2017上海高考数学函数的应用

解析 (1)函数 y＝|f(x)|的图象如图.y＝ax 为过原点的一条直线，
当 a＞0 时，与 y＝|f(x)|在 y 轴右侧总有交点，不合题意；当 a＝0
时成立；当 a＜0 时，找与 y＝|－x2＋2x|(x≤0)相切的情况，
即 y′＝2x－2，切线方程为 y＝(2x0－2)(x－x0)，由分析可知 x0＝0，所以 a＝－2，
增异减”的原则；④导数法.
(2)奇偶性：①若 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(－x)；②若 f(x)是奇函数，0 在其定
义域内，则 f(0)＝0；③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函
数在关于原点对称的区间内有相反的单调性；
(3)周期性：常见结论有①若 y＝f(x)对 x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或 f(x－2a)＝f(x)(a
＞0)恒成立，则 y＝f(x)是周期为 2a 的周期函数；②若 y＝f(x)是偶函数，其图象
又关于直线 x＝a 对称，则 f(x)是周期为 2|a|的周期函数；③若 y＝f(x)是奇函数，
其图象又关于直线 x＝a 对称，则 f(x)是周期为 4|a|的周期函数；④若 f(x＋a)＝
或 f（x＋a）＝ 1
－|ln(x＋1)|＝
2
sin 2x－|ln(x＋1)|，令 f(x)＝0，得 sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数
y＝sin 2x 与函数 y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示.
观察图象可知，两函数图象有 2 个交点，故函数 f(x)有 2 个零点.
答案 2
探究提高 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结
热点一 函数性质的应用 【例 1】 (1)已知定义在 R 上的函数 f(x)＝2|x－m|－1(m 为实数)为偶函数，记 a＝ f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则 a，b，c 的大小关系为________(从小到大排 序). (2)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(－x)＝2－f(x)，若函数 y＝x＋1与 y＝f(x)图象的交点
所以 ln(x＋ a＋x2)＋ln(－x＋ a＋x2)＝0，
即 ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.
(2)因为 f(x)是周期为 2 的奇函数，
所以 f(1)＝f(－1)＝－f(1)，
即 f(1)＝0，
又
f
－5 2
＝f
－1 2
＝－f
1 2
＝－41＝2，
2
－5 从而 f 2 ＋f(1)＝－2.
答案 (1)1 (2)－2
(2)由题设得1(f(x)＋f(－x))＝1，点(x，f(x))与点(－x，f(－x))关于点(0，1)对称， 2
则 y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称.
又 y＝x＋1＝1＋1，x≠0 的图象也关于点(0，1)对称.
x
x
则交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对关于点(0，1)对称.
综上，a∈[－2，0].
(2)设 g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝ax－a，由题知存在唯一的整
数 x0，使得 g(x0)＜ax0－a，
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－∞，－1
－1，＋∞
因为 g′(x)＝ex(2x＋1)，可知 g(x)在
2 上单调递减，在 2
上单
h（0）＞g（0）， 调递增，作出 g(x)与 h(x)的大致图象如图所示，故
由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1 的实根个数为 4. 答案 4
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考点整合
1.函数的性质
(1)单调性
(ⅰ)用来比较大小，求函数最值，解不等式和证明方程根的唯一性.
(ⅱ)常见判定方法：①定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常
用的方法有：通分、配方、因式分解；②图象法；③复合函数的单调性遵循“同
x 为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则错误!(xi＋yi)＝________.
解析 (1)由 f(x)＝2|x－m|－1 是偶函数可知 m＝0， 所以 f(x)＝2|x|－1. 所以 a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2， b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4， c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以 c<a<b.
(x)＞0，f(x)单调递增，当 x＞2 时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，则当 x＝2 时，f(x)
有极大值 f(2)＝e12.当－x－1＝e12时，x＝－1－e12. 结合图象可得当存在实数 b 使得 g(x)＝f(x)－b 恰有 3 个零点时，－1－e12＜a＜2.
(2)函数 y＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点，即方程 f(x)－g(x)＝0，
热点二 函数图象的应用
－x2＋2x，x≤0，
【例 2】 (1)已知函数 f(x)＝
若|f(x)|≥ax，则实数 a 的取值范围
ln（x＋1），x>0.
是________.
(2)设函数 f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中 a<1，若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0，
则实数 a 的取值范围是________.
(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数
形结合，利用两个函数图象的交点求解.
5.应用函数模型解决实际问题的一般程序
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读题
建模
求解
反馈
⇒
⇒
⇒
（文字语言） （数学语言） （数学应用） （检验作答）
与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉 及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相 关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.
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∴f(5a)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－1＋3＝－2. 55
答案 －2 5
| | 3.已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x∈[0，3)时，f(x)＝
x2－2x＋1 2
.
若函数 y＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范
f（x）－f（－x）<0，可得 f(x)－f(－x)＝2f(x)<0，结合图象可知(0，2)符合；当 x
x<0 时，由f（x）－f（－x）<0，可得 f(x)－f(－x)＝2f(x)>0，结合图象可知(－2， x
0)符合.
答案 (－2，0)∪(0，2)
热点三 函数与方程问题
[微题型 1] 函数零点个数的求解
【训练 2】设奇函数 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且 f(2)＝0，则不等式
f（x）－f（－x）<0 的解集为________. x
解析 由奇函数的定义和 f(2)＝0 得出函数在(－∞，0)上也
为增函数.画出函数草图(如图)，可得在(－2，0)和(2，＋∞)
上 f(x)>0，在(－∞，－2)和(0，2)上 f(x)<0.当 x>0 时，由
为________.
2－|x|，x≤2，
(2)已知函数 f(x)＝
函数 g(x)＝b－f(2－x)，其中 b∈R，若函数
（x－2）2，x＞2，
y＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是________.
解析 (1)当 f(x)＝x－ex 1时，f′(x)＝2－ex x，由 f′(x)＝0 得 x＝2，且当 x＜2 时，f′
合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数
零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
[微题型 2] 由函数的零点(或方程的根)求参数
【例 3－2】 (1)设函数 f(x)＝ x－ex 1，x≥a， －x－1，x＜a，
g(x)＝f(x)－b.若存在实数 b，使得函数 g(x)恰有 3 个零点，则实数 a 的取值范围
【训练 1】 (1)若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则 a＝________.
(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0<x<1 时，f(x)＝4x，则
－5 f 2 ＋f(1)＝________.
解析 (1)f(x)为偶函数，则 ln(x＋ a＋x2)为奇函数，
π
【例 3－1】
(2016·南京、盐城模拟)函数 f(x)＝4cos2x·cos
－x 2 －2sin x－|ln(x
2
＋1)|的零点个数为________.
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解析
f(x)＝4cos2xsin
x－2sin
x－|ln(x＋1)|＝2sin
x·
2cos2x－1 2
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2017 上海高考数学函数的应用
高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)函数的概念和函数的基本性质是 B 级要求，是重要考点；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性 质都是考查热点，要求都是 B 级；(3)函数与方程是 B 级要求，但经常与二次函 数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；(4)函数模型及其应用 是考查热点，要求是 B 级；试题类型可能是填空题，也可能在解答题中与函数 性质、导数、不等式综合考查.
－f(x)
f（x） ，则 y＝f(x)是周期为 2|a|的周期函数.
2.函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是
描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.
(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.
3.求函数值域有以下几种常用方法：
|x2－4|－2，x＞1，
数为________.
解析
－ln x，0＜x≤1， 令 h(x)＝f(x)＋g(x)，则 h(x)＝ －x2＋ln x＋2，1＜x＜2，
x2＋ln x－6，x≥2，
当 1＜x＜2 时，h′(x)＝－2x＋1＝1－2x2＜0，故当 1＜x＜2 时 h(x)单调递减，在 xx
同一坐标系中画出 y＝|h(x)|和 y＝1 的图象如图所示.
(1)直接法；(2)配方法；(3)基本不等式法；(4)单调性法；(5)求导法；(6)分离变量
法.除了以上方法外，还有数形结合法、判别式法等.
4.函数的零点问题
(1)函数 F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程 f(x)＝g(x)的根，即函数 y＝f(x)的图象与
函数 y＝g(x)的图象交点的横坐标.
围是________.
解析 作出函数 wk.baidu.com＝f(x)在[－3，4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)
＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝1，观察图象可得 0＜a＜1.
2
2
答案
0，1 2
0，0＜x≤1，
4.已知函数 f(x)＝|ln x|，g(x)＝
则方程|f(x)＋g(x)|＝1 实根的个
其中 a∈R.若 f 2 ＝f 2 ，则 f(5a)的值是________.
5 ，0≤x＜1，
解析
由已知
f
－5 2
＝f
－5＋2 2
＝f
－1 2
＝－1＋a，
2
| | 9 9－4 1
f 2 ＝f 2 ＝f 2 ＝
2－1 52
＝1.
10
－5 9 又∵f 2 ＝f 2 ，
则－1＋a＝ 1 ，a＝3， 2 10 5
真题感悟
1.函数 y＝ 3－2x－x2的定义域是________.
解析 要使函数有意义，需且仅需 3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1.故函数定义域
为[－3，1].
答案 [－3，1]
2.设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝
x＋a，－1≤x＜0，
－5 9
| | 2－x
则错误!
xi
yi
＝错误!
xi
+错误!
yi
=0＋m×2＝m. 2
答案 (1)c＜a＜b (2)m
探究提高 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析
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式的范围内的函数值.(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中心
(对称轴).
h（－1）≤g（－1），
a＜1， 即 －2a≤－3e，所以23e≤a<1.
答案
(1)[－2，0]
(2)
3 ，1 2e
探究提高 (1)涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图
象求参数范围.
(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、
不等式的求解常与图象数形结合研究.