高三数学一轮复习精品教案3：二项式定理(理)教学设计

10.7 二项式定理
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
『梳理自测』
一、二项式定理及特点
1．(教材改编)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6
2．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10
3．(教材改编)二项式⎝⎛⎭⎫x 3－1
x 25的展开式中的常数项为( ) A ．10 B ．－10 C ．－14 D ．14 『答案』1.B 2.B 3.A
◆以上题目主要考查了以下内容： (1)二项式定理
(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －
1b ＋…＋C r n a n －
r b r ＋…＋C n n
b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式．
其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数．
式中的C r n a n －
r b r 叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n a
n －
r b r
. (2)二项展开式形式上的特点 ①项数为n ＋1.
②各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .
③字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .
④二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －
1n ，C n n .
二、二项式系数的性质
1．若⎝⎛⎭⎫x －1
2n 的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为( ) A.132 B.164 C ．－164 D.1128
2．若⎝⎛⎭⎫3x －1
x n 展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x 3的项的系数为( ) A ．－5 B ．5 C ．－405 D ．405 『答案』1.B 2.C
◆以上题目主要考查了以下内容：
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n ＝C n －
r
n (r ＝0,1，…，n )
(2)增减性与最大值：
二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项C n 2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项C n －12n ，C
n ＋12
n 取得最大值．
(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n ；C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n
＋C 5n
＋…＝2n －
1. 『指点迷津』
1．一个防范
运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n a
n －
r b r
，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分，前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．
2．一个定理
二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．
3．两种应用
(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．
(2)展开式的应用：①证明与二项式系数有关的等式；②证明不等式；③证明整除问题；④做近似计算等．
考向一 二项展开式中的特定项或系数
(1)(2013·高考安徽卷)若⎝
⎛⎭⎪⎫
x ＋a 3x 8的展开式中，x 4的系数为7，则实数a ＝________.
(2)(2013·高考江西卷)⎝⎛⎭⎫x 2－2
x 35展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40
『审题视点』 根据二项展开式的通项公式，令x 的次数为4，则为x 4的项，含x 的次数为0，则为常数项．
『典例精讲』 (1)含x 4的项为C 38x 5⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 3x 3＝C 38a 3x 4
，
∴C 38a 3
＝7，∴a ＝12
. (2)设展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭
⎫－2x 3r ＝C r 5·x 10－2r ·(－2)r ·x －3r ＝C r 5
·(－2)r ·x 10－5r .若第
r ＋1项为常数项，则10－5r ＝0，得r ＝2，即常数项T 3＝C 25
(－2)2＝40. 『答案』 (1)1
2
(2)C
『类题通法』 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，含字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．
1．(2014·浙江省温州市调研)(x －1
2x
)6的展开式中的常数项是________．
『解析』二项式(x －12x )6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x )6－r (－12x )r ＝(－12)r C r 6
x 3－3r
2
， ∴当r ＝2时，T r ＋1是常数项，此时T 3＝15
4.
『答案』15
4
考向二 二项展开式的系数和问题
在(2x －3y )10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和．
『审题视点』 分清二项式系数与项的系数，奇数项与偶数项，正确赋值．
『典例精讲』 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和即为a 0
＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．
(1)二项式系数的和为
C 010＋C 110＋…＋C 1010
＝210. (2)令x ＝y ＝1，各项系数和为 (2－3)10＝(－1)10＝1. (3)奇数项的二项式系数和为
C 010＋C 210＋…＋C 1010
＝29， 偶数项的二项式系数和为
C 110＋C 310＋…＋C 910
＝29. (4)令x ＝y ＝1，得到 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，②
①＋②，得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项的系数和为1＋5102
；
①－②，得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项的系数和为1－510
2
.
『类题通法』 (1)对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．
(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －1
2
，
偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －1
2
.
2．(2014·福建厦门模拟)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )
A ．15x 2
B ．20x 3
C ．21x 3
D ．35x 3
『解析』选B.令x ＝1，则(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝64， ∴n ＝6.故(1＋x )6的展开式中最大项为T 4＝C 36x 3＝20x 3
.
考向三 二项式定理的综合应用
(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －
1(n ∈N *) 能被31整除；
(2)求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数；
(3)根据下列要求的精确度，求1.025的近似值．(精确到0.01)． 『审题视点』 (1)(2)利用二项展开式寻求倍数关系． (3)根据展开式适当取舍．
『典例精讲』 (1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1
＝25n －1
2－1
＝25n －1＝32n －1 ＝(31＋1)n －1
＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －
2＋…＋C n －
1n ×31＋C n n －1 ＝31(C 0n ×31n －
1＋C 1n ×31n －
2＋…＋C n －
1n )， 显然C 0n ×31n －
1＋C 1n ×31n －
2＋…＋C n －
1n 为整数，
∴原式能被31整除．
(2)S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89
－1 ＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1 ＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2. ∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是正整数，
∴S 被9除的余数为7.
(3)1.025＝(1＋0.02)5＝1＋C 15×0.02＋C 25×0.022＋…＋C 55×0.025≈1＋5×0.02＝1.10.
『类题通法』 (1)利用二项式定理进行近似计算：当n 不很大，|x |比较小时，(1＋x )n ≈1＋nx .
(2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧．
(3)利用二项式定理证明不等式：由于(a ＋b )n 的展开式共有n ＋1项，故可以对某些项进
行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的．
3．(2012·高考湖北卷)设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 『解析』选D.512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a
＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52× (－1)2 011＋C 2 0122 012
×(－1)2 012＋a ∵C 02 012522 012－C 12 01252
2 011＋…＋C 2 011
2 012×52×(－1)2 011 能被13整除，且512 012＋a 能被13整除．
∴C 2 0122 012(－1)
2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除， ∴a 可取值12.
多次应用二项展开式通项公式搭配不全
(2012·高考安徽卷)(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15
的展开式的常数项是( )
A ．－3
B ．－2
C ．2
D ．3
『正解』 利用二项展开式的通项求解． 二项式⎝⎛⎭⎫1x 2－15
展开式的通项为： T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫1x 25－r
·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10
·(－1)r . 当2r －10＝－2，即r ＝4时，有
x 2·C 45x －
2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5；
当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2.
∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D. 『答案』 D
『易错点』 (x 2＋2)与⎝⎛⎭⎫1x 2－15的各因式的积为常数项，不只是2与(－1)的积，还有x 2与x
－2
的积也为常数．
『警示』 求几个二项式积的展式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式
的结构特征进行分类搭配，分类时要抓住一个二项式逐项分类，分析其它二项式应满足的条件，然后再求解结果．
1．(2013·高考重庆卷)使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n
(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
『解析』选B.根据二项展开式的通项公式求解．
T r ＋1＝C r n (3x )
n －r
⎝⎛⎭
⎫1x x r ＝C r n 3n －r xn －52r ，当T r ＋1
是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5
时成立．
2．(2013·高考全国新课标卷)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m
＋1
展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
『解析』选B.先根据二项展开式中二项式系数的特点确定系数的最大值，再利用组合数公式求解．
(x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，
∴a ＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋
1
2m ＋1. ∵13a ＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋
12m ＋1.
∴13·
2m ！m ！m ！＝7·2m ＋1！
m ＋1！m ！
.∴m ＝6.
3．(2013·高考四川卷)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答)
『解析』利用二项展开式的通项求解． (x ＋y )5展开式的通项是
T r ＋1＝C r 5x
5－
r y r ， 令r ＝3得T 4＝C 35x 2y 3＝10x 2y 3
，
∴二项式(x ＋y )5展开式中含x 2y 3项的系数是10. 『答案』10
4．(2013·高考浙江卷)设二项式⎝
⎛⎭⎪⎫
x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. 『解析』写出二项展开式的通项T r ＋1，令通项中x 的指数为零，求出r ，即可求出A .
T r ＋1＝C r 5(x )5－r
⎝
⎛⎭⎪⎫－13x r ＝C r 5(－1)r x 52－5r 6，令52－5r 6＝0，得r ＝3，所以A ＝－C 3
5＝－10. 『答案』－10。