高二数学选修2-2定积分的概念

高二数学选修2-2 定积分的概念

教学目标：

1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；

2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；

3.理解掌握定积分的几何意义．

教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 复习：

1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：

2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二．新课讲授

1．定积分的概念

一般地，设函数()f x 在区间[

,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L

将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a

x n

-D =

），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,

,i i n x =L ，作和式： 1

1

()()n

n

n i i i i b a

S f x f n x x ==-=

D =

邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ?

?）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数

S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b

a

S f x dx =

ò，

其中

-

ò积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，[,]a b －

积分区间，(

)f x dx －被积式。 说明：（1）定积分

()

b

a f x dx ò是一个常数，即n

S 无限趋近的常数S （n ??时）记为

()b

a

f x dx

ò，而不是n S ．

（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点

[]1,i i i x x x -Î；③求和：1

()n

i i b a

f n x =-å；④取极限：()

1

()l i m n

b i n a i

b a

f x dx f n

x =-=åò （3）曲边图形面积：()b

a S f x dx =

ò；变速运动路程2

1

()t t S v t dt =ò

；变力做功

()b

a

W F r dr =

ò

2．定积分的几何意义

从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有

()0f x ³，那么定积分()b

a

f x dx ò表示由直线

,(),0x a x b a b y ==?和曲线()y f x =所围成的曲边

梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()b

a f x dx

ò的几何意义。

说明：一般情况下，定积分

()

b

a f x dx ò的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x

b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负

号。

分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x D +

D ++D ++D L L

不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +

于是和式即为

()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -D +D ++D --D ++-D L L

()b

a

f x dx \

=ò阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）

思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S 吗？

3．定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1()b

a

kdx k b a =-ò；

性质2()()()b

b a

a

kf x dx k f x dx k =蝌为常数（定积分的线性性质）

； 性质31

2

12

[()()]()()b

b b

a

a

a f x f x dx f x dx f x dx ??

蝌?（定积分的线性性质）

； 性质4

()()()()b c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx a c b =

+

<<蝌?其中（定积分对积分区间的

可加性） (1)

()()b

a a

b

f x dx f x dx =-蝌； (2)()0a a

f x dx =ò；

说明：①推广：

1

2

12[()()()]()()()b

b b

b m m a

a

a

a

f x f x f x dx

f x dx f x dx

f x 北?北?

蝌蝌L L

②推广:

12

1

()()()()k

b

c c b a

a

c

c f x dx f x dx f x dx f x dx =+

++蝌蝌L

③性质解释：

A M N

B A M P

C C PN B

S S S =+曲边梯形曲边梯形曲边梯形