 2 。 问 ： （ 1）大气的电阻率是多大？（2）若电离层和地表面之间的
8
的贡献抵消。
F3 B(d ) I 2l ，方向向右； F4 B(d b) I 2l ，方向向左；故作用在回路上的合力大
小为 F B(d ) B(d b) I 2l 向指向长直导线。
0 I1 I 2l 1 0 I1 I 2lb 1 ( ) 1.28 103 N ，方 2π d d b 2πd (d b)
13-12 如图所示，载流长直导线的电流为 I，试求通过矩形面积的磁通量。(与 书中 P 61 例 13-2 相同) 解：无限长载流直导线在空间产生的磁场为
B
0 I 2 x
因为 B 与 S 的法线方向相同，则 d m BdS
0 I ldx 2 x
Il m BdS 0 2 S
I
o
R
B
解： F = Idl B ，由于均匀磁场中平面载流闭合线圈所受合力为0，故半圆形
L
导线所受安培力等于图中紫色直线导线所受安培力， 大小为2RIB， 方向垂直向外 。
13-17
如图（ａ）所示，一根长直导线载有电流I1 ＝30 A，矩形回路载有电流
I2 ＝20 A．试计算作用在回路上的合力．已知d ＝1.0 cm，b ＝8.0 cm，l ＝
13-4
如图所示，一内、外半径分别为 R1 和 R2 的金属圆筒，长度 l ，其电阻率
，若筒内外电势差为 U ，且筒内缘电势高，圆柱体中径向的电流强度为多
少 ？ 解： dR
dr dr S 2 πrl
R I
R2
R1
d r R ln 2 2 π rl 2 πl R1
U R 2 π lU ln 2 R1 R
小为：dm dIS rdr r 2 r 3dr ，方向向上（与 B 垂直） ，故总磁力矩为 ： M

R
0
R BR 4 3 dm B B r dr ，方向向里。 0 4
9
13-19
螺绕环中心周长为 10cm，环上均匀密绕线圈 200 匝，线圈中通有电流 4200 的介质，则管内的 H 0.10A。试求： (1)若管内充满相对磁导率为 r 和 B 各是多少?(2)磁介质中由导线中的传导电流产生的 B0 和由磁化电流产生的
B1
0 I 1l1 4πr 2
方向垂直纸面向里
3
B2
0 I 2l2 4 πr 2
方向垂直纸面向外
圆弧 acb、adb 构成并联电路，有
I 1 R1 I 2 R2
即
或
I1
l1 l I2 2 S1 S
I 1l1 I 2 l 2
故可得 O 点磁感应强度
BO B1 B2
0.12 m． 解：各段导线受力如图（b）所示，由于长直载流导线在矩形回路平面上产生的 磁 场 均 垂 直 向 里 ， 与 四 段 电 流 都 垂 直 ， 即 有 ： F Idl B I Bdl 。
L L
B (r )
d b 0 I1 。 F1 F2 I 2 B (r )dr ，前者方向向下，后者向上；二者对合力 d 2π r
将②代入①，并积分得圆台两端面之间的电阻
②
R
l
0
dx l 2 πR1 R2 π( R1 R2 ) x l R2
13-7
下列说法正确的是哪个？
（A） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 （B） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 （C） 磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度必定为零 （D） 磁感强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感强度都不 可能为零 答案 B