二次函数关于坐标轴对称图形的解析式

二次函数关于坐标轴对称图形的解析式

江苏丁小平

学习了平面直角坐标系后，我们经常会解决一些点关于坐标轴的对称点的问题。学习了二次函数后，我们也可运用类似的方法求抛物线关于坐标轴对称的抛物线的函数解析式。现举例如下：

例1、求抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线。

解：方法一、利用顶点式：

y=2x2-4x-5=2（x-1）2-7

抛物线y=2x2-4x-5的顶点为（1，-7）。

抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称得到的抛物线形状大小与原来的一样，但开口的方向改为向下，顶点关于x轴对称。所以所求抛物线的二次项系数是-2，顶点为（1，7）。

所以，抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线为y=-2(x-1)2+7.

方法二、利用点对称：

设点P（x，y）在对称后的抛物线上，则P点关于x轴对称的对称点为P′（x，-y）必在抛物线y=2x2-4x-5上。点P′（x，-y）符合解析式。

所以在y=2x2-4x-5中，用x代换x， y代换y

得-y=2x2-4x-5

即y=-2x2+4x+5为所求的抛物线。

说明：抛物线关于x轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(x，－y)

y＝ax2＋bx＋c变为y＝－ax2－bx－c.

例2. 求抛物线y=4x2+8x-4关于y轴对称的抛物线。

解：方法一、利用顶点式：

y=4x2+8x-4=4（x+1）2-8

抛物线y=4x2+8x-4的顶点为（-1，-8）。

抛物线y=4x2+8x-4关于y轴对称得到的抛物线形状大小与原来的一样，开口的方向保持不变，顶点关于y轴对称。所以所求抛物线的二次项系数是4，顶点为（1，-8）。

所以，抛物线y=4x2+8x-4关于y轴对称的抛物线为y=4(x-1)2-8.

方法二、利用点对称：

设点P（x，y）在对称后的抛物线上，则P点关于y轴对称的对称点为P′（-x，y）必在抛物线y=4x2+8x-4上。点P′（-x，y）符合解析式。

所以在y=4x2+8x-4中，用-x代换x，y代换y

得y=4(-x)2+8(-x)-4

即y=4x2-8x-4为所求的抛物线。

说明：关于y轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(－x，y)， y＝ax2＋bx＋c 变为y＝ax2－bx＋c.

利用“对称点的坐标特征”巧求“函数对称图形的解析式”

高德金

一对对称点的坐标具有如下特征:“关于谁轴对称谁相同,关于原点对称都不同。”其意思是关于x轴对称的点,其横坐标相同,纵坐标互为相反数;关于y轴对称的点,其纵坐标相同,横坐标互为相反数;关于原点对称的点,其横、纵坐标均互为相反数。利用对称点的上述特征求解函数对称图形的解析式可收事半功倍之效。现举例说明如下:例1 已知直线y=-3x+4,分别求出此直线关于x轴、y轴、原点对称的直线解析式。

分析:

思路一:因为要求直线与已知直线“y=-3x+4”关于x轴对称,所以根据关于x轴对称的点的坐标特征——“横坐标相同,纵坐标互为相反数”,结合直线公理“两点确定一条直线。” 即可求得已知直线“y=-3x +4”关于x轴对称的直线解析式。故可先在已知直线上任取两点,求出此两点关于x轴对称的点的坐标,再由待定系数法求得解析式。但此解法较繁琐,且局限性较大,不可取。求关于y轴、原点对称的直线解析式与此类同。

思路二:我们这样理解——“关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数。”就是“所求直线解析式的所有x值与已知直线的所有x值相同,所有y值与已知直线的y值互为相

反数。”故用-y替换已知直线y=-3x+4中的y,可求得直线y=-3x+4关于x轴对称的直线解析式;同样的道理,用-x替换已知直线y=-3x+ 4中的x,可求得直线y=-3x+ 4关于y轴对称的直线解析式;用-x、-y 分别替换已知直线“y=-3x+4”中的x、y可求得已知直线“y=-3x+4”关于原点对称的直线解析式。

解:把直线y=-3x+4中的y换成-y,有-y=-3x+4,化简得y=3x-4。故直线y=-3x+4关于x 轴对称的直线解析式为:y=3x-4。

同理,用-x替换x,得直线y=-3x+4关于y轴的对称解析式为:y=-3（-x）+4,即y=3x+ 4。

用-x、-y分别替换x、y,得直线y=-3x+4关于原点的对称解析式为:-y=-3（-x）+4,即y=-3x-4。

例2 求抛物线y=3x²-3x 4关于x轴、y轴、原点对称的抛物线解析式。

分析:仿照例1中思路一进行分析,则至少要求出三点的对称坐标,才能求出所求抛物线解析式。其解题过程繁琐,容易出错。利用例1中的思路二进行分析,其解题过程简洁明快、通俗易懂。

由抛物线关于x轴对称可知:所求抛物线与已知抛物线横坐标相同,纵坐标互为相反数;由抛物线关于y轴对称可知:所求抛物线与已知抛物线纵坐标相同,横坐标互为相反数;由抛物线关于原点对称可知:所求抛物线与已知抛物线横、纵坐标均互为相反数;故分别用-y替换y,-x替换x,-x、-y替换x、y。即可轻松求得已知抛物线的对称解析式。

解:抛物线y=3x²-3x+4关于x轴对称的抛物线为:-y=3x²-3x+4,即y=-3x²+3x-4。

抛物线y=3x²-3x+4关于y轴对称的抛物线为:y=3（-x）²-3（-x）+4,即y=3x²-3x+4。

抛物线y=3x²-3x +4关于原点对称的抛物线为:-y=3（-x）²-3（-x）+ 4,即y=-3x²-3x-4。（注:此法用于求其他函数的对称解析式也同样实用。）

综上所述:求某图形的对称解析式具有如下规律:

1.求某图形关于x轴对称的图形解析式,只要把已知解析式中的y换成-y,然后化简即可。

2.求某图形关于y轴对称的图形解析式,只要把已知解析式中的x换成-x,然后化简即可。

3.求某图形关于原点对称的图形解析式,只要把已知解析式中的y换