2018全国高考立体几何(完整答案)2

全国高考立体几何

一．解答题（共40小题）

1．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．

（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；

（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB 所成的角的大小．

2．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

3．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．

求证：（1）AB∥平面A1B1C；

（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．

4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点．

（Ⅰ）求证：PE⊥BC；

（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；

（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．

5．如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积．

6．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．

（Ⅰ）求证：FG∥平面PBD；

（Ⅱ）求证：BD⊥FG．

7．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，AD=2BC，∠DAB=∠ABP=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PAB；

（Ⅱ）求证：AB⊥PC；

（Ⅲ）若点E在棱PD上，且CE∥平面PAB，求的值．

8．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．

（1）求证：DE∥平面PBC；

（2）求证：AB⊥PE；

（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．

9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥CB，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，，M是棱PC上的点．

（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）若PA=PD=2，BC=1，，异面直线AP与BM所成角的余弦值为，求的值．

10．如图，梯形ABCD中，AD=BC，AB∥CD，AC⊥BD，平面BDEF⊥平面ABCD，EF∥BD，BE⊥BD．（1）求证：平面AFC⊥平面BDFE；

（2）若AB=2CD=2，BE=EF=2，求BF与平面DFC所成角的正弦值．

11．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥PC，CA=CB，M是AB的中点．点N在棱PC上，点D是BN的中点．求证：

（1）MD∥平面PAC；

（2）平面ABN⊥平面PMC．

12．如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，若∠PDA=45°，（1）求证：MN∥平面PAD；

（2）求证：MN⊥平面PCD．

13．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，D为BB1的中点．

（1）求证：A1C⊥AD；

（2）若点P为四边形ABB1A1内部及其边界上的点，且三棱锥P﹣ABC的体积为三棱柱ABC﹣A1B1C1体积的，试在图中画出，P点的轨迹．并说明理由．

14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为边长为2等边三角形，BB1=4，A1C1⊥BB1，且∠A1B1B=45°．（I）证明：平面BCC1B1⊥平面ABB1A1；

（Ⅱ）求B﹣AC﹣A1二面角的余弦值．

15．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，M，N分别是A1B1，BC 的中点．

（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC1A1；

（II）求二面角M﹣AN﹣B的余弦值．

16．已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD．

（1）试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出详细证明；

（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．

17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ADB=90°，CB=CD，点E为棱PB的中点．

（1）若PB=PD，求证：PC⊥BD；

（2）求证：CE∥平面PAD．

18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，

（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；

（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．

19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形∠BAD=60°．已知PB=PD=2，PA=．（Ⅰ）证明：PC⊥BD；

（Ⅱ）若E为PA上一点，记三棱锥P﹣BCE的体积和四棱锥P﹣ABCD的体积分别为V1和V2，当V1：V2=1：8时，求的值．

20．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是CB，CD的中点，点M在棱CC1上，CM=tCC1（0＜t＜1）．

（Ⅰ）三棱锥C﹣EFM，C1﹣B1D1M的体积分别为V1，V2，当t为何值时，V1•V2最大？最大值为多少？（Ⅱ）若A1C∥平面B1D1M，证明：平面EFM⊥平面B1D1M．

21．如图，直角梯形ABEF中，∠ABE=∠BAF=90°，C、D分别是BE、AF上的点，且DA=AB=BC=a，DF=2CE=2a．沿CD将四边形CDFE翻折至CDPQ，连接AP、BP、BQ，得到多面体ABCDPQ，且AP=a．（Ⅰ）求多面体ABCDPQ的体积；

（Ⅱ）求证：平面PBQ⊥平面PBD．

22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，PA=PD，O为AD边的中点．

（1）证明：平面POB⊥平面PAD；

（2）若，求四棱锥P﹣ABCD的体积．