条件平差习题
条件平差习题
条件平差习题一、重点内容及难点1. 水准网条件平差● 条件方程列法 ● 权的确定方法2. 边角网条件平差● 条件方程个数确定方法● 条件方程类型：图形条件 极条件 边条件 方位角条件 基线条件3. 条件方程线性化11112ˆ()()()()()()()ˆˆˆˆnn i i ni f f f f f Lf L V V V f L V L L L L =∂∂∂∂=++++=+∂∂∂∂∑● 极条件方程及线性化● 符合三角网条件方程4. 理解条件平差的函数模型和随机模型● 明确必要起算数据、必要观测数据、多余起算数据和多余观测数据的概念； ● 条件平差的出发点：观测值的平差值之间应该存在的函数关系式； ● 随机模型的含义和作用二、公式汇编及条件平差计算步骤1. 根据实际问题，确定出总观测值的个数n 、必要观测值的个数t及多余观测个数r = n – t ，2. 列出条件平差值方程，对其线性化进一步列出改正数条件方程平差值条件方程 ˆ()0F L=改正数条件方程 0=+W AV3. 据具体情况确定观测值的权阵；)(21n p p p diag P =4. 组成法方程式，求出联系数；W NK =1K N W -=-5. 算出观测值改正数和观测值的平差值Lˆ； 1T V P A K -= V L L+=ˆ 6. 检查平差计算的正确性，将平差值L ˆ代入平差值条件方程式，检验平差值是否满足应有的条件关系式；0)ˆ(=LF 7. 计算单位权方差和单位权中误差；rPV V T =20ˆσ8. 列出平差值函数关系式，计算平差值函数及其精度。
对平差值函数全微分，应用广义传播律计算平差值函数的协因数，进一步计算出平差值函数的方差、协方差。
12ˆˆˆˆ(,,,)nf L L L ϕ= ˆˆˆˆTLL Q fQ f ϕϕ= 2ˆˆˆˆ0ˆD Q ϕϕϕϕσ=三、思考题：1.发现误差的必要条件是什么？2. 几何模型的必要元素与什么有关？为什么？3. 测量平差的函数模型和随机模型分别表示哪些量之间的什么关系？4. 什么叫必要起算数据？各类控制网的必要起算数据是如何确定的？5. 条件平差中求解的未知量是什么？能否由条件方程直接求得改正数？6.设某一平差问题的观测个数为n ，必要观测数为t ，若按条件平差法进行平差，其条件方程，法方程及改正数方程的个数各为多少？7. 通常用什么公式将非线性函数模型转化为线性函数模型？ 8. 在条件平差中，能否根据已列出的法方程计算单位权方差？ 9. 条件平差中的精度评定主要是解决哪些方面的问题？四、计算题5.1 有水准网如下图P1点位已知点Hp1=50.002米，P2、P3、P4,为待定点，观测六条线路的线路长度和高差为：S1= 1.0km h1=1.576m，S2=1.5 km h2=2.215m,S3=1.5 km h3=-3.800m,S4=1.0 km h4=0.871m,S5=2.0 km h5=-2.438m,S6= 2.0 km h6=-1.350m。
测量平差期末试题汇总
一、填空。
（每空1分，共22分）1．与的比值称为相对中误差。
2．误差椭圆的三个参数是________、________、_________。
3．闭合导线按条件平差时条件方程式的个数等于___个，分别是____个____________________条件和____对_______________________条件。
4 ．设某平差问题中，观测值个数为n个，必要观测数为t个，若按条件平差，条件方程的个数等于______个，法方程的个数等于_______个。
若按间接平差，误差方程式的个数等于______个，未知数的个数等于______个，法方程的个数等于____个。
5．根据误差传播定律，若某一站观测高差的中误差为2mm，在A、B两点间共观测了4站，则A、B两点间高差的中误差为mm。
6．导线网按条件平差，所列条件方程中的未知数，既有___________的改正数，也有___________的改正数。
7．在水准测量中若已知每公里观测高差的中误差均相等，且又知各水准路线的长度为Si（I=1，2，……n），则观测高差的权可用公式_________求出。
8．偶然误差的特性为：绝对值较小的误差出现的可能性；绝对值相等的正负误差出现的可能性；偶然误差的理论平均值。
1．__________、_________和_________合称为观测条件。
2．水准路线的定权方法有两种：根据_________定权和根据_________定权。
3．由三角形闭合差来计算测角中误差的公式为，称其为菲列罗公式。
4．由不等精度的双观测值之差计算单位权中误差的公式为σ0= ，由等精度的双观测值之差计算观测值中误差的公式为。
5 ．单导线按条件平差时条件方程的个数永远等于个，附合导线中个坐标方位角条件和一对条件，闭合导线中一个条件和对闭合条件。
6．常用的衡量精度的指标有、、、1.独立边角同测网条件方程式的种类，除了具有测角网和测边网的条件式外，还具有反映边角关系的二种条件，它们是和。
平差试卷——精选推荐
平差试卷试卷⼀⼀、简答题（每题5分，共15分）1、何谓系统误差？测量中是如何处理的？2、误差椭圆与误差曲线是否⼀致？如何根据误差椭圆来求任意⽅向位差？3、⾃由⽹平差⽅法有哪些？秩亏⾃由⽹平差中，秩亏数如何确定的？秩亏⾃由⽹平差准则是什么？⼆、填空题（每空3分，共15分）1、常⽤衡量向量的绝对精度指标是（）；常⽤（）作为衡量向量的相对精度指标。
2、设有同精度独⽴观测值12,L L 两个⾓值，且构成函数12sin sin ABL y S L =。
式中AB S 为已知边长，认为⽆误差。
测⾓中误差 1.2σ''=。
则该函数的中误差为（）。
3、已知某待定点观测的测⾓中误差2βσ''=，测边中误差2s mm σ=。
已知点⾄待定点距离为185⽶。
则该点的点位中误差为（）。
4、观测向量[]12TL L L =的权阵为4223LL P ??=,则1L P =( )。
三、下图所⽰测量控制⽹，试按要求完成如下⼯作：1、下图条件平差时，条件式个数？条件式类型？每种类型各建⽴其中⼀个，⾮线性需要线性化。
（10分）2、下图间接平差时，参数个数？误差⽅程个数？类型？每种类型各建⽴⼀个，⾮线性需要线性化。
（10分）四、已知某⼀个待定点的控制⽹中，设该点坐标为参数，采⽤间接平差得到法⽅程为：6.01 3.02 6.00xy --= ??3.02 1.58 3.40xy -++= 已计算得到单位权中误差估值0? 1.2σ''=。
求：（1）该点的误差椭圆参数；（2）该点的点位误差。
（共15分）五、下图所⽰的⽔准⽹中，已知⾼程为135.000A H m =。
⾼差观测数据列于下表中。
试任选⼀种平差法：（1）求待定点⾼程的平差值；（2）求第⼆段⾼差平差值的协因数；（3）求待定点⾼程平差值的中误差。
（共20分）名称 1 2 3 ⾼差观测值（m ） 6.885 6.890 -6.892 ⽔准路线长（km ） 428六、证明：测量平差中根据最⼩⼆乘准则可以求得参数以及观测值的平差值的唯⼀解。
平差理论及平差基习题集
平差理论及平差基习题集1、在间接平差中，参数X 与平差值L 是否相关？试证明。
答：-111^^2^^^1()(()0T B T T T T T N B PlV B BNbb B Pl L BNbb B E lL L v x xQ x L Q x v Nbb B PQu BNbb P E σ-1-------===-=-=+=+∴==-=σ 2、已知独立观测值L 1、L 2的方差M 1和M 2，求函数211212Y L L L =+的方差。
答：211212112221211212()()Y Y Y L L L L L dL L dL M L L M L M σ=+=++=++3、在相同观测条件下观测A 、B 两个角度，设∠A 观测4测回的权为1，则对∠B 观测9个回合的权是多少？ 答：2021==114A P σσ20σ221941149LB P σ=== 4、已知观测值向量L21的协方差阵为DLL=3112⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又知协因数Q12=1-5，试求观测值。
答：111222200211221202011111220122-1===-13=-1-1=529315513125532LL L L L QL L QL L D Q QL L QL L QL L QL l DL PLL QLL P P σσσσσ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎡⎤====⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦==5 、已求得控制网中P 点误差椭圆参数υE=157°30′、E=1.57dm 和F=1.02dm,已知PB 边坐标方位角αPB=217°30′，SPB=5KM,B 为已知点，求方位角中误差^PA σα和边长相对误差^PAPA S S σ。
6、设某平差问题是按条件平差方法进行的，其法方程为：1210-260-246K K -⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,求联系数12K K ;求单位权方差20σ。
11第十一讲 条件平差习题课
6.指出图示导线网按条件平差时条件方程的总数及 各类条件式的个数。
0
v3
（2）法方程及其解 Naa
K （3）求改正数V
V=
（4）求各观测值的平差值 Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3
2.如图所示，设A点的 高程为100.000m，各测段的 观测高差及路线长度分别为：
h1 1.335m h2 1.055m h3 2.396m
S1 2km S2 2km S3 3km
试用条件平差法求 P1 、P2 点的高程平差值（观 测值改正数及条件式闭合差以mm为单位）。
（1）列条件方程
v1
v2
0
v3
（2）观测高差的权（以2km观测值的权为单位权）
P1
P2
P3
（3）组成并解算法方程
Naa K
（4）求各观测值的平差值及待定点的高程平差值
Lˆ2
Lˆ3
xˆ2
3.指出图示自由 测角网按条件平差时 条件方程的总数及各 类条件式的个数。
4.指出图示非自由 测角网按条件平差时条 件方程的总数及各类条 件式的个数。
5．指出图示非自由 测角网按条件平差时条件 方程的总数及各类条件式 的个数。
条件平差习题课
1．如图所示的三角形，等精度
独立观测了三角形的内角，其观测值为 A L1
L1=55°00′03″，L2=64°15′08″，
B L3
L2 C
L3=60°44′43″，试按条件平差法求各角的平差值。
其中，计算时，角度改正数和条件闭合差以秒为单位。
（1）列条件方程
vHale Waihona Puke v2
(完整word版)测量平差经典试卷含答案
一、填空题（每空2分，共20分）1、最优估计量应具有的性质为 、 和 最优估计量主要针对观测值中仅含 误差而言。
2、间接平差中，未知参数的选取要求满足 、 。
3已知条件平差的法方程为024322421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡k k ，则PV V T = ，μ= ， 1k p = ，2k p = 。
4、已知某平差问题，观测值个数为79，必要观测量个数为35，则按间接平差进行求解时，误差方程式个数为 ，法方程式个数为 。
5、已知某平差问题观测值个数为50，必要观测量个数为22，若选6个独立参数按具有参数的条件平差进行求解，则函数模型个数为 ，联系数法方程式的个数为 ；若在22个独立参数的基础上，又选了4个非独立参数按具有条件的参数平差进行求解，则函数模型个数为 ，联系数法方程式的个数为 。
6、条件平差中条件方程的个数等于________________,所选参数的个数等于_______________。
7、已知真误差向量1⨯∆n 及其权阵P ，则单位权中误差公式为 ，当权阵P 为 此公式变为中误差公式。
二、计算题（每题2分，共20分）1、条件平差的法方程等价于：A 、0=+W K Q KB 、0=+W Q K WC 、0=+W P K WD 、0=+W P K K答:______2、水准测量中，10km 观测高差值权为8，则5km 高差之权为：A 、2B 、4C 、8D 、16答:______3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆3112P ，则2L p 为：A 、2B 、3C 、25D 、35答:______4、间接平差中，L Q ˆ为：A 、TA AN 1- B 、A N A T1-C 、T A AN P11--- D 、A N A P T 11---答:______5、观测条件是指:A)产生观测误差的几个主要因素:仪器,观测者,外界条件等的综合B)测量时的几个基本操作:仪器的对中,整平,照准,度盘配置,读数等要素的综合 C)测量时的外界环境:温度,湿度,气压,大气折光……等因素的综合. D)观测时的天气状况与观测点地理状况诸因素的综合答:______ 6、已知观测向量()L L L T=12的协方差阵为D L =--⎛⎝ ⎫⎭⎪3112,若有观测值函数Y 1=2L 1，Y 2=L 1+L 2，则σy y 12等于？(A)1/4 (B)2 (C)1/2 (D)4 答:_____ 7、已知观测向量()L L L T=12的权阵P L =--⎛⎝ ⎫⎭⎪2113,单位权方差σ025=,则观测值L 1的方差σL 12等于:(A)0.4 (B)2.5 (C)3 (D)253答:____ 8、已知测角网如下图,观测了各三角形的内角,判断下列结果,选出正确答案。
测量平差经典试卷含答案
一、填空题（每空2分，共20分）1、最优估计量应具有的性质为 、 和 最优估计量主要针对观测值中仅含 误差而言。
2、间接平差中，未知参数的选取要求满足 、 。
3已知条件平差的法方程为024322421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡k k ，则PV V T = ，μ= ， 1k p = ，2k p = 。
4、已知某平差问题，观测值个数为79，必要观测量个数为35，则按间接平差进行求解时，误差方程式个数为 ，法方程式个数为 。
5、已知某平差问题观测值个数为50，必要观测量个数为22，若选6个独立参数按具有参数的条件平差进行求解，则函数模型个数为 ，联系数法方程式的个数为 ；若在22个独立参数的基础上，又选了4个非独立参数按具有条件的参数平差进行求解，则函数模型个数为 ，联系数法方程式的个数为 。
6、条件平差中条件方程的个数等于________________,所选参数的个数等于_______________。
7、已知真误差向量1⨯∆n 及其权阵P ，则单位权中误差公式为 ，当权阵P 为 此公式变为中误差公式。
二、计算题（每题2分，共20分）1、条件平差的法方程等价于：A 、0=+W K Q KB 、0=+W Q K WC 、0=+W P K WD 、0=+W P K K答:______2、水准测量中，10km 观测高差值权为8，则5km 高差之权为：A 、2B 、4C 、8D 、16答:______3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆3112P ，则2L p 为：A 、2B 、3C 、25D 、35答:______4、间接平差中，L Q ˆ为：A 、TA AN 1- B 、A N A T1-C 、T A AN P11--- D 、A N A P T 11---答:______5、观测条件是指:A)产生观测误差的几个主要因素:仪器,观测者,外界条件等的综合B)测量时的几个基本操作:仪器的对中,整平,照准,度盘配置,读数等要素的综合 C)测量时的外界环境:温度,湿度,气压,大气折光……等因素的综合. D)观测时的天气状况与观测点地理状况诸因素的综合答:______ 6、已知观测向量()L L L T=12的协方差阵为D L =--⎛⎝ ⎫⎭⎪3112,若有观测值函数Y 1=2L 1，Y 2=L 1+L 2，则σy y 12等于(A)1/4 (B)2 (C)1/2 (D)4 答:_____ 7、已知观测向量()L L L T=12的权阵P L =--⎛⎝ ⎫⎭⎪2113,单位权方差σ025=,则观测值L 1的方差σL 12等于:(A) (B) (C)3 (D)253答:____ 8、已知测角网如下图,观测了各三角形的内角,判断下列结果,选出正确答案。
第五章条件平差
§3-7 习 题3.1 如图3.1所示水准网，A 、B 两点为高程已知，各观测高差及路线长度如表3.1所列。
用条件平差法计算求知点的高程平差值及p 2和p 3之间平差后高差值7ˆh 的中误差。
表3.13.2 图3.2中所示的中点三边形，其内角观测值为等精度独立观测值（如表3.2所示），计算各观测角值的平差值及CD 边长平差后的相对中误差。
表3.23.3 如图3.3所示单一附合导线，起算数据和观测值如表3.3所示，测角中误差为±3″，测边标称精度为±(5+5D )mm ，按条件平差法计算各导线点的坐标平差值，并评定3点平差后的点位精度。
表3.33.4 设某平差问题是按条件平差法进行的，其法方程式为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--42210⎥⎦⎤⎢⎣⎡21k k +⎥⎦⎤⎢⎣⎡66=0试求：（1）单位权中误差0m ；（2）若已知某一平差函数式L f F t ˆ=，并计算得[]p ff /=44，[]p af /=16，[]p bf /=4，试求该平差值函数的权倒数F p /1及其中误差F m 。
3.5 有三角网（如图3.5），其中B 、C 为已知点，A 、D 、E 为待定点，观测角i L （i =1，2，…，10），（1）试写出AD 边的权函数式； （2）设观测值同精度，且E Q LL =，已知方位角BC a 无误差，试求平差后BE a 的权倒数。
3.6 试按条件平差法求证在单一水准路线（如图3.6）中，平差后高程最弱点在水准路线中央。
3.7 已知条件式为0=+W AV ,其中AL W =，观测值协因数阵为1-=P Q LL ，现有函数式)(V L f F T +=，（1） （1） 试求：FF Q ；（2） （2） 试证： V 和F 是互不相关的。
3.8 有独立测边网（如图3.8），边长观测值列于下表。
试按条件平差法求出改正数i S V 以及边长平差值。
（已知E Q S =）。
表3.8。
条件平差习题
作业
h1 h5 A h2
P1 h3 B h6 h4 h7 P2
h5
h6 h7
4.651
5.856 10.500
1.0
1.0 2.0
HA=50.000m HB=40.000m
P3
试用条件平差法求：各高差的平差值。
华北科技学院
保留四位小数 条件平差习题
4/在图一所示测角网中，A、B、C为已知点，P为待定点，
T ˆ h h V 1.001 1.000 1.063 0.500 0.503 0.060 0.562 0.001
华北科技学院
条件平差习题
习题3
2：图中, A, B为已知水准点，其高成为：H A 12.013m, H B 10.013m, 为了确定C , D点的高程，观测了四段高差 高差观测值与水准路线的距离如下：
A L4 P L3 L2 L1 B
华北科技学院
C
条件平差习题
解：n=4,t=3,r=1，因为同精度观测，
1 1 p 1 1
列出平差值条件方程:
ˆ L ˆ L2 1 1 1 1 ˆ 360 0 L3 L ˆ 4 57 3216 73 0308 W ( AL A0 ) ([1 1 1 1] 360 ) 12 126 51 28 104 3320
S1 = 1 km S1 = 2 km
S1 = 2 km S1 = 1 km
h5 = + 0.504 m h6 = + 0.060 m
h7 = + 0.560 m h8 = + 1.000 m
S1 = 2 km S1 = 2 km
误差理论和测量平差习题5(含答案)
第五章条件平差习题第五章思考题参考答案5.1（a）n=6，t=3，r=3（b）n=6，t=3，r=3（c）n=14，t=5，r=95.2（a）n=13，t=6，r=7共有7个条件方程，其中有5个图形条件，2个极条件。
（b）n=14，t=8，r=6共有6个条件方程，其中有3个图形条件，3个极条件。
（c）n=16，t=8，r=8共有8个条件方程，其中有6个图形条件，2个极条件。
（d）n=12，t=6，r=6共有6个条件方程，其中有4个图形条件，1个圆周条件，1个极条件。
5.3n=23，t=6，r=17共有17个条件方程，其中有9个图形条件，1个圆周条件，1个固定角条件，1个固定边条件，5个极条件。
5.4 （1）n=22，t=9，r=13：7个图形条件，1个圆周条件，2个极条件，2个边长条件，一个基线条件。
（2）12837941314121520111718195610166101119910111213510ˆˆˆ1800ˆˆˆ1800ˆˆˆ1800ˆˆˆ1800ˆˆˆˆ1800ˆˆˆˆ1800ˆˆˆˆ1800ˆˆˆˆˆ1800ˆˆˆsin sin sin L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ++-=++-=++-=++-=+++-=+++-=+++-=++++-=171961116203614184715192211151217121318124ˆsin 1()ˆˆˆˆsin sin sin sin ˆˆˆˆsin sin sin sin 1()ˆˆˆˆsin sin sin sin ˆˆ()ˆˆˆˆsin sin sin sin ˆˆ(ˆˆˆˆsin sin sin sin FG FG L L L L L L L L L L L L L S S S S L L L L S S L L L L ===→=以大地四边形中心为极以中点四边形D 点为极的边长条件1213611891719ˆˆ)ˆˆˆˆsin sin sin sin ˆˆˆˆsin sin sin sin FG AB S S L L L L S S L L L L →=的边长条件（基线条件）5.5 n=8，t=4，r=4；有多种条件方程的列法，其中之一为：1001000100110000120001001104000011014V ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦（注意常数项单位为mm ） 5.6 （1）P=3/2，（2）P=15.7 （1）P B =1.6，P C =2.1，P D =2.1，P E =1.6（2）P hCD =1.85.8 []ˆ 2.4998 1.9998 1.3518 1.8515h=2P σ=0.32(mm)5.9 1234561110009100110900101016V V V V V V ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ []045452TV mm =---[]ˆ 1.576 2.219 3.7950.867 2.443 1.352T h m =--- 5.10 （1）1ˆ10.3556h m = 2ˆ15.0028h m = 3ˆ20.3556h m = 4ˆ14.5008h m =5ˆ 4.6472h m = 6ˆ 5.8548h m = 7ˆ10.5020h m =（2）±2.2mm。
误差理论与测量平差基础习题集
第五章条件平差§5-1条件平差原理条件平差中求解的未知量是什么?能否由条件方程直接求得5. 1. 02 设某一平差问题的观测个数为n.必要观测数为t，若按条件平差法进行平差，其条件方程、法方程及改正数方程的个数各为多少?5. 试用符号写出按条件平差法平差时，单一附合水准路线中(如图5-1所示)各观测值平差值的表达式。
图5-15. 1. 04 在图5-2中，已知A ,B的高程为Ha = m , Hb=11. 123m,观测高差和线路长度为:图5-2S1=2km,S2=Ikm,S3=,h1=,h2= m,h3= m，求改正数条件方程和各段离差的平差值。
在图5-3的水准网中，A为已知点B、C、D为待定点，已知点高程HA=,观测了5条路线的高差:h1=，h2=0. 821 m，h3=，h4=，h5= m。
各观测路线长度相等，试求:（1）改正数条件方程;(2)各段高差改正数及平差值。
有水准网如图5-4所示，其中A、B、C三点高程未知，现在其间进行了水准测量，测得高差及水准路线长度为h1=1 .335 m，S1=2 km;h2= m，S2=2 km;h3= m，S3=3km。
试按条件平差法求各高差的平差值。
如图 5-5 所示，L1=63°19′40″，=30″；L2=58°25′20″,=20″；L3=301°45′42″，=10″.(1)列出改正数条件方程;(2)试用条件平差法求∠C的平差值(注: ∠C是指内角)。
5-2条件方程5. 对某一平差问题，其条件方程的个数和形式是否惟一?列立条件方程时要注意哪些问题?如何使得一组条件方程彼此线性无关?. 10 指出图5-6中各水准网条件方程的个数(水准网中P i表示待定高程点，h i表示观测高差)。
(a) (b)图5-65. 2. 11指出图5-7中各测角网按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数(图中P i 为待定坐标点)。
(整理)测量平差习题集
第二部分 自测题第一章 自测题一、判断题（每题2分，共20分）1、 通过平差可以消除误差，从而消除观测值之间的矛盾。
（ ）2、 观测值i L 与其偶然真误差i ∆必定等精度。
（ ）3、 测量条件相同，观测值的精度相同，它们的中误差、真误差也相同。
（ ）4、 或然误差为最或然值与观测值之差。
（ ）5、 若X 、Y 向量的维数相同，则YX XY Q Q =。
（ ）6、 最小二乘原理要求观测值必须服从正态分布。
（ ）7、 若真误差向量的数学期望为0，即0=∆)(E ，则表示观测值中仅含偶然误差。
（ ） 8、 单位权中误差变化，但权比及中误差均不变。
（ ） 9、 权或权倒数可以有单位。
（ ）10、相关观测值权逆阵Q 的对角线元素ii Q 与权阵P 的对角线元素ii P 之间的关系为1=ii ii P Q 。
（ ）二、填空题（每空0.5分，共20分）1、测量平差就是在 基础上，依据 原则，对观测值进行合理的调整，即分别给以适当的 ，使矛盾消除，从而得到一组最可靠的结果，并进行 。
2、测量条件包括 、 、 和 ，由于测量条件的不可能绝对理想，使得一切测量结果必然含有 。
3、测量误差定义为 ，按其性质可分为 、 和 。
经典测量平差主要研究的是 误差。
4、偶然误差服从 分布，它的概率特性为 、 和 。
仅含偶然误差的观测值线性函数服从 分布。
5、最优估计量应具有的性质为 、 和 。
若模型为线性模型，则所得最优估计量称为 ，最优估计量主要针对观测值中仅含 误差而言。
要证明某估计量为最优估计量，只需证明其满足 性和 性即可。
6、限差是 的最大误差限，它的概率依据是 ，测量上常用于制定 的误差限。
7、若已知观测值向量L 或其偶然真误差向量∆的协方差阵为∑，则L 或∆的权阵定义为L P =∆P = ，由于验前精度∑难以精确求得，实用中定权公式有 、 、，特别是对独立等精度观测向量L 而言，其权阵可简单取为L P = 。
8、已知真误差向量1⨯∆n 及其权阵P ，则单位权中误差公式为 ，当权阵P 为 此公式变为中误差公式。
平差习题库
一、填空题：1、观测条件由观测仪器、____________和_____________三部分构成。
2、观测误差按其性质的不同可分为系统误差和偶然误差，其中____________误差在观测或计算过程中可以采用一定的措施消除或削弱，而___________误差在观测结果中必然存在。
3、测量平差的首要任务是经过数据处理，确定观测值的________________，而__________________________________________也是其必不可少的任务。
4、偶然误差的统计规律性是指：界限性、_______性、_______性和_______性。
5、在某相片上量得一距离长为200㎝，其相对中误差为1/3000,则该距离的绝对中误差为_____________________㎝。
6、测量平差是在______________的基础上利用_______________原理进行的。
7、单位权中误差mo、权Pi和中误差mi之间的关系为_______________________。
8、有一四边形导线环，同精度观测其各内角，共观测5组结果，计算出5个闭合差为﹣8″、9″、7″、﹣5″、-7″，则每组观测值之和中误差为____________，每个导线角观测值中误差___________。
（保留一位小数）9、设某角度观测值的协因数为3，则其观测值的权为_________。
10、观测成果的质量高低__________（能、否）反映观测条件的好坏。
11、理论上我们取3倍中误差为极限误差；而等级控制测量因为观测的精度要求比较高，往往规定______倍中误差为极限误差12、衡量精度常用的几种指标有中误差、___________误差和__________误差。
13、精度是指误差分布的________________程度。
14、由三角形闭合差ω计算测角中误差mβ的公式为______________________。
平差习题
1.1 观测条件是由哪些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？1.2 测量误差分为哪几类？它们各自是怎样定义的？对观测成果有何影响？ 1.3 何谓多余观测？测量中为什么要进行多余观测？1.4 测量平差的任务是什么？带有系统误差的观测值能否参加平差？2.1 观测量的真值i L ~及真误差i ∆各是怎样定义的？它们与观测值i L 之间有怎样的关系？ 2.2 在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现出什么样的规律性？2.3 偶然误差∆服从什么分布？它的数学期望与方差各是多少？2.4 何谓精度？通常采用哪几种衡量精度的指标？它们各自是怎样定义的？2.5 在相同的观测条件下，对同一个量进行了若干次观测，这些观测值的精度是否相同？在相同的观测条件下所测得的观测值，能否理解为误差小的观测值一定比误差大的观测值的精度高？2.6 为什么通常采用中误差作为衡量精度的标准？它的几何意义是什么？ 2.7 什么是极限误差？它的理论依据是什么？2.8 已知两段距离的长度及其中误差为300.465m ±4.5cm ，660.894m ±4.5cm ，试说明这两个长度的真误差是否相等？它们的最大限差是否相等？它们的精度是否相等？它们的相对精度是否相等。
2.9 有一段距离，其观测值及中误差为345.675m ±15mm ，试估计这个观测值误差的实际可能范围是多少？并求出该观测值的相对中误差？3.1 协方差传播律是用来解决什么问题的？3.2 相关观测值向量1,n X 的协方差阵是怎样定义的？试说明nn xx D ,中各个元素的含义。
当向量1,n X 中的各个分量是两两互相独立时，其协方差阵有什么特点？3.3 已知观测值21,L L 的中误差,21σσσ==协方差012=σ。
设2112-=5+2=L L Y L X ,，Y X T L L Z +==21,，试求X 、Y 、Z 、T 的中误差。
3.4 已知独立观测值21,L L 的中误差为1σ和2σ，试求下列函数的中误差： （1）212L L X -= （2）212121L L L Y +=（3）)sin(/sin 211L L L Z += 3.5 已知观测值向量1,31,21,321,,n n n L L L 及其协方差阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332322131211D D D D D D 对称, 组成函数⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=030201C CL Z B BL Y A AL X式中A,B,C 为系数阵，000C B A ,,为常数阵。
平差习题集
1.误差来源，测量平差的任务，多余观测的目的。
2.试用公式说明方差协方差阵与协因数阵之间的关系协因数阵与权阵之间的关系在什么情况下它们为对角矩阵若协因数阵为单位阵表示什么意思3.已知随机变量y、z都是观测值L=[L1、L2、L3]T的函数，函数关系如下：2 1 0y L1 4L2 3L3 ”y ，已知Q LL 1 3 2，证明y、z间互不相关。
z 7L1 10L2 16L30 2 44.已知间接平差的模型为V=BX-L,已知观测值的中误差为Q L L，试推导Q V。
5.已知独立观测值L l,L2的中误差为6 1和6 2,试求下列函数的中误差：(1)X L1 2L2(2)Y g L1L226.某平差问题有15个同精度观测值，必要观测数为8,现选取8个参数，且参数之间有2个限制条件。
若按附有限制条件的条件平差法进行平差，应列出多少个条件方程和限制条件方程由其组成的法方程有几个7.在相同条件下，观测两个角度？A=30?00?00?, ?B=75?00?00?，设对?A观测6个测回的权为1,问观测?B 9个测回的权为多少8.在相同观测条件下，应用水准测量测定点A—B—C—D之间的高差，设路线长度分别为S=2km, S=4km, S3=6km,令12km的高差观测值权为单位权观测，设每公里观测高差中误差为，试求各段观测高差之权及单位权中误差。
9.取一长度为d的直线之丈量结果的权为1，则长度为D的直线之丈量结果的权为多少若长度为D的直线丈量了n次，则其算术平均值的权为多少。
10.已知一水准网如下图，其中A B为已知点，观测了8段高差，若设E点高程的平差值与B、E之间高差的平差值为未知参数刃1、刃2，按附有限制条件的条件平差法(概括平差法)进行平差时，必要观测个数为 ____________ ,多余观测个数为 _________ ，一般条件方程个数为 ____________ ，限制条件方程个数为 ___________C11.在已知水准点A B (其搞成无误差)间布设设水准线路，如图所示。
测量平差第五章条件平差习题参考答案
测量平差第五章条件平差习题参考答案测量平差第五章思考题参考答案5.1 （a ）n=6，t=3，r=3（b ）n=6，t=3，r=3（c ）n=14，t=5，r=95.2 （a ）n=13，t=6，r=7共有7个条件方程，其中有5个图形条件，2个极条件。
（b ）n=14，t=8，r=6共有6个条件方程，其中有3个图形条件，3个极条件。
（c ）n=16，t=8，r=8共有8个条件方程，其中有6个图形条件，2个极条件。
（d ）n=12，t=6，r=6共有6个条件方程，其中有4个图形条件，1个圆周条件，1个极条件。
5.3 n=23，t=6，r=17共有17个条件方程，其中有9个图形条件，1个圆周条件，1个固定角条件，1个固定边条件，5个极条件。
5.4 （1）n=22，t=9，r=13：7个图形条件，1个圆周条件，2个极条件，2个边长条件，一个基线条件。
（2）128379413141215201117181956101661011199101112135101800180018001800?1800?1800?18001800???sin sin sin L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ++-=++-=++-=++-=+++-=+++-=+++-=++++-= 171961116203614184715192211151217121318124sin 1()sin sin sin sin sin sin sin sin 1()sin sin sin sin ??()sin sin sin sin ??(sin sin sin sin FG FG L L L L L L L L L L L L L S S S S L L L L S S L L L L ===→=以大地四边形中心为极以中点四边形D 点为极的边长条件1213611891719)sin sin sin sin sin sin sin sin FG AB S S L L L L S S L L L L →=的边长条件（基线条件）5.5 n=8，t=4，r=4；有多种条件方程的列法，其中之一为：1001000100110000120001001104000011014V -??? -=-----（注意常数项单位为mm ） 5.6 （1）P=3/2，（2）P=15.7 （1）P B =1.6，P C =2.1，P D =2.1，P E =1.6（2）P hCD =1.85.8 []? 2.4998 1.9998 1.3518 1.8515h=2P σ=0.32(mm) 5.9 1234561110009100110900101016V V V V V V-+=??--????[]045452TV mm =---[]? 1.576 2.219 3.7950.867 2.443 1.352T h m =--- 5.10 （1）1?10.3556h m = 215.0028h m = 3?20.3556h m = 414.5008h m =5? 4.6472h m = 6? 5.8548h m = 7?10.5020h m = （2）±2.2mm。
测绘2012的平差习题讨论课(条件平差+间接平差)
已知数据和等精度独立观测角度数据如表，现要求平差后D点坐标平差值及其精度。 DA 边的坐标方位角和边长的协因数及其中误差。 （使用条件平差法）
条件平差：n=6,t=2,r=4
SˆDA
ˆ0
Q 1.7 * SˆDA
0.0129 0.19(dm)
* 条件平差的函数模型和随机模型
1 1 1 0 0 0
A
0 0
0 1
0 0
11 10
1
0
0.30 0 1.10 0 0.78 2.27
V P1AT K
5.3
W
2.4 2.8
0.46
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
P
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
Q P1
法方程：AP1AT K W 0
K ( AP1AT )1 W N 1 W
V P1AT K [1.7,2.0,1.6,0.8,0.7,0.9]
ˆ0
V T PV r
11.39 1.7(") 4
Xˆ
D
X
A
(
S AB sin sin Lˆ1
Lˆ3
) cos( AB
Lˆ2 )
YˆD
Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3 180 0 Lˆ4 Lˆ5 Lˆ6 180 0 AB Lˆ2 Lˆ4 AC 0
v1 v2 v3 5.3 0 v4 v5 v6 2.4 0 函数模型： v2 v4 2.8 0 0.30v1 1.10v3 0.78v5 2.27v6 0.46 0
平差习题
平差习题集一、 单项选择1．取一长为d 的直线之丈量结果的权为 1，则长为D 的直线之丈量结果的权D P =（ ）。
a) D d b) d D c) 22D d d) 22dD 2.有一角度测 20 测回，得中误差±0.42 秒，如果要使其中误差为±0.28秒，则还需增加的测回数N=（ ）。
a) 25 b) 20 c) 45 d) 5 3.某平面控制网中一点P ，其协因数阵为：⎢⎣⎡⎥⎦⎤=YY YX XY XX XXQ Q Q Q Q =⎢⎣⎡⎥⎦⎤--5.025.025.05.0 单位权方差20σ =±2.0。
则P 点误差椭圆的方位角 T=（ ）。
a) 90 b) 135 c) 120 d) 454.设L 的权为1，则乘积4L 的权P=（ ）。
a) 1/4 b) 4 c) 1/16 d) 16 5.设⎢⎣⎡⎥⎦⎤21y y ＝⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤--213112x x ；⎢⎣⎡⎥⎦⎤=4113XX D ,设F = y2+ x1，则2F m =（ ）。
a) 9 b) 16 c) 144 d) 36二．填空题1.测量平差遵循的原则为 。
2.条件平差中，利用法方程计算单位权中误差的公式为 。
3.条件方程列立的原则为 、 、 。
4.间接平差的函数模型为 ，随机模型为 。
5.在间接平差中，计算V T PV 有 、 两种方法。
6.在间接平差中, X X Q ˆˆ x xQ ˆˆ，Q LL Q ll 。
7. 水准网的间接平差中，常令 为参数，而平面控制网中常令 为参数。
8.水平角观测中，对某角用测回法等精度观测了3测回，其观测值分别为60°00′00″、60°00′01″、59°59′59″，则该角的最或是值为 ，观测值的中误差为 ，最或是值的中误差为 。
9.测边网的误差方程式为 ，若列此方程，需先行计算出 。
10．若待定点的极大位差和极小位差分别为 3.0dm 、4.0dm ，则该点的点位差为 ；若=135°28′00″，另有AP 方向=180°28′00″，则AP 方向的 值为 ，该方向的位差为 ；若S AP =1km ，则该方向的方位角中误差为 。
测量平差复习题(测绘工程)
第一章：绪论1、什么是观测量的真值？任何观测量，客观上总存在一个能反映其真正大小的数值，这个数值称为观测量的真值。
2、什么是观测误差？观测量的真值与观测值的差称为观测误差。
3、什么是观测条件？仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件。
4、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为哪几类？根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。
5、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。
6、观测条件与观测质量之间的关系是什么？观测条件好，观测质量就高，观测条件差，观测质量就低。
7、怎样消除或削弱系统误差的影响？一是在观测过程中采取一定的措施；二是在观测结果中加入改正数。
8、测量平差的任务是什么？⑴求观测值的最或是值（平差值）；⑵评定观测值及平差值的精度。
第二章：误差理论与平差原则1、描述偶然误差分布常用的三种方法是什么？⑴列表法；⑵绘图法；⑶密度函数法。
2、偶然误差具有哪些统计特性？(1) 有界性：在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。
(2) 聚中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。
(3) 对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等。
(4) 抵偿性：偶然误差的数学期望或偶然误差的算术平均值的极限值为0。
3、由偶然误差特性引出的两个测量依据是什么？⑴制定测量限差的依据；⑵判断系统误差(粗差)的依据。
4、什么叫精度？精度指的是误差分布的密集或离散的程度。
5、观测量的精度指标有哪些？(1) 方差与中误差；(2) 极限误差；(3) 相对误差。
6、极限误差是怎样定义的？在一定条件下，偶然误差不会超过一个界值，这个界值就是极限误差。
通常取三倍中误差为极限误差。
当观测要求较严时，也可取两倍中误差为极限误差。
7、误差传播律是用来解决什么问题的？误差传播律是用来求观测值函数的中误差。
8、应用误差传播律的实际步骤是什么？ (1) 根据具体测量问题，分析写出函数表达式),,,(21n x x x f z =；(2) 根据函数表达式写出真误差关系式n nx x f x x f x x f z ∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂=∆ 2211； (3) 将真误差关系式转换成中误差关系式。
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条件平差习题
一、重点内容及难点
1. 水准网条件平差
● 条件方程列法 ● 权的确定方法
2. 边角网条件平差
● 条件方程个数确定方法
● 条件方程类型：图形条件 极条件 边条件 方位角条件 基线条件
3. 条件方程线性化
11112
ˆ()()()()()()()ˆˆˆˆn
n i i n
i f f f f f L
f L V V V f L V L L L L =∂∂∂∂=++++=+∂∂∂∂∑
● 极条件方程及线性化
● 符合三角网条件方程
4. 理解条件平差的函数模型和随机模型
● 明确必要起算数据、必要观测数据、多余起算数据和多余观测数据的概念； ● 条件平差的出发点：观测值的平差值之间应该存在的函数关系式； ● 随机模型的含义和作用
二、公式汇编及条件平差计算步骤
1. 根据实际问题，确定出总观测值的个数n 、
必要观测值的个数t
及多余观测个数r = n – t ，
2. 列出条件平差值方程，对其线性化进一步列出改正数条件方程
平差值条件方程 ˆ()0F L
=
改正数条件方程 0=+W AV
3. 据具体情况确定观测值的权阵；
)(21n p p p diag P =
4. 组成法方程式，求出联系数；
W NK =
1K N W -=-
5. 算出观测值改正数和观测值的平差值L
ˆ； 1T V P A K -= V L L
+=ˆ 6. 检查平差计算的正确性，将平差值L ˆ代入平差值条件方程式，检验平差值是否满足应有
的条件关系式；0)ˆ(=L
F 7. 计算单位权方差和单位权中误差；r
PV V T =20
ˆσ
8. 列出平差值函数关系式，计算平差值函数及其精度。
对平差值函数全微分，应用广义传
播律计算平差值函数的协因数，进一步计算出平差值函数的方差、协方差。
12ˆˆˆˆ(,,,)n
f L L L ϕ= ˆˆˆˆT
LL Q fQ f ϕϕ= 2
ˆˆˆˆ0ˆD Q ϕϕϕϕσ=
三、思考题：
1.
发现误差的必要条件是什么？
2. 几何模型的必要元素与什么有关？为什么？
3. 测量平差的函数模型和随机模型分别表示哪些量之间的什么关系？
4. 什么叫必要起算数据？各类控制网的必要起算数据是如何确定的？
5. 条件平差中求解的未知量是什么？能否由条件方程直接求得改正数？
6.
设某一平差问题的观测个数为n ，必要观测数为t ，若按条件平差法进行平差，其条件方程，法方程及改正数方程的个数各为多少？
7. 通常用什么公式将非线性函数模型转化为线性函数模型？ 8. 在条件平差中，能否根据已列出的法方程计算单位权方差？ 9. 条件平差中的精度评定主要是解决哪些方面的问题？
四、计算题
5.1 有水准网如下图P1点位已知点Hp1=50.002米，P2、P3、P4,为待定点，观测六条线路的线路长度和高差为：
S1= 1.0km h1=1.576m，
S2=1.5 km h2=2.215m,
S3=1.5 km h3=-3.800m,
S4=1.0 km h4=0.871m,
S5=2.0 km h5=-2.438m,
S6= 2.0 km h6=-1.350m。
试按条件平差法：
1)求各点的高程；
2)求p2点高程中误差；
3)求h6高差平差值中误差。
5.2在图所示水准网中，A 为已知点，已知m H A 00.1 ，P 1、P 2、为待定点， 各线路的长度和观测高差值如下：
h1=3.58m s1=1.0km h2=0.55m s2=2.0km h3=4.11m s3=1.0km h4=0.50m s5=2.0km 按条件平差处理：
(1)按条件平差列出改正数条件方程式 (2)计算高差平差值；
(3)计算h4平差值的中误差。
(15分)
5.3有水准网如图三所示，网中A 、B 为已知点，C 、D 为待定点，51~h h 为高差观测值，
设各线路等长。
已知平差后算得)(482
mm V V T
，试求平差后C 、D 两点间高差5
ˆh 的权及中误差。
A
D 5.4 A 、B 为已知点，C 、D 点为未知点，同精度观测六个角度
L1=85°23′05″, L2=46°37′10″ L3=47°59′56″,L4=40°00′50″ L5=67°59′37″,L6=71°59′19″ Xa=641.292m,Ya=319.638m Xb=589.868, Yb=540.460m
试按条件平差法求：
1) 观测值平差值及改正数； 2) 平差后单位权中误差； 3) 平差后C 、D 点坐标；
4) 平差后BD 和CD 边的方位角及方位角中误差； 5) 平差后BD 边边长及其相对中误差；
5.5如图控制网，A 和B 为已知点，C 、D 、E 、F 为待定点，观测了全网中的14个内角、两个边长S1和S2，回答或计算下列问题。
1) 必要观测个数__________； 2) 条件式个数____________； 3) 写出一个极条件（不必线性化）； 4) 写出一个正弦条件（线性化）。
5.6如图控制网，A 和B 为已知点，CD 为基线边、又已知BF 边方位角，观测了全网中的15个内角（L i ，i=1~15），采用条件平差计算，回答或计算下列问题：
1) 观测值个数 ； 2) 必要观测个数__________； 3) 说明条件式种类和个数；
4) 写出条件平差值方程（非线性不必线性化）。
F
A
B
C D 1
2
345
678129
13
1110
1415
5.7在下图所示测角网中，A 、B 为已知点，BC α为已知方位角，C 、D 为待定点，7
21,,,L L L 为同精度独立观测值；
若按条件平差法对该网进行平差： (1).共有多少个条件方程？各类条件方程各有多 少个？
(2).试列出全部条件方程（非线性条件方程要求 线性化）。
5.8如图边角网，A 、B 为已知点，C 、D 、E 为待定点。
同精度观测角13个，测边1条。
试按条件平差法对该网进行平差：
(1) 共有多少条件方程？各种条件方程的个数？ (2) 试列出全部非线性条件方程（不必线性化）；
(3) 为了求平差后CB 边长的相对中误差，试列出其权函数式及简述计算过程。
A
B
E
5.9 某平差问题有以下函数模型)(I Q =
121344
5
1
6
50
603020
v v v v v v v v v --=⎧⎪+-+=⎪⎨--=⎪⎪--=⎩
试问：
1)以上函数模型为何种平差方法的模型？ 2)本题中，=n ，=t ，=r 。
五、证明题：
5.11试用条件平差法证明：单三角形闭合差平均分配法则的正确性。
5.13 证明在条件平差中V 、L 、ˆL
两两相关或不相关。