图论的例题

李东 副教授
a
a a
b
简单图
c (G1)
e
b
e
b
e c d (G3)
d
c
(G2) d
b
a b a a b d (D2) e d e (D3)
c (D1)
d
e
c
c
简单图
简单图
集合与图论
1.5
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
a
a a
b
e
b
e
b
e c d (G3)
c (G1) b a
d
c
(G2) d
多重图
b a a
b d (D2) e d e (D3)
c (D1)deຫໍສະໝຸດ cc集合与图论
1.6
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
3.哪几个无向图是连通图？它们的点 连通度和边连通度分别是多少？
a a b e b c (G1) d c (G2) d e a
b
c
e
d
(G3)
集合与图论
1.7
哈尔滨工业大学软件学院

( D2 ), ( D2 ),

( D2 ), ( D2 )

a b
分别是多少？
b
a
e
c
c
(G2) d
d (D2)
e
集合与图论
1.9
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
(G2 ) 4, , (G2 ) 0, ( D2 ) 3, ( D2 ) 2, ( D2 ) max{d (a), d (b), d (c), d (d ), d (e)} max{ ,2,1,1,1} 2. 1
集合与图论
1.1
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
D1=<V4,E4>,其中V4= V1 ， E4={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,d>,<d,a>,<d,e>}. D2=<V5,E5>,其中V5= V1 ， E5={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,e>,<e,a>}.
d
c
(G2) d
G1、G2、G3是无向图
b a
c (D1)
d
e
c
d (D2)
e d e (D3)
c
D1、D2、D3是有向图
集合与图论 1.3
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
2.哪几个图是简单图？哪几个图是多重图？
提示：既无平行边，又无环的图为简单图。
含有平行边的图为多重图。
集合与图论
1.4
哈尔滨工业大学软件学院
集合与图论
1.27
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
由握手定理的推论，无向图 中度数为奇数的顶点不可能有奇 数个。所以， G中至多有4个5度 顶点和4个6度顶点。 则 G中顶点的数目至多有4+4= 8个，与 G为9阶无向图矛盾。 所以， 原假设不成立。 G中至少有5个6 度顶点或至少有6个5度顶点。
b
a
b
a
a b
c c (D1) d e
d (D2)
e d e (D3)
c
D1和D2都有经过每个顶点至少一次 的通路，所以它们是单向连通图。 D3没有经过每个顶点至少一次的通 路，所以它不是单向连通图。
集合与图论
1.12
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
b
a b
a
c c (D1) d
e
d (D2)
e
在D1和D2的经过每个顶点至少一次 的通路中，只有D2的通路能构成回路， 所以只有D2是强连通图。
集合与图论
1.13
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
6.G2中有几种非同构的圈？D2中 有几种非同构的初级回路？
a b b c (G2) d e a
c
d (D2)
e
集合与图论
1.14
哈尔滨工业大学软件学院
再也没边可去了,下 面再去掉一个点.
集合与图论
1.36
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
取掉它的3个点(相应的全部6条 边都没了)而得到的子图是:
再也没边可去了，最后一个 点不能再去掉了。以上就是 K4的全部子图，共18个。
集合与图论
1.37
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
由于K4是简单图，所以它的子图也是简 单图。因而它的子图都有补图。

集合与图论 1.10 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
5.有向图中哪几个图是强连通图？哪几 个图是单向连通图？哪几个图是弱连通 图？ a
b b a a b c c (D1) d e d (D2) e d e c
一目了然，都是弱连通图
(D3)
集合与图论
1.11
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
集合与图论
1.38
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
n阶简单图的补图是相对Kn来求补的， 所以它的补图就在它的子图中。即某些子 图互为补图，例如： 和
集合与图论
1.39
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
和 相对于K1互为补图。
和 相对于K2互为补图。
和
相对于K3互为补图。
和
相对于K3互为补图。
集合与图论
取掉它的5条边和0个点而得到的子图是:
集合与图论
1.32
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
取掉它的6条边和0个点而得 到的子图是:
再也没边可去了,下 面开始去掉点.
集合与图论
1.33
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
取掉它的1个点(相应的3条边没 了)而得到的子图是:
取掉它的1个点、 1条边而得到的子图是:
例题分析(1)
1 给定下列6个图：
G1=<V1,E1>,其中V1={a,b,c,d,e}， E1={(a,b),(b,c),(c,d),(a,e)}.
G2=<V2,E2>,其中V2= V1 ， E2={(a,b),(b,e),(e,b),(a,e),(d,e)}. G3=<V3,E3>,其中V3= V1 ， E3={(a,b),(b,e),(e,d),(c,c)}.
集合与图论
1.43
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
这就是K4的生 成子图。
集合与图论
1.44
哈尔滨工业大学软件学院
D3=<V6,E6>,其中V6= V1 ， E6={<a,a>,<a,b>,<b,c>,<e,c>,<e,d>}.
请画出各图，并回答下列问题： 1.哪几个图是无向图？哪几个图是有向图？
集合与图论
1.2
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
a
a a
b
e
b
e
b
e c d (G3) a b
c (G1) b a
无论起点、终点是那个顶点，长度为2的 初级回路均是同构的，长度为5的初级回路也 均是同构的，所以在D2中存在两种非同构的 初级回路。
集合与图论
1.16
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
7.写出G2的关联矩阵？
a e1 b c e3 e4 e2
1 (G2) d 1 M (G2 ) 0 0 0
李东 副教授
答：在G2中存在两种非同构的圈。 因为G2中的圈长度不是为2就是为3。
无论起点、终点是那个顶点，长度为2的 圈均是同构的，长度为3的圈也均是同构的， 所以在G2中存在两种非同构的圈。
集合与图论
1.15
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
答：在D2中存在两种非同构的 初级回路。 因为D2中的初级回路长度不是为2 就是为5。
而在(d) ：1，3，3，3中除1个1度顶点 外，其它顶点的度数均等于4阶无向简单图 的最大度n-1=3。这是不可能的。 所以(d)不可能构成无向简单图的度数列。
集合与图论
1.23
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
练习题：画出以下列3组数为 度数列的无向图： (a).1,1,2,2,2; (b).2,3,3,4; (c).1,3,3,3;
集合与图论
例题分析(2)
2 给定下列4组数： (a).1,1,2,2,2; (b).1,1,2,2,3; (c).2,3,3,4; (d).1,3,3,3; 问：1.哪些能成为无向图的度数列？
答：由于(b)中的度数为奇数的顶点有奇数 个，所以根据握手定理，其不能构成无向图 的度数列。
其余均能成为无向图的度数列。
集合与图论
1.34
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
取掉它的1个点、 2条 边而得到的子图是:
取掉它的1个点、 3条边而 得到的子图是:
再也没边可去了,下面再去掉一个 点.
集合与图论
1.35
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
取掉它的2个点(相应的5条边没 了)而得到的子图是: 取掉它的2个点、 1条边而得到的子图是:
1.18 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
集合与图论
写出D3的可达矩阵：
a b
d
e
(D3)
1 0 P( D3 ) 0 0 0
c
1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0. 0 0 1 0 0 1 1 1
1.19 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
集合与图论
1.28
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
例题分析(5)
5 画出K4的所有非同构的 子图。并指出它们的补图。其 中哪些是生成子图？ 提示：这就是K4: 它的子图可以通过不断地去掉它的边或 点而得到.
先做去掉边的操作.
集合与图论
1.29
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
取掉它的0条边和0个点而得 到的子图是:
集合与图论
1.20
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
3 给定下列4组数：
(a).1,1,2,2,2; (b).1,1,2,2,3; (c).2,3,3,4; (d).1,3,3,3; 问：2.哪些能成为无向简单图的度数列？ 从前一问可知，(b)不是简单图。所 以只需在(a)、(c)、(d)中判断哪些能构成无 向简单图的度数列。
取掉它的1条边和0个点而得到的(非同 构的)子图是:
注意：以下画出的子图都是非同构的。
集合与图论
1.30
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
取掉它的2条边和0个点 而得到的子图是:
取掉它的3条边和0个点而得到的子图是:
集合与图论
1.31
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
取掉它的4条边和0个点 而得到的子图是:

( D2 ) min{ ,2,1,1,1} 1. 1

( D2 ) max{d (a), d (b), d (c), d (d ), d (e)} max{2,1,1,1,1} 2.






( D2 ) min{2,1,1,1,1} 1.
1.40
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李东 副教授
和
和
和 相对于K4互为补图，下同。
集合与图论
1.41
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
和
和
集合与图论
1.42
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
复习：若
G' GandV ' V
，则称G’为G的生成子图。 所以，没去掉顶点、只是去掉边而得到 的子图是K4的生成子图。
集合与图论
1.24
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李东 副教授
例题分析(3)
4
已知一个无向图G中有10条边 ，2个2度顶点，2个3度顶点，1个4 度顶点，其余顶点的度数都是1。 问：G中有几个1度顶点？
集合与图论
1.25
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
答：根据握手定理，无向图G的各 顶点度数之和等于边数的2倍，即 等于2*10=20。
答：只有(a)能构成无向简单图的度数列。
集合与图论
1.21
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
因为无向简单图的最大度数Δ≤n-1，所 以由于4阶图(c) ：2,3,3,4中最大度数等于4 ，超过了n-1=3，所以不可能构成无向简单 图的度数列。
集合与图论
1.22
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
由于(d)是4阶图，而其中一个 顶点的度数等于1，若(d)是简单 图，则意味着它只与1个顶点相邻 ，与其余顶点都不相邻，那么其 余顶点的度数就不可能等于4阶无 向简单图的最大度n-1=3。
e5
e
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0. 0 0 0 1 1 1 1 1
1.17 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
集合与图论
写出D3的邻接矩阵：
a
b
d
1 (D3) 0 A( D3 ) 0 0 0
e c
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 1 1 0
所以：20=2*2+2*3+1*4+x*1. 解得： x=6，所以G中有6个1度顶点。
集合与图论
1.26
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
例题分析(4)
4 已知一个9阶无向图G中每个 顶点的度数不是5就是6。 证明：G中至少有5个6度顶点或至少有6个 5度顶点。 证：用反证法。设 G中至多有4个6度顶点 并且至多有5个5度顶点。
李东 副教授
3.在无向图中，只有G1是连通图。
由于G1中既有割点又有桥，所以它 的点连通度和边连通度均为1。 哪些点和边是G1 的割点和桥？ 对于非连通图(G2和G3)，它们的点连通 度和边连通度均为0。
集合与图论
1.8
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
4. (G2 ), (G2 ), ( D2 ), ( D2 ),