经典超级实用的解题方法之平面向量与解析几何
平面向量与解析几何
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平面向量与解析几何平面向量与解析几何是高中数学的重要内容之一,它们是研究平面上点和向量的位置关系以及相关性质的有效工具。
平面向量通过模和方向来表示,通常用有序对(a, b)来表示。
解析几何则通过坐标系和代数方法研究几何问题。
本文将介绍平面向量和解析几何的基本概念、运算、重要定理和应用。
一、平面向量的基本概念平面向量是指位于同一平面内的具有大小和方向的有序对。
平面向量的表示通常用直角坐标系,其中向量的起点作为坐标原点,向量的终点与原点坐标进行表示。
平面向量AB用向量→AB表示,其中→AB= (x2 - x1, y2 - y1)表示。
平面向量的模记作|→AB|,表示向量的长度或大小。
平面向量的方向用角度α或方向角θ表示,通常在x轴正方向逆时针旋转所得。
平面向量还可以通过分解为x轴和y轴上的分量来表示。
二、平面向量的运算平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和数量除法。
1. 平面向量的加法:向量→AC = →AB + →BC,其中→AC(x3 - x1, y3 - y1) = (x2 - x1, y2 - y1) + (x3 - x2, y3 - y2) = (x3 - x1, y3 - y1)。
2. 平面向量的减法:向量→AB - →CD = →AB + (-→CD),其中→AB - →CD = (x2 - x1, y2 - y1) - (x4 - x3, y4 - y3) = (x2 - x1 - x4 + x3, y2 - y1 - y4 + y3)。
3. 数量乘法:数乘一个实数k,→AC = k→AB,其中→AC(kx2 -kx1, ky2 - ky1) = k(x2 - x1, y2 - y1)。
4. 数量除法:→AB/ k = (1/k)→AB,其中→AB/ k = (1/k)(x2 - x1, y2 - y1)。
三、平面向量的重要定理平面向量的重要定理包括共线定理、共点定理和位移定理。
1. 共线定理:若向量→AB和→CD共线,则存在实数k,使得→AB= k→CD。
平面解析几何与向量平面解析几何基本概念和向量运算
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平面解析几何与向量平面解析几何基本概念和向量运算平面解析几何是数学中的一个重要分支,研究平面上点、线、圆等几何图形的性质和运算。
与此同时,向量也是解析几何中一个重要的概念,用于解决平面上的运动和力学问题。
本文将介绍平面解析几何的基本概念,以及向量的运算。
一、平面解析几何基本概念1. 平面坐标系平面上的点可以通过坐标系来定位。
平面坐标系由两条垂直的坐标轴,即x轴和y轴组成。
点在平面坐标系中的位置可以用有序数对(x, y)表示,其中x为横坐标,y为纵坐标。
2. 平面方程平面方程是指用数学表达式表示平面的方程。
平面的一般方程形式为Ax + By + Cz + D = 0,其中A、B、C为常数,x、y、z为平面上的变量。
3. 直线的表示与判断直线可以用两点的坐标表示。
已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2, y2),直线的方程可以表示为(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
利用该方程可以判断某一点是否在直线上。
4. 圆的方程圆的方程可以用数学表达式表示。
圆的标准方程形式为(x - a)² + (y -b)² = r²,其中(a, b)为圆心的坐标,r为半径的长度。
二、向量运算1. 向量的定义与表示向量是具有大小和方向的量,可以用箭头表示,比如AB→表示从点A指向点B的向量。
向量可以用有序数组表示,比如[x, y]表示一个平面向量。
2. 向量的加法与减法向量的加法是将两个向量相加得到一个新的向量,其中新向量的大小等于两个向量之和,方向与两个向量之间的夹角相同。
向量的减法是将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量,其中新向量的大小等于两个向量之差,方向与两个向量之间的夹角相同。
3. 向量的数量积与向量积向量的数量积(又称点积)是指两个向量的乘积再乘以夹角的余弦值,表示两个向量之间的夹角关系。
向量的数量积的计算公式为A·B = |A| |B| cosθ,其中A和B分别为两个向量,|A|和|B|分别为它们的长度,θ为它们之间的夹角。
平面向量问题的几何解法和几何问题的平面向量解法-平面向量公式
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平面向量问题的几何解法和几何问题的平面向量解法|平面向量公式高考中对平面向量内容的考查,常以选择题、填空题的形式出现.而解选择题、填空题的基本要求和策略是:精确、快速.向量特殊的代数与几何身份确定了其特殊的功能,我们在备考复习中解决此类问题,常常会训练学生学会搭建一个桥梁建立起平面向量中代数与几何的联系,应用几何方法解决平面向量问题,使问题简洁化,从而顺利、快捷、精确地解决问题.另外,我们也留意到,应用平面向量求解几何问题,可避开一些繁琐的运算,同样能使问题简洁化.下面通过例子加以说明.一、利用几何解法解决平面向量问题图1【例1】已知单位向量a ,b的夹角为π3,则∣a + 2b∣= .解:由已知条件,依据平面向量的平行四边形法则,得出图1.则求∣a + 2b∣的值事实上是求平行四边形中线段OC的长.过C作CD⊥OA,垂足为D,易得AD=1,CD=3,所以OC=7,即∣a + 2b∣=7.类似的方法可以解决如下问题:〔1〕若向量满足∣a∣=∣b∣=1,ab = - 12,求∣a + 2b∣的值.〔2〕已知平面向量a、b满足∣a∣=1,∣b∣=1,a与b的夹角为π3,以a、b为邻边作平行四边形,求此平行四边形的两条对角线中较长的一条的长度.图2【例2】若两个非零向量a、b,满足∣a + b∣=∣a - b∣=2∣a ∣,则向量a + b与a - b的夹角为 .解:由向量的和与差的平行四边形法则和三角形法则,可得∣a + b∣,∣a - b∣恰好是以a、b为邻边的平行四边形OACB的两对角线的长度.∵∣a + b∣=∣a - b∣=2∣a∣,∴此四边形OACB为矩形.∴所以向量a + b与a - b的夹角即为∠ADC,易知∠ADC=2π3.图3【例3】设向量a = 〔cos23° ,cos67°〕和b = (cos68°,cos22°),u =a + tb (t∈R),则∣u∣的最小值是 .解:向量a = 〔cos23° ,cos67°〕和b = (cos68°,cos22°) 可以写成:a = 〔cos23° ,sin23°〕,b = (cos68°,sin68°),两向量a、b分别对应于单位圆上〔如图3〕的向量OA、OB ,明显∠AOB=45°,依据∣u∣的几何意义,求∣u∣的最小值事实上是求以向量a 和向量 tb为邻边的平行四边形的对角线的最小值.过A作AD∥OB,过O作OD⊥AD于D,很明显,以AO、AD为邻边所作的平行四边形OADC中线段OD的长度即为∣u∣的最小值,易得∣OD∣=22,故∣u∣的最小值为22.【例4】已知向量OB =〔2,0〕,向量OC =(2,2),向量CA =〔2cosθ,2sinθ〕,则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是〔〕.A.[0,π4]B.[π4,5π12]C.[5π12,π2]D.[π12,5π12]图4解:如图4,向量CA的终点A在以点C为圆心,半径为2的圆上,OA 1 、OA 2 是圆的两条切线,切点分别为A 1 、A 2 ,在Rt△OCA1中,∣OC∣=22 ,∣CA1∣=2,∴∠COA1=π6,∠COA2=∠COA1=π6.∵∠COB=π4,∴∠A1OB=π4-π6=π12,∠A2OB=π4+π6=5π12.∴向量OA与向量OB的夹角的取值范围是[π12,5π12],应选D.【例5】 (2021全国卷第12题)设向量a,b,c满足∣a∣=∣b∣=1,ab =-12,〈a-c,b-c〉=60°,则∣c∣的最大值等于( ).A.2B.3C.2D.1图5解:如图5,设△ABD中, AB =a , AD =b,∠DAB=120°.作△ABD的外接圆⊙O,由题意得⊙O的半径为1.在圆上任取一点C,设AC=c,则CD =b-c,CB=a-c,由几何学问易知,∠BCD=60°,即〈a-c,b-c〉=60°,由于C点的任意性,很明显,当AC过圆心,即AC为直径时,AC的长为最大,即∣c∣为最大,故∣c∣的最大值为2,选A.二、利用平面向量解决几何问题图6【例6】如图6,AD,BE,CF是△ABC的三条高,求证:AD,BE,CF 相交于一点.证明:设BE、CF相交于一点H,并设AB =b,AC =c,AH =h,则BH =h-b,CH =h-c,BC =c-b.∵BH⊥ AC,CH⊥AB ,∴〔h-b〕?c=0,〔h-c〕?b=0.∴〔h-b〕?c=〔h-c〕?b.∴h?〔c-b〕=0,即AH?BC=0.∴AH⊥BC,又AH与AD重合,∴AD、BE、CF相交于一点.图7【例7】证明:假如一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.已知:如图7,直线l垂直于平面α内的两条相交直线m,n.求证:l⊥α.证明:在平面α内作不与m、n重合的任意一条直线g,在l,m,n,g。
经典超级实用的解题方法之平面向量与解析几何
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第18讲 平面向量与解析几何在高中数学新课程教材中,学生学习平面向量在前,学习解析几何在后,而且教材中二者知识整合的不多,很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,不会应用平面向量去解决解析几何问题。
用向量法解决解析几何问题思路清晰,过程简洁,有意想不到的神奇效果。
著名教育家布鲁纳说过:学习的最好刺激是对所学材料的兴趣,简单的重复将会引起学生大脑疲劳,学习兴趣衰退。
这充分揭示方法求变的重要性,如果我们能重视向量的教学,必然能引导学生拓展思路,减轻负担。
一、知识整合平面向量是高中数学的新增内容,也是新高考的一个亮点。
向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,它具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形与一体,能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合,形成知识交汇点。
而在高中数学体系中,解析几何占有着很重要的地位,有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂,不妨运用向量作形与数的转化,则会大大简化过程。
二、例题解析例1、(2000年全国高考题)椭圆14922=+y x 的焦点为F ,1F 2,点P 为其上的动点,当∠F 1P F 2为钝角时,点P 横坐标的取值范围是___。
解:F 1(-5,0)F 2(5,0),设P (3cos θ,2sin θ)21PF F ∠ 为钝角∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-( =9cos2θ-5+4sin 2θ=5 cos 2θ-1<0 解得:55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是(553,553-) 点评:解决与角有关的一类问题,总可以从数量积入手。
本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值,通过坐标运算列出不等式,简洁明了。
例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0),P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点,求22PA PB +的最大值和最小值。
高考数学中的平面解析几何与向量综合运算技巧
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高考数学中的平面解析几何与向量综合运算技巧在高考数学中,平面解析几何和向量是重要的考点之一。
掌握平面解析几何与向量的综合运算技巧对于解题非常有帮助。
本文将介绍一些平面解析几何与向量综合运算的技巧,帮助同学们在高考中取得好成绩。
一、平面解析几何相关概念回顾在开始介绍平面解析几何与向量综合运算技巧之前,让我们先回顾一些相关的概念。
1. 坐标表示法平面解析几何中,我们通常使用坐标表示法来表示点、直线和图形。
一个二维平面上的点可以用一个有序数对(x, y)表示,其中x代表横坐标,y代表纵坐标。
2. 向量的表示与运算向量是有大小和方向的量,在平面解析几何中,我们常用箭头表示,如→AB表示从点A指向点B的向量。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法等。
3. 直线的方程直线可以用一般式方程、点斜式方程和两点式方程来表示。
对于一般式方程:Ax + By + C = 0,A、B和C是常数,表示一个一般的直线。
二、平面解析几何与向量综合运算技巧1. 平面解析几何技巧在解题中,对于平面上的点、直线和图形,我们可以运用平面解析几何的技巧来简化问题的解答过程。
(1)对称性技巧利用平面上的对称性,可以简化运算过程。
比如,如果点A关于坐标原点O对称的点为A',那么向量→OA与→OA'的大小和方向相同。
(2)平行和垂直关系技巧在解题过程中,经常会涉及到直线的平行和垂直关系。
我们可以利用向量的特性来判断直线的关系。
两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行;两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量的内积为0。
(3)点到直线的距离公式对于平面上的一点P和一条直线l,我们可以利用点到直线的距离公式来求解P到l的距离。
距离公式为:d = |Ax + By + C| / √(A^2 +B^2),其中A、B和C为直线的一般式方程参数。
2. 向量综合运算技巧向量的综合运算是高考数学中的重要考点。
掌握向量的运算技巧能够在解题过程中简化计算。
平面向量与解析几何
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平面向量与解析几何平面向量是解析几何中的重要概念,它们在研究平面几何问题时具有广泛而深入的应用。
本文将介绍平面向量的定义、运算规则以及与解析几何的关系。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的有向线段,用符号表示。
设向量A的起点为点P,终点为点Q,记作A=→PQ。
平面向量还可以用坐标表示。
设A的坐标为(x1, y1),起点在原点O,则A=→OP=(x1, y1)。
二、平面向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则。
设有向量A=→PQ,向量B=→RS,则A+B=→QS。
2. 向量的数乘向量的数乘是指将向量的长度放大或缩小。
设有向量A=→PQ,k为实数,则kA=→P'Q',其中P'为向量A的起点,Q'为向量A的终点,且P'Q'的长度为k倍于PQ的长度。
3. 内积运算内积也称点积,表示两个向量的数量积。
设向量A=→PQ,向量B=→RS,A的坐标为(x1, y1),B的坐标为(x2, y2),则A·B=x1x2+y1y2。
4. 外积运算外积也称叉积,表示两个向量的向量积。
设向量A=→PQ,向量B=→RS,A的坐标为(x1, y1),B的坐标为(x2, y2),则A×B=(0,0, x1y2-x2y1)。
三、平面向量与解析几何的关系通过平面向量的运算,我们可以研究解析几何中的一些常见问题。
1. 直线的方程设有点A(x1, y1)和点B(x2, y2),则点A和点B构成的直线的方程可以表示为:(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
2. 两条直线的关系设直线L1的方程为(a1x+b1y+c1=0),直线L2的方程为(a2x+b2y+c2=0),则L1与L2平行的条件是a1/a2=b1/b2,L1与L2垂直的条件是a1a2+b1b2=0。
3. 两个向量的夹角设有向量A=→PQ,向量B=→RS,夹角θ的余弦可以由它们的内积表示为:cosθ=(A·B)/(|A||B|)。
高考数学(理)之平面向量 专题04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)
![高考数学(理)之平面向量 专题04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)](https://img.taocdn.com/s3/m/0f96da4652ea551810a687d4.png)
平面向量04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用一、具本目标: 一)向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二)考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主,基本稳定为选择题或填空题,难度较低;2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合,以工具的形式进行考查,常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点:(1) 理解有关概念是基础,掌握线性运算、坐标运算的方法是关键;(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时,应注意运用数形结合的数学思想,将共线、垂直等问题,通过建立平面直角坐标系,利用坐标运算解题.4.难点:向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件,综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质,会用向量的几何意义解决问题,有时运用向量的坐标运算更能方便运算. 二、知识概述:常见的向量法解决简单的平面几何问题: 1.垂直问题:(1)对非零向量a r 与b r ,a b ⊥⇔r r.(2)若非零向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥⇔r r r r.2.平行问题:(1)向量a r 与非零向量b r共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .(2)设1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则向量a r 与非零向量b r 共线⇔ .【考点讲解】3.求角问题:(1)设,a b r r是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= .(2)若1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则cos α= .4.距离(长度)问题:(1)设(,)a x y =r,则22a a ==r r ,即a =r .(2)若1122(,),(,)A x y B x y ,且a AB =r u u u r ,则AB AB ==u u u r.【答案】1.1212(1)0,(2)0.a b x x y y ⋅=+=r r2.(1)a b λ=r r,(2)12210x y x y -=3.(1)a b a b ⋅⋅r r r r.4.(1)22x y +【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用:已知ABC D 中,(2,1),(3,2),(3,1)A B C ---,BC 边上的高为AD ,求点D 和向量AD u u u r的坐标.【解析】设点D 坐标(x ,y ),由AD 是BC 边上的高可得⊥,且B 、D 、C 共线,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅//0∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为(1,1),AD =(-1,2). 【答案】AD =(-1,2)【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ,,(12)B --,,(31)C ,,且2BC AD =u u u r u u u r,则顶点D 的坐标为 ( ) A .722⎛⎫ ⎪⎝⎭,B .122⎛⎫- ⎪⎝⎭,C .(32),D .(13),【解析】设22(,),(3,1)(1,2)(4,3),(,2),,37222x x D x y BC AD x y y y 祆==镲镲镲=---==-\\眄镲-==镲镲铑u u u r u u u rQ , 【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1,点D E 、分别为AB BC 、的中点,求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得114.225⋅==∴∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r (1,),(,1),cos =OD OE OD OE DOE OD OE2.在三角函数中的应用:已知向量3(sin ,)4a x =r ,(cos ,1)b x =-r .设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ,已知在ABC ∆中,内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、,若a =2b =,sin B =()4cos(2)6f x A π++([0,]3x π∈)的取值范围.【解析】 由正弦定理得或 . 因为,所以4A π=.因为+.所以, ,, 所以. 【答案】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++212,12362cos 4πA x f sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以43π=A a b >()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r 32()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f3.在解析几何中的应用:(1)已知直线x +y =a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点,且|OA →+OB →|=|OA →-OB →|,其中O 为坐标原点,则实数a 的值为________.【解析】如图所示,以OA 、OB 为边作平行四边形OACB , 则由|OA →+OB →|=|OA →-OB →|得, 平行四边形OACB 是矩形,OA →⊥OB →.由图象得,直线y =-x +a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2(2)椭圆的焦点为F F ,点P 为其上的动点,当∠F P F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 .【解析】法一:F 1(-,0)F 2(,0),设P (3cos ,2sin ).为钝角,.∴=9cos 2-5+4sin 2=5 cos 2-1<0.解得: ∴点P 横坐标的取值范围是(). 14922=+y x ,121255θθ21PF F ∠Θ123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u u r(θθθ55cos 55<<-θ553,553-ODC BA【答案】() 法二:F 1(-,0)F 2(,0),设P (x,y ).为钝角,∴ ()()125,5,PF PF x y x y •=--⋅-u u u r u u u u r225x y =+-=25109x -<. 解得:353555x -<<.∴点P 横坐标的取值范围是(). 【答案】() 2. 在物理学中的应用:如图所示,用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具,已知灯具的重量为10N ,则每根绳子的拉力是 .]【解析】 ∵绳子的拉力是一样的(对称) ,∴OA =OB ,∴四边形OADB 为菱形 .∵∠AOB =120º ,∴∠AOD =60º .又OA =OB =AD , ∴三角形OAD 为等边三角形 ,∴OD =OA . 又根据力的平衡得OD =OC =10 , ∴OA =10 ,∴OA =OB =10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【答案】10N553,553-5521PF F ∠Θ553,553-553,553-【真题分析】1.【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是( )A .2-B .32-C .43- D .1-【解析】如图,以BC 为x 轴,BC 的垂直平分线DA 为y 轴,D 为坐标原点建立平面直角坐标系,则A ,(1,0)B -,(1,0)C ,设(,)P x y ,所以()PA x y =-u u u r ,(1,)PB x y =---u u u r,(1,)PC x y =--u u u r ,所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ,22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r233)222-≥-,当(0,2P 时,所求的最小值为32-,故选B . 【答案】B2.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中,已知点()10A -,、()20B ,,E 、F 是y 轴上的两个动点,且||2EF =u u u r ,则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________.【解析】根据题意,设E (0,a ),F (0,b );∴2EF a b =-=u u u r;∴a =b +2,或b =a +2;且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ,;∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r; 当a =b +2时,()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r;∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-; ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3,同理求出b =a +2时,AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3.故答案为:﹣3.【答案】-33.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,()5,0B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD ⋅=u u u r u u u r,则点A 的横坐标为___________.【解析】设(),2(0)A a a a >,则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ,与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ,由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-,因为0a >,所以 3.a = 【答案】34.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则| a +2b |=___________. 【解析】方法一:222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ,所以|2|+==a b .方法二:利用如下图形,可以判断出2+a b 的模长是以2为边长,一夹角为60°的菱形的对角线的长度,则为【答案】5.【2017年高考江苏卷】如图,在同一个平面内,向量OA u u u r ,OB uuu r ,OC uuu r 的模分别为1,1,2,OA u u u r 与OCuuu r的夹角为α,且tan α=7,OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ,则m n +=___________.【解析】由tan 7α=可得sin 10α=,cos 10α=,根据向量的分解,易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=-=⎩,即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩,即得57,44m n ==,所以3m n +=. 【答案】36.【2017年高考浙江卷】已知向量a ,b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________,最大值是___________.【解析】设向量,a b 的夹角为θ,则-==a b+==a b ++-=a b a b令y =[]21016,20y =+,据此可得:()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ,即++-a b a b 的最小值是4,最大值是【答案】4,7. 【2016·江苏卷】如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,BA →·CA →=4, BF →·CF →=-1,则BE →·CE →的值是________.【解析】 设AB →=a ,AC →=b ,则BA →·CA →=(-a )·(-b )=a ·b =4.又∵D 为BC 中点,E ,F 为AD 的两个三等分点,则AD →=12(AB →+AC →)=12a +12b ,AF →=23AD →=13a +13b ,AE →=13AD →=16a +16b ,BF →=BA →+AF →=-a +13a +13b =-23a +13b ,CF →=CA →+AF →=-b +13a +13b =13a -23b ,则BF →·CF →=⎝⎛⎭⎫-23a +13b ·⎝⎛⎭⎫13a -23b =-29a 2-29b 2+59a ·b =-29(a 2+b 2)+59×4=-1. 可得a 2+b 2=292.又BE →=BA →+AE →=-a +16a +16b =-56a +16b ,CE →=CA →+AE →=-b +16a +16b =16a -56b ,则BE →·CE →=⎝⎛⎭⎫-56a +16b ·⎝⎛⎭⎫16a -56b =-536(a 2+b 2)+2636a ·b =-536×292+2636×4=78.【答案】 788.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b (1)若a ∥b ,求x 的值;(2)记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【解析】(1)因为co ()s ,sin x x =a,(3,=b ,a ∥b,所以3sin x x =. 若cos 0x =,则sin 0x =,与22sin cos 1x x +=矛盾,故cos 0x ≠.于是tan 3x =-.又[]0πx ∈,,所以5π6x =.(2)π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b . 因为[]0πx ∈,,所以ππ7π[,]666x +∈,从而π1cos()62x -≤+≤. 于是,当ππ66x +=,即0x =时,()f x 取到最大值3; 当π6x +=π,即5π6x =时,()f x取到最小值-【答案】(1)5π6x =;(2)0x =时,()f x 取到最大值3;5π6x =时,()f x取到最小值-.1.已知数列{}n a 为等差数列,且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ,若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r,点O 为直线BC 外一点,则12017a a +=( )A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r , ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r, 即()320151OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r , 又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r,∴3201511a a ++=, ∴12017320150a a a a +=+=. 【答案】A2.直角ABC V 中, AD 为斜边BC 边的高,若1AC =u u u r , 3AB =u u u r,则CD AB ⋅=u u u r u u u r ( )【模拟考场】A .910 B . 310 C . 310- D . 910-【解析】依题意BC =22,AC AC CD CB CD CB =⋅==103cos ==BC AB B,所以有9cos 310CD AB CD AB B ⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r . 【答案】A3.已知正三角形ABC 的边长为,平面ABC 内的动点P ,M 满足1AP =uu u r ,PM MC =uuu r uuu r ,则2BMuuu r 的最大值是( ) A.B. C. D.【解析】本题考点是向量与平面图形的综合应用.由题意可设D 为三角形的内心,以D 为原点,直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系,由已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r. 则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =u u u r ,得()2221x y -+=,又11,,,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r()(22214x y BM -++∴=u u u u r ,它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14,()22max149144BM⎫∴==⎪⎭u u u u r ,故选B.【答案】B4.已知曲线C :x =直线l :x=6.若对于点A (m ,0),存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r,则m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由0AP AQ +=u u u r u u u r r知A 是PQ的中点,设(,)P x y ,则(2,)Q m x y --,由题意20x -≤≤,26m x -=,解得23m ≤≤.3244344943637+433237+【答案】[2,3]5.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r=1,则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示, 圆的定义与 三角函数的值域.由题意可知C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈, 则OA OB OD ++=u u u r u u u r u uu r=因为2cos θθ+=所以OA OB OD ++的最大值为1==+故填1【答案】1+6.在△ABC 中,∠ABC =120°,BA =2,BC =3,D ,E 是线段AC 的三等分点,则BD →·BE →的值为________. 【解析】 由题意得BD →·BE →=(BA →+AD →)·(BC →+CE →)=⎝⎛⎭⎫BA →+13AC →·⎝⎛⎭⎫BC →+13CA → =⎣⎡⎦⎤BA →+13(BC →-BA →)·⎣⎡⎦⎤BC →+13(BA →-BC →)=⎝⎛⎭⎫13BC →+23BA →·⎝⎛⎭⎫23BC →+13BA → =29BC →2+59BC →·BA →+29BA →2=29×9+59×2×3×cos 120°+29×4=119. 【答案】1197.已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BC =3BE ,DC =λDF . 若AE →·AF →=1,则λ的值为________. 【解析】法一、 如图,AE →=AB →+BE →=AB →+13BC →,AF →=AD →+DF →=AD →+1λDC →=BC →+1λAB →,所以AE →·AF →=⎝⎛⎭⎫AB →+13BC →·⎝⎛⎭⎫BC →+1λAB →=⎝⎛⎭⎫1+13λAB →·BC →+1λAB →2+13BC →2=⎝⎛⎭⎫1+13λ×2×2×cos 120°+4λ+43=1,解得λ=2.法二、 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知:A (0,1),C (0,-1),B (-3,0),D (3,0).由BC =3BE ,DC =λDF .可求点E ,F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫-233,-13,F ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1-1λ,-1λ, ∴AE →·AF →=⎝⎛⎭⎫-233,-43·⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1-1λ,-1λ-1=-2⎝⎛⎭⎫1-1λ+43⎝⎛⎭⎫1+1λ=1,解得λ=2. 【答案】28.在△ABC 中,∠A =60°,AB =3,AC =2,若BD →=2DC →,AE →=λAC →-AB →(λ∈R ),且AD →·AE →=-4,则λ的值为________.【解析】AB →·AC →=3×2×cos 60°=3,AD →=13AB →+23AC →,则AD →·AE →=⎝⎛⎭⎫13AB →+23AC →·(λAC →-AB →)=λ-23AB →·AC →-13AB →2+2λ3AC →2=λ-23×3-13×32+2λ3×22=113λ-5=-4,解得λ=311.【答案】3119.在△ABC 中,点M ,N 满足AM →=2MC →,BN →=NC →.若MN →=xAB →+yAC →,则x =__________;y =__________.【解析】MN →=MC →+CN →=13AC →+12CB →=13AC →+12(AB →-AC →)=12AB →-16AC →,∴x =12,y =-16.【答案】 12 -1610.在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且BE →=λBC →,DF →=19λDC →,则AE →·AF →的最小值为________.【解析】法一 在梯形ABCD 中,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,可得DC =1,AE →=AB →+λBC →,AF →=AD →+19λDC →,∴AE →·AF →=(AB →+λBC →)·(AD →+19λDC →)=AB →·AD →+AB →·19λDC →+λBC →·AD →+λBC →·19λDC →=2×1×cos 60°+2×19λ+λ×1×cos 60°+λ·19λ×cos 120°=29λ+λ2+1718≥229λ·λ2+1718=2918,当且仅当29λ=λ2,即λ=23时,取得最小值为2918.法二 以点A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则B (2,0),C ⎝⎛⎭⎫32,32,D ⎝⎛⎭⎫12,32.又BE →=λBC →,DF →=19λDC →,则E ⎝⎛⎭⎫2-12λ,32λ,F ⎝⎛⎭⎫12+19λ,32,λ>0,所以AE →·AF →=⎝⎛⎭⎫2-12λ⎝⎛⎭⎫12+19λ+34λ=1718+29λ+12λ≥1718+229λ·12λ=2918,λ>0, 当且仅当29λ=12λ,即λ=23时取等号,故AE →·AF →的最小值为2918.【答案】291811.已知矩形ABCD 的边AB =2,AD =1.点P ,Q 分别在边BC ,CD 上,且∠P AQ =π4,则AP →·AQ →的最小值为________.【解析】法一(坐标法) 以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),D (0,1).设∠P AB =θ,则AP →=(2,2tan θ),AQ →=⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4-θ,1,0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →=(2,2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4-θ,1=2tan ⎝⎛⎭⎫π4-θ+2tan θ=2(1-tan θ)1+tan θ+2tan θ=41+tan θ+2tan θ-2=41+tan θ+2(tan θ+1)-4≥42-4,当且仅当tan θ=2-1时,“=”成立,所以AP →·AQ →的最小值为42-4.法二(基底法) 设BP =x ,DQ =y ,由已知得,tan ∠P AB =x2,tan ∠QAD =y ,由已知得∠P AB +∠QAD =π4,所以tan ∠P AB +tan ∠QAD 1-tan ∠P AB tan ∠QAD =1,所以x +2y 2=1-xy2,x +2y =2-xy ≥2x ·2y ,解得0<xy ≤6-42,当且仅当x =2y 时,“=”成立.AP →·AQ →=22·(4+x 2)(1+y 2)=22·(xy )2+(x +2y )2-4xy +4=22·(xy )2+(2-xy )2-4xy +4=(xy )2-4xy +4=2-xy ≥42-4. 【答案】 42-412.设O 为坐标原点,C 为圆(x -2)2+y 2=3的圆心,且圆上有一点M (x ,y )满足OM →·CM →=0,则y x =________.【解析】 ∵OM →·CM →=0,∴OM ⊥CM ,∴OM 是圆的切线,设OM 的方程为y =kx , 由|2k |1+k 2=3,得k =±3,即yx =± 3.【答案】 ±313.在△ABC 中,已知AB =1,AC =2,∠A =60°,若点P 满足AP →=AB →+λAC →,且BP →·CP →=1,则实数λ的值为________.【解析】 由AB =1,AC =2,∠A =60°,得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A =3,即BC = 3.又AC 2=AB 2+BC 2,所以∠B =90°.以点A 为坐标原点,AB →,BC →的方向分别为x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系,则B (1,0),C (1,3).由AP →=AB →+λAC →,得P (1+λ,3λ),则BP →·CP →=(λ,3λ)·(λ,3λ-3)=λ2+3λ(λ-1)=1,即4λ2-3λ-1=0,解得λ=-14或λ=1.【答案】 -14或114.证明:同一平面内,互成120°的三个大小相等的共点力的合力为零.【证明】如图,用r a ,r b ,r c 表示这3个共点力,且r a ,r b ,rc 互成120°,模相等,按照向量的加法运算法则,有:r a +r b +r c = r a +(r b +r c )=r a +u u u rOD .又由三角形的知识知:三角形OBD 为等边三角形, 故r a 与u u u r OD 共线且模相等,所以:u u u r OD = -r a ,即有:r a +r b +r c =0r .15.在直角坐标系xOy 中,已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ,点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域(含边界)上,且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.(1)若23m n ==,求||OP u u u r ;(2)用,x y 表示m n -,并求m n -的最大值.【解析】(1)(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q (1,2)AB ∴=u u u r ,(2,1)AC =u u u r.Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ,又23m n ==.22(2,2)33OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r,|OP ∴u u u r(2)OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u rQ (,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩,两式相减得:m n y x -=-.令y x t -=,由图可知,当直线y x t =+过点(2,3)B 时,t 取得最大值1,故m n -的最大值为1.【答案】(1)(2)m n y x -=-,1.16.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠DAB =90°,AD =AB =4,CD =1,动点P 在边BC 上,且满足AP →=mAB →+nAD →(m ,n 均为正实数),求1m +1n的最小值.【解析】 如图,建立平面直角坐标系,得A (0,0),B (4,0),D (0,4),C (1,4),则AB →=(4,0),AD →=(0,4).设AP →=(x ,y ),则BC 所在直线为4x +3y =16. 由AP →=mAB →+nAD →,即(x ,y )=m (4,0)+n (0,4),得x =4m ,y =4n (m ,n >0), 所以16m +12n =16,即m +34n =1,那么1m +1n =⎝⎛⎭⎫1m +1n ⎝⎛⎭⎫m +34n =74+3n 4m +m n ≥74+23n 4m ·m n =74+3=7+434(当且仅当3n 2=4m 2时取等号). 17.已知向量m =(cos α,-1),n =(2,sin α),其中α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,且m ⊥n . (1)求cos 2α的值; (2)若sin(α-β)=1010,且β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,求角β的值. 【解析】 (1)由m ⊥n ,得2cos α-sin α=0,sin α=2cos α,代入cos 2α+sin 2α=1,得5cos 2α=1, 又α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,则cos α=55,cos 2α=2cos 2α-1=-35. (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,得α-β∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2.因为sin(α-β)=1010,所以cos(α-β)=31010,而sin α=1-cos 2α=255, 则sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=255×31010-55×1010=22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,所以β=π4.。
高考数学中的平面向量与空间向量几何问题解析技巧
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高考数学中的平面向量与空间向量几何问题解析技巧在高考数学中,平面向量与空间向量是一个重要而且常见的考点。
理解和掌握平面向量与空间向量的几何问题解析技巧对于解题非常关键。
本文将通过实例和分析,介绍高考数学中平面向量与空间向量几何问题解析的技巧和方法。
一、平面向量的几何问题解析技巧1. 问题转化为向量求解在解决平面向量的几何问题时,可以将问题转化为向量求解的问题。
通过将图形和线段等几何信息表示成向量形式,可以简化问题的复杂度,从而更容易求解。
例如,给定平面中的三角形ABC,若已知点A、B、C的坐标,要求证明三角形ABC是等腰三角形。
我们可以将AB和BC两个向量相等,即AB = BC,然后通过向量的运算和坐标的计算来证明等腰性质。
2. 平面向量的投影问题在解决平面向量的投影问题时,我们可以运用向量的投影公式来求解。
向量的投影是一个较为常见的考点,多表现为线段或者阴影的长度。
例如,给定平面中的点P和直线L,要求求点P到直线L的距离。
我们可以先求点P到直线L的方向向量以及直线L上的点B坐标,然后使用向量的投影公式计算出点P到直线L的距离。
3. 平面向量的共线问题解决平面向量的共线问题时,我们可以运用向量共线的判断方法。
共线的判断一般通过向量的线性组合关系来实现。
例如,给定平面中的三个点A、B、C,要求判断三个点是否共线。
我们可以将AB和BC两个向量进行线性组合,若存在实数k使得AB+ kBC = 0,则可以判定三个点共线。
二、空间向量的几何问题解析技巧1. 空间向量的平行问题在解决空间向量的平行问题时,我们可以通过向量的夹角关系来判断。
例如,给定空间中的向量a和向量b,要求判断向量a和向量b是否平行。
我们可以计算向量a和向量b的夹角,若夹角为0度或180度,则可以判定向量a和向量b平行。
2. 空间向量的垂直问题在解决空间向量的垂直问题时,我们可以通过向量的数量积关系来判断。
例如,给定空间中的向量a和向量b,要求判断向量a和向量b是否垂直。
利用平面向量巧解几何问题
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利用平面向量巧解几何问题平面向量具有数与形的双重身份,是解决其它数学问题的有力工具,下面通过例子说明平面向量在解析几何和平面几何中的应用.一、利用平面向量解决解析几何问题【例1】求通过点A (-2,1),且平行于向量(3,1)a = 的直线方程.点拨:在直线上任取一点P(x,y),可知AP a = ,利用向量平行的条件列方程.解:设P(x,y)是所求直线上的任一点,(2,1)AP x y =+- ,AP a = ,(2)13(1)0x y ∴+⨯--=,即所求直线方程为350.x y -+=点评:直线的方向向量和斜率(倾斜角)都是表示直线相对于x 轴正方向的量,要注意分清这些量的区别和联系,以便灵活应用。
【例2】在椭圆221259x y +=上求一点,使它与两个焦点的连线所成的角是直角. 点拨:设椭圆上的满足条件的点为00,)P x y (,利用1290F PF ∠= 和点P 在椭圆上,联立方程组求解。
解:由题意得,椭圆两焦点为12(4,0),(4,0)F F -,设所求点00,)Px y (,则2200925225x y +=①,因为100200(4,),(4,),F P x y F P x y =+=- 12F P F P ⊥ ,所以120F P F P = ,即2200160x y +-=②,由①②得, 0094x y ==±,故所求点的坐标为9999),(),().4444-- 点评:在处理解析几何问题时,需要将向量用点的坐标表示,利用向量的有关法则、性质列出方程.其中向量平行、垂直的条件是经常用到的.二、利用平面向量解决平面几何问题【例3】如图:在ABC ∆中,AB AC =,D 是BC 的中点,DE AC ⊥,E 是垂足,F 是DE 的中点,求证:AF BE ⊥.点拨:要证AF BE ⊥,可转化为证向量的数量积为零,即0AF BE = .证明: AB AC =,且D 是BC 的中点,AD BC ∴⊥ ,0AD BD ∴= .又DE AC ⊥ ,0DE AE ∴= ,BD DC = ,F 是DE 的中点,12EF DE ∴=- , ()()AF BE AE EF BD DE ∴=++AE BD AE DE EF BD EF DE =+++AE BD EF BD EF DE =++()AD DE BD EF BD EF DE =+++AD BD DE BD EF BD EF DE =+++1122DE DC DE DC DE DE =-- 1110222DE DC DE DE DE EC =-== 点评:解决本题关键是将AF BE 、用其他已知位置关系的向量来表示。
高中数学向量与平面解析几何的应用及解题技巧
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高中数学向量与平面解析几何的应用及解题技巧数学中的向量与平面解析几何是高中数学中的重要内容,也是学生们常常感到困惑的部分。
在本文中,我将重点介绍向量与平面解析几何的应用及解题技巧,帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、向量的应用1. 向量的加法与减法向量的加法与减法是向量的基本运算,也是解决向量问题的基础。
在解题过程中,我们常常需要将问题转化为向量问题,并利用向量的加法与减法进行求解。
例如,已知向量a = 3i + 4j,向量b = 2i - 5j,求向量c = 2a - 3b的分量表示。
解题思路:首先,根据向量的加法与减法,我们可以得到c = 2a - 3b = 2(3i + 4j) - 3(2i - 5j) = (6i + 8j) - (6i - 15j) = 21j。
因此,向量c的分量表示为0i + 21j。
2. 向量的数量积与向量的夹角向量的数量积与向量的夹角是向量的重要性质,也是解决向量问题的关键。
在解题过程中,我们常常需要利用向量的数量积与向量的夹角进行计算。
例如,已知向量a = 3i + 4j,向量b = 2i - 5j,求向量a与向量b的数量积及夹角。
解题思路:首先,根据向量的数量积的定义,我们可以得到a·b = 3*2 + 4*(-5)= -14。
然后,根据向量的数量积与向量的夹角的关系,我们可以得到cosθ = (a·b)/(|a|*|b|) = -14/(√(3^2+4^2)*√(2^2+(-5)^2)) = -14/(√25*√29) = -14/(5*√29)。
因此,向量a与向量b的数量积为-14,夹角θ的cos值为-14/(5*√29)。
二、平面解析几何的应用1. 平面直线的方程平面直线的方程是平面解析几何的基本内容,也是解决平面直线问题的关键。
在解题过程中,我们常常需要根据已知条件建立平面直线的方程,并利用方程进行求解。
例如,已知平面直线l过点A(1, 2, 3)且与向量a = i + 2j + 3k垂直,求平面直线l的方程。
平面向量与平面解析几何的联系知识点总结
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平面向量与平面解析几何的联系知识点总结平面向量和平面解析几何是高中数学中重要的概念和工具。
它们在几何图形的描述、方程的求解和数学推理中有着广泛的应用。
本文将总结平面向量与平面解析几何的联系知识点,并探讨它们之间的重要关系。
一、平面向量的基本概念和表示方法平面向量是空间中的有向线段,具有大小和方向。
它可以用一个具有大小和方向的箭头表示。
常用的表示方法有坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示:假设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2),则以A 为起点,B为终点的向量AB可以用坐标表示为向量(a, b),其中a = x2 - x1, b = y2 - y1。
其中,x1、y1为向量的起点坐标,x2、y2为向量的终点坐标。
2. 分量表示:向量AB的分量表示为(ABx, ABy),其中ABx为向量AB在x轴上的投影,ABy为向量AB在y轴上的投影。
分量表示形式方便进行向量的运算和推导。
二、平面解析几何的基本概念和表示方法平面解析几何是用代数方法研究平面上的几何问题。
它通过线性方程和坐标表示来研究几何图形的性质和关系。
1. 直线的解析方程:设直线L的解析方程为Ax + By + C = 0,其中A、B、C为常数,x、y为变量。
通过解析方程可以确定直线L在平面上的位置和方向。
2. 圆的解析方程:设圆C的解析方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2,其中(a, b)为圆心的坐标,r为半径长度。
解析方程确定了圆C在平面上的位置和半径。
三、平面向量与平面解析几何的关系平面向量和平面解析几何有着密切的联系,它们可以相互转化、相互补充,共同应用于几何问题的研究。
1. 平移变换:平移变换是平面向量的一种基本运算,也是几何图形的一种基本变换。
平移变换可以通过平面向量的加法来表示。
设向量u 表示平移的位移,则点P(x, y)经过平移变换得到的新点P'(x', y')的坐标可以表示为(x', y') = (x, y) + u。
初中数学的平面向量与解析几何知识梳理
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初中数学的平面向量与解析几何知识梳理平面向量与解析几何知识梳理平面向量是数学中的重要概念之一,它在初中数学的学习中占有重要地位。
解析几何是基于代数方法研究几何图形的一门学科,同样也是初中数学中的重要内容。
本文将梳理初中数学中的平面向量与解析几何知识,帮助读者更好地理解和掌握这些概念和方法。
一、平面向量1. 向量的定义与表示向量可以被定义为具有大小和方向的量。
它可以用有序的实数组来表示,通常用“a”或“⃗a”表示,其中,a为向量的大小,⃗a为向量的方向。
例如,向量a = (a1, a2)表示一个二维向量,a1和a2分别为向量在x轴和y轴上的分量。
2. 向量的运算向量的运算包括加法、减法、数乘和数量积。
- 向量的加法:向量的加法满足交换律和结合律。
即,对于向量a和b,有a +b = b + a和(a + b) +c = a + (b + c)。
- 向量的减法:向量的减法可以通过向量加法和数乘来表示。
即,a - b = a + (-b)。
- 向量的数乘:向量的数乘指将一个向量乘以一个实数。
即,对于向量a和实数k,有ka = (ka1, ka2)。
- 向量的数量积:向量的数量积又称内积,记作a · b,表示两个向量的数量之积。
数量积有性质:a · b = |a||b|cosθ,其中|a|和|b|分别表示向量a和b的大小,θ表示两个向量之间的夹角。
3. 向量的性质和运算法则向量具有一些重要的性质和运算法则,包括平移法则、共线法则、平行法则、垂直法则、三角形法则等。
这些法则和性质在解决向量的几何问题中具有重要的应用。
二、解析几何1. 直角坐标系解析几何的基础是直角坐标系,也称笛卡尔坐标系。
直角坐标系通过一组坐标轴将平面分为四个象限。
在直角坐标系中,点的位置可以用有序实数对(x, y)表示,其中x表示点在x轴上的坐标,y表示点在y轴上的坐标。
2. 点、直线、平行和垂直在解析几何中,点可以用坐标表示,直线可以用方程表示。
平面向量的解析几何平面向量的解析几何表达与计算
![平面向量的解析几何平面向量的解析几何表达与计算](https://img.taocdn.com/s3/m/aa81a309ce84b9d528ea81c758f5f61fb736288a.png)
平面向量的解析几何平面向量的解析几何表达与计算平面向量是解析几何中的重要概念,它在数学和物理等领域中得到广泛应用。
本文将介绍平面向量的解析几何表达与计算方法。
一、平面向量的定义平面向量是一个有大小和方向的箭头,可以用有序实数对表示。
设P、Q为平面上两点,以P为起点,连接P和Q的线段所对应的向量叫做平面向量,记作→PQ。
二、平面向量的表示平面向量可以通过坐标表示或矩阵表示。
1. 坐标表示设向量→AB的起点A的坐标为(x1, y1),终点B的坐标为(x2, y2),则向量→AB的坐标表示为(Δx, Δy),其中Δx = x2 - x1,Δy = y2 - y1。
2. 矩阵表示将向量→AB表示为一个2行1列的矩阵,记作[Δx, Δy]T。
三、平面向量的计算平面向量的计算包括加法、减法、数量乘法和点乘。
1. 加法设平面向量→AB的坐标为(Δx1, Δy1),平面向量→CD的坐标为(Δx2, Δy2),则两个向量的和为(Δx1 + Δx2, Δy1 + Δy2)。
2. 减法设平面向量→AB的坐标为(Δx1, Δy1),平面向量→CD的坐标为(Δx2,Δy2),则两个向量的差为(Δx1 - Δx2, Δy1 - Δy2)。
3. 数量乘法设平面向量→AB的坐标为(Δx, Δy),实数k,则k乘以向量→AB的结果为(kΔx, kΔy)。
4. 点乘设平面向量→AB的坐标为(Δx1, Δy1),平面向量→CD的坐标为(Δx2, Δy2),两个向量的点乘为Δx1Δx2 + Δy1Δy2。
四、平面向量的模设平面向量→AB的坐标为(Δx, Δy),平面向量→CD的坐标为(Δx',Δy'),则向量→AB的模为√(Δx² + Δy²),向量→CD的模为√(Δx'² + Δy'²)。
五、平面向量的单位向量平面向量的单位向量是具有相同方向但长度为1的向量。
设平面向量→AB的坐标为(Δx, Δy),则向量→AB的单位向量为(Δx / √(Δx² +Δy²), Δy / √(Δx² + Δy²))。
高中数学经典解题技巧和方法平面向量
![高中数学经典解题技巧和方法平面向量](https://img.taocdn.com/s3/m/de4db59ada38376baf1fae81.png)
高中数学经典解题技巧:平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容,而且是这几年考试解答题的必选,无论是期中、期末还是会考、高考,都是高中数学的必考内容之一。
因此,马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法,希望能够帮助到高中的同学们,让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。
好了,下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。
首先,解答平面向量这方面的问题时,先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题,同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题:1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景。
(2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义。
(3)理解向量的几何意义。
2.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义。
(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义。
(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3.平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义。
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4.平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。
(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
5. 向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
好了,搞清楚平面向量的上述内容之后,下面我们就看下针对这方面内容的具体的解题技巧。
一、向量的有关概念及运算考情聚焦:1.向量的有关概念及运算,在近几年的高考中年年都会出现。
2.该类问题多数是单独命题,考查有关概念及其基本运算;有时作为一种数学工具,在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。
数学中的平面向量与解析几何
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数学中的平面向量与解析几何数学中的平面向量是解析几何的重要内容之一。
在解析几何中,平面向量被广泛应用于描述和研究空间中的各种几何问题。
本文将重点介绍平面向量的定义、性质以及与解析几何的关系。
一、平面向量的定义与性质平面向量是指在平面内的一个有大小和方向的矢量。
平面向量通常用有向线段表示,线段的长度表示向量的大小,线段的方向表示向量的方向。
平面向量常用于表示平面上的位移、速度、加速度等物理量。
平面向量有以下几个重要性质:1. 平面向量的相等性:两个平面向量相等,当且仅当它们的大小相等且方向相同。
2. 平面向量的加法:平面向量的加法满足平行四边形法则,即将两个向量的起点连接起来,以它们的和作为连线的对角线,那么这个对角线的起点就是两个向量的起点的和。
3. 平面向量的数乘:平面向量与一个实数相乘,等于将这个实数乘以向量的大小,同时保持向量的方向不变。
二、平面向量的坐标表示与解析几何的关系在解析几何中,平面向量可以用坐标表示。
通常选取平面直角坐标系的两个单位向量i和j为基底,平面上的任意向量A可以表示为A = x * i + y * j,其中x和y分别为向量在i和j方向上的投影长度。
平面向量的坐标表示使得解析几何可以通过代数方法进行计算和推导。
例如,通过平面向量的坐标表示,可以方便地计算向量的模长、夹角、共线关系等几何性质。
三、平面向量在解析几何中的应用平面向量在解析几何中有广泛的应用,以下列举几个常见的例子:1. 平面向量的数量积:平面向量的数量积是定义在平面向量上的二元运算,通过数量积可以计算向量的夹角、判断向量的垂直、平行关系等。
2. 平面向量的向量积:平面向量的向量积是定义在平面向量上的二元运算,通过向量积可以计算向量的面积、判断向量的共面关系等。
3. 平面向量的投影:平面向量的投影是指将一个向量在另一个向量上的投影长度,通过投影可以计算向量的分解、分解系数等。
通过平面向量的应用,解析几何可以解决许多几何问题,例如直线与曲线的位置关系、平面与平面的交线方程、曲线的切线与法线等。
数学期末平面向量与解析几何
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数学期末平面向量与解析几何在数学学科中,平面向量与解析几何是高中数学中非常重要的内容。
平面向量用来描述平面上的物理量,解析几何则是用坐标表示几何图形,二者有着密切的联系。
本文将围绕着这两个主题展开论述,以帮助读者更好地理解与掌握平面向量与解析几何。
一、平面向量的定义与性质平面向量是指在平面内有大小和方向的量。
它由一个有向线段表示,长度表示大小,箭头方向表示方向。
平面向量的定义涉及到向量的加法、减法和数量乘法运算。
其中,向量的加法满足交换律和结合律,向量与标量的乘法满足分配律。
在平面向量的运算中,有一些重要的性质需要掌握。
首先是数量积与向量积的定义及性质。
数量积(又称点积)定义为两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
向量积(又称叉积)的模为两个向量的模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积,方向垂直于所组成的平面。
其次是平面向量的共线与垂直判定方法。
如果两个向量的数量积为零,则它们共线;如果两个向量的向量积为零,则它们垂直。
二、平面向量的应用平面向量在几何图形的研究中有许多应用。
其中,向量的模可用来计算线段的长度。
向量的加法可用来求解平面中的平移问题。
向量的减法可用来求解线段的连接问题。
向量的数量积可用来判定两条线段的夹角及线段的垂直关系。
向量的向量积可用来计算平行四边形的面积、判定三角形的形状及方向等。
除了几何图形外,平面向量还在力学问题中有广泛应用。
例如,平面向量可以表示物体的位移、速度和加速度等物理量。
利用平面向量的运算性质,可以进行简化的计算,提高问题求解的效率。
三、解析几何的基本概念解析几何是利用代数方法研究几何问题的一个分支学科。
它的基本思想是利用坐标系将几何图形的问题转化为代数方程的问题。
在解析几何中,常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
在直角坐标系中,通过选取两个相互垂直的坐标轴,可以表示平面上的任意一点。
解析几何通过坐标表示点、直线、曲线等几何图形,并利用代数方程来研究它们之间的关系。
巧用向量法解三类解析几何题
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解题宝典平面向量具有代数与几何双重特征.有些解析几何问题采用常规方法去解,往往会因为计算过于繁琐,导致无功而返,此时不妨改变思路,从向量角度去思考,则会大大减少计算量.那么如何巧妙运用向量法解答解析几何问题呢?下面一起来探讨.一、夹角范围问题由夹角,我们可联想到向量的夹角与向量的夹角公式:若a =()x1,y1、b =()x2,y2是两个不共线的非零向量,则cos a ,b =a ∙b|a |∙|b |.对于解析几何中的夹角问题,我们可用向量将问题中所涉及的点、线段表示出来,求得夹角两边的直线或线段的方向向量,便可根据向量的夹角公式进行求解.例1.已知椭圆x29+y24=1的左右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上的一个动点,若∠F1PF2是钝角,则点P横坐标的取值范围为_____.解:由椭圆的方程可知F1()-5,0、F2()5,0,设P()3cosθ,2sinθ,因为∠F1PF2为钝角,所以PF1∙ PF2=(-5-3cosθ,-2sinθ)∙(5-3cosθ,-2sinθ)=9cos2θ-5+4sin2θ=5cos2θ-1<0,解不等式得cosθ,故点P横坐标的取值范围为.在根据向量的夹角公式求夹角时,需重点关注角的取值范围.由向量的夹角公式可知:(1)若a ∙b >0,则θ为锐角;(2)若a ∙b =0,则θ为直角;(3)若a ∙b <0,则θ为钝角.二、共线问题在解答解析几何问题时,我们经常会遇到三点共线问题,此时可用向量表示出各个点、直线,根据向量的共线定理:向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b =λa ,将三点中的任意两点用向量表示出来,使其二者成倍数关系,便可证明三点共线.例2.点F为抛物线y2=2px的焦点,过F的直线与抛物线相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点,从点Q出发作抛物线的准线的垂线,点M为垂足.设原点为O,求证:(1)y1y2=-p2;(2)M、O、P三点共线.解:(1)略;(2)设Mæèçöø÷-p2,y2,∴ OP=()x1,y1, OM=æèçöø÷-p2,y2,∵x1y2-æèçöø÷-p2y1=y122p y2+p2y1=y1y22p y1+p2y1=-p2y1+p2y1=0,∴ OP与 OM是共线向量,即M、O、P三点共线.本题如果用斜率公式来证明未尝不可,但运算量较大,而运用向量的共线定理来证明三点共线,则相当简单,这足以显示出向量法的优越性.三、轨迹问题轨迹问题的命题形式较多,但解题的关键在于求动点的轨迹方程.我们可设出动点的坐标,将题目中所涉及的线段、直线用向量表示出来,通过向量运算,便可快速求得轨迹方程.例3.已知A()a,0()a>0为定点,点B为定直线l:x=-1上的一个动点(如图).若∠BOA的角平分线交直线AB于点C,求出C点的轨迹方程.解:设B()-1,t,则AB=(-1-a,t),所以直线AB的方程为:x-a-1-a=y-0t,①因为OA=()a,0,OB=()-1,t,则直线OC的方向向量为:v =OA|| OA+ OB||OB=()1,0+æèççöø÷÷-11+t2,t1+t2=èöø÷÷1+t-1+t2,t1+t2故直线OC=y t②,由①②得:(1-a)x2-2=0(0≤x<a).我们通过向量的坐标运算,直接而又快捷地求得轨迹问题.其实平面向量的坐标与解析几何中的坐标是一致的,这便为运用向量法解题创造了便利.运用向量法解题,能有效地简化解答解析几何问题过程中的运算过程.(作者单位:浙江省宁波市姜山中学)43。
平面向量在解析几何中的应用与求解策略
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平面向量在解析几何中的应用与求解策略一、利用向量,可以很方便地解决有关平行、垂直、距离等相关问题,其基本理论是:(一)、直线的方向向量:直线L 的方向向量为→m =(a,b),则该直线的斜率为k= ba(二)、利用向量处理平行问题:对非零向量→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2),→a ∥→b 的充要条件是:有且仅有一个实数λ,使得→a = λ→b ;亦即a ∥b (b≠)的充要条件是⇔x 1y 2-x 2y 1=0;(三)、利用向量求角:设→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2), 则两向量→a 、→b 的夹角:cos θ = cos<→a ,→b > = →a 〃→b|→a ||→b=x 1x 2+y 1y 2x 12+y 12 〃x 22+y 22⇒ 其特殊情况即为垂直问题:对非零向量→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2),→a ⊥→b 的充要条件是→a 〃→b =0⇔x 1x 2- y 1y 2=0;(四)、利用向量求距离:设→a =(x,y),则有|→a |=→a 2 =x2+y 2;若),,(),,(2211y x B y x A 则|→二、典例分析:★【题1】、点P (-3,1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P且方向为→a =(2,-5)的光线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为:( ) (A (B )13 (C)2(D )12●[解析]:如图,过点P (-3,1)的方向向量→a =(2,-5);所以)3(251;,25+-=--=x y l K PQ PQ 则;即1325;-=+y x L PQ ;联立:)2,59(21325--⎩⎨⎧-=-=+Q y y x 得, 由光线反射的对称性知:251=QF K所以)59(252;1+=+x y L QF ,即0525:1=+-y x L Q F ;令y=0,得F 1(-1,0);综上所述得: c=1,3,32==a c a 则;所以椭圆的离心率.3331===a c e 故选A 。
巧用平面向量解解析几何问题
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巧用平面向量解析几何问题一:课堂教学设计:在高中数学新课程教材中,学生学习平面向量在前,学习解析几何在后,而且教材中二者知识整合的不多,很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,不会应用平面向量去解决解析几何问题。
用向量法解决解析几何问题思路清晰,过程简洁,有意想不到的神奇效果。
著名教育家布鲁纳说过:学习的最好刺激是对所学材料的兴趣,简单的重复将会引起学生大脑疲劳,学习兴趣衰退。
这充分揭示方法求变的重要性,如果我们能重视向量的教学,必然能引导学生拓展思路,减轻负担。
所以本节课就这一方面做一归纳。
二:教学目标:利用平面向量的加法,减法,数量积的几何意义解决解析几何问题。
三:教学方法:启发式教学四:重点难点:把解析几何问题转化为向量问题。
五:例题解析例1、椭圆14922=+y x 的焦点为F ,1F 2,点P 为其上的动点,当∠F 1P F 2为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 。
解:F 1(-5,0)F 2(5,0),设P (3cos θ,2sin θ)21PF F ∠ 为钝角∴ 1253cos ,2sin )(53cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-( =9cos2θ-5+4sin 2θ=5 cos 2θ-1<0 解得:55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是(553,553-) 点评:解决与角有关的一类问题,总可以从数量积入手。
本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值,通过坐标运算列出不等式,简洁明了。
例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0),M 是圆1)1(22=-+y x 上的一动点, MB MA +的最大值和最小值;②求22MB MA +的最大值和最小值分析:因为O 为AB 的中点,所以2=+OM 的最值。
解:①2=+MO MB MA =+如图 当M 运动到1M MO 有最小值1当M 运动到2M MO 有最大值3MB MA +的最小值为2,最大值为6 ②MB MA MB MA MB MA MB MA ⋅-+=+=+2)(222 )()(2)2(2-⋅--= )(2224OM MO ++-⋅-=2+=OMOM 的最小值为1OM 最大值为9 ∴22MB MA +的最小值为4,最大值为20点评:有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现,但如果运用向量知识来解决,也会显得自然、简便,而且易入手。
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第18讲 平面向量与解析几何在高中数学新课程教材中,学生学习平面向量在前,学习解析几何在后,而且教材中二者知识整合的不多,很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,不会应用平面向量去解决解析几何问题。
用向量法解决解析几何问题思路清晰,过程简洁,有意想不到的神奇效果。
著名教育家布鲁纳说过:学习的最好刺激是对所学材料的兴趣,简单的重复将会引起学生大脑疲劳,学习兴趣衰退。
这充分揭示方法求变的重要性,如果我们能重视向量的教学,必然能引导学生拓展思路,减轻负担。
一、知识整合平面向量是高中数学的新增内容,也是新高考的一个亮点。
向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,它具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形与一体,能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合,形成知识交汇点。
而在高中数学体系中,解析几何占有着很重要的地位,有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂,不妨运用向量作形与数的转化,则会大大简化过程。
二、例题解析例1、(2000年全国高考题)椭圆14922=+y x 的焦点为F ,1F 2,点P 为其上的动点,当∠F 1P F 2为钝角时,点P 横坐标的取值范围是___。
解:F 1(-5,0)F 2(5,0),设P (3cos θ,2sin θ)21PF F ∠Θ为钝角∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u u r ( =9cos2θ-5+4sin 2θ=5 cos 2θ-1<0 解得:55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是(553,553-) 点评:解决与角有关的一类问题,总可以从数量积入手。
本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值,通过坐标运算列出不等式,简洁明了。
例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0),P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点,求22PA PB +的最大值和最小值。
分析:因为O 为AB 的中点,所以2,PA PB PO +=u u u r u u u r u u u u r 故可利用向量把问题转化为求向量OP u u u r 的最值。
解:设已知圆的圆心为C ,由已知可得:{1,0},{1,0}OA OB =-=u u u r u u u r0,1OA OB OA OB ∴+=⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r 又由中点公式得2PA PB PO +=u u u r u u u r u u u r 所以222()2PA PB PA PB PA PB +=+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=2(2)2()()PO OA OP OB OP --⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =224222(PO OA OB OP OP -⋅-+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u =222OP +u u u r又因为{3,4}OC =u u u r 点P 在圆(x-3)2+(y-4)2=4上所以5,2,OC CP ==u u u r u u u r 且OP OC CP =+u u u r u u u r u u u r 所以OC CP OP OC CP OC CP -≤=+≤+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r即37OP ≤≤u u u r 故2222022100PA PB OP ≤+=+≤u u u r u u u r u u u r所以22PA PB +的最大值为100,最小值为20。
点评:有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现,但如果运用向量知识来解决,也会显得自然、简便,而且易入手。
例3、(2003年天津高考题)O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P满足||||(AC AB OA OP ++=λ,[)∞∈+,0λ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) (A )外心 (B )内心 (C )重心 (D )垂心分析:因为||||AB AC AB AC AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 、分别是与、同向的单位向量,由向量加法的平行四边形则知||||AB AC AB AC +u u u r u u u r u u u r u u u r 是与∠ABC 的角平分线(射线)同向的一个向量,又()AB AC OP OA AP AB ACλ-==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,知P 点的轨迹是∠ABC 的角平分线,从而点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心。
反思:根据本题的结论,我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤;(1) 由顶点坐标(含线段端点)或直线方程求得角两边的方向向量12v v u r u u r 、;(2) 求出角平分线的方向向量1212v v v v v =+u r u u r r u r u u r(3) 由点斜式或点向式得出角平分线方程。
{直线的点向式方程:过P (00,x y ),其方向向量为(,)v a b r ,其方程为00x x y y a b --=} 例4、(2003年天津)已知常数0>a ,向量(0,)(1,0)c a ==r r ,i ,经过原点O 以c i λ+r r 为方向向量的直线与经过定点),0(a A 以2i c λ-r r 为方向向量的直线相交于点P ,其中R ∈λ.试问:是否存在两个定点F E 、,使得PE PF +u u u r u u u r 为定值,若存在,求出F E 、的坐标;若不存在,说明理由.(本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法,椭圆的方程和性质,利用方程判定曲线的性质,曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.)解:根据题设条件,首先求出点P 坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点P 到两定点距离的和为定值.∵(0,)(1,0)c a ==r r ,i , ∴c i λ+r r =(λ,a ),2i c λ-r r =(1,-2λa ).因此,直线OP 和AP 的方程分别为 ax y =λ 和 ax a y λ2-=-.消去参数λ,得点),(y x P 的坐标满足方程222)(x a a y y -=-.整理得 .1)2()2(81222=-+a a y x ……① 因为,0>a 所以得:(i )当22=a 时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点E 和F ; (ii )当220<<a 时,方程①表示椭圆,焦点)2,2121(2a a E -和)2,2121(2a a F --为合乎题意的两个定点;(iii )当22>a 时,方程①也表示椭圆,焦点))21(21,0(2-+a a E 和))21(21,0(2--a a F 为合乎题意的两个定点.点评:本题以平面向量为载体,考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。
去掉平面向量的背景,我们不难看到,本题即为下题:在△OAP 中,O (0,0)、A (0,a )为两个定点,另两边OP 与AP 的斜率分别是(0),2aa λλλ≠-,求P 的轨迹。
而课本上有一道习题(数学第二册(上)第96页练习题4):三角形ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别是(-6,0)、(6,0),边AC 、BC 所在直线的斜率之积等于49-,求顶点C 的轨迹方程。
通过本例可见高考题目与课本的密切关系。
例5.(2004年天津卷理22)椭圆的中心是原点O ,它的短轴长为22,相应于焦点F (c ,0)(0>c )的准线l 与x 轴相交于点A ,|OF|=2|FA|,过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点.(1)求椭圆的方程及离心率;(2)若0=⋅,求直线PQ 的方程;(3)设AQ AP λ=(1>λ),过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ,证明FQ FM λ-=.分析:本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,平面向量的计算,曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.(1)解:由题意,可设椭圆的方程为)2(12222>=+a y a x .由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c a c c a 解得2,6==c a 所以椭圆的方程为12622=+y x ,离心率36=e .(2)解:由(1)可得A (3,0).设直线PQ 的方程为)3(-=x k y .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y y x 得062718)13(2222=-+-+k x k x k依题意0)32(122>-=∆k ,得3636<<-k .设),(),,(2211y x Q y x P ,则13182221+=+k k x x , ① 136272221+-=k k x x .②由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y . ③ ∵0=⋅,∴02121=+y y x x . ④由①②③④得152=k ,从而)36,36(55-∈±=k .所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x(2)证明:),3(),,3(2211y x y x -=-=.由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ 注意1>λ,解得λλ2152-=x 因),(),0,2(11y x M F -,故),1)3((),2(1211y x y x -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--=. 而),21(),2(222y y x FQ λλ-=-=,所以FQ FM λ-=. 三、总结提炼由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,使向量与解析几何之间有着密切联系,而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查,这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中,应抓住时机,有效地渗透向量有关知识,树立应用向量的意识。