垂直平分线的判定

解：∵ED是线段AB的垂直平分线
∴BD=AD
A
∴ △BCD的周长=BD+DC+BC
=AD+DC+BC
B
E
D
12
C
变式：如图，若AC=12，△BCD的周长=25， AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求BC。
=AC+BC =12+7 =19 所以△BCD的周长为19。 7
4.在△ABC中,DE为BC 的垂直平分 线,DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于 点E,EF⊥AB于F点, A
答：（1）过C点的直线不一定是线段 AB的垂直平分线， 反例：如图，CA=CB，但直线CD不是 线段AB的垂直平分线. C （2）过C和D两点的直线是 线段AB的垂直平分线。因 为点C、点D到线段AB的两 端点距离相等，它们一定都 在线段AB的垂直平分线上， 由“两点确定一条直线”可 A D B 知过C和D两点的直线必是 线段AB的垂直平分线
A
B
D
C
A
D E • 答：相等，理由如下： 在DC上截取DE使DE＝DB，连接AE ∵AD⊥BE且DB＝DE ∴B、E关于AD对称 ∴△ABD与△AED关于直线AD对称 ∴ △ABD ≌ △AED ∴AB＝AE，∠AED＝ ∠B 又∵ ∠B＝2 ∠C ∴ ∠AED＝ 2 ∠C 而∠AED＝ ∠C ＋ ∠CAE ∴ ∠CAE ＝ ∠ C ∴AE＝CE ∴AB＝CE 故AB＋BD＝DE＋EC 即：AB＋BD＝CD
结论： 三角形三边垂直 平分线交于一点，这一 点到三角形三个顶点的 距离相等。
生活中的数学
2.东城新区政府为了方便居 A
民的生活，计划在三个住宅小 区A、B、C之间修建一个购物中 心，试问，该购物中心应建于 何处，才能使得它到三个小区 的距离相等。
·
B
C
小结
拓展
回味无穷
M
P
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点距离相等. 如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点 (已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点距离相等). 逆定理 到一条线段两个端点距离 A 相等的点,在这条线段的垂直平分 线上. 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条 线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上).
生活中的数学
A
在某高速公路L的同侧， 有两个工厂A、B，为了便于两 厂的工人看病，市政府计划在 公路边上修建一所医院，使得 两个工厂的工人都没意见，问 医院的院址应选在何处？你的 方案是什么?
B
L
高 速 公 路
基本作图：
作线段的垂直平分线。
已知：线段AB，
A
C
B
求作：线段AB的垂直平分线。
作法： (1)分别以点A、B为圆心，以 1 大于——AB的长为半径作弧， 2 两弧交于C、D两点；
B
C
线段的垂直平分线
一、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。 二、判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
（第 3 题）
2． 如图，已知AE＝CE， BD⊥AC．求证： AB ＋CD＝AD＋BC．
证明：∵ AE＝CE， BD⊥AC
∴BA=BC
DA=DC(线段的垂直平分线 上的点到这条线段的两个端 点的距离相等) ∴BA+DA=BC+DC
（第 2 题）
3：如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分 线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。
D
2、在△ABC,PM,QN分别垂直 平分AB,AC，则: (1)若BC=10cm则△APQ的周长 10 =_____cm; (2)若∠BAC=100°则 200 ∠PAQ=______.
随堂练习
A D E C
B
E
3、在△ABC中， AB=AC，AB的中垂线 与AC所在的直线相交 所得的锐角为50°， 700或20 则∠B=______. 0
C
B
判断
（1）如图，CDAB于D，则AC＝BC。（ ）
C A
D
C
B
A
D
B
（2）如图，AD＝BD，则AC＝BC。（ ）
C
A
D
B
1. 已知线段AB （1）若CA=CB，问：过C点的直线是 不是线段AB的垂直平分线？若不是，请找出 反例.
（2）若CA=CB，DA=DB，问过C和D两点 的直线是不是线段AB的垂直平分线？为什么？
C N
B
如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分 线 ， 垂 足 为 E ， 并 交 BC 于 点 D ， 已 知 4cm AB=8cm,BD=5cm,那么EA=________, DA=____. 5cm DE=_______ 3cm
C D
A
E （1）
B
随堂练习
C E A B
1.在△ABC中，∠ACB=90°， AB=8cm，BC的垂直平分线DE 4cm 交AB于D点,则CD=____
N
从这个结果出发,你还能联想到什么?
驶向胜利 的彼岸
小结
拓展
回味无穷
A
M
P
线段垂直平分线性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距 N 离相等. 符号语言, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两 个端点距离相等). 线段垂直平分线判定定理 到一条线段两个端点距 离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 符号语言, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端 点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
又∵∠PCA+∠PCB=180° ∴∠PCA=∠PCB=∠90° 即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上
证法二：
证明：过P点做PM⊥AB于M
P
∵PM⊥AB
∴ ∠ PMA=∠PMB=90°
在RtΔPAC和RtΔPBC中， A AP = BP
PM = PM
M
B
∴ RtΔPAC ≌ RtΔPBC(HL) ∴ MA=MB(全等三角形的对应边相等） ∴ P点在线段AB的垂直平分线上
线段的垂直平分线的判定
回顾
思考
线段的垂直平分线
我们曾经利用折纸的方法得到: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 你能证明这一结论吗? 已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点. M 求证:PA=PB. P
分析:(1)要证明PA=PB,
就需要证明PA,PB所在的 △APC≌△BPC， 而△APC≌△BPC的条件由已知 故结论可证.
M
E O ·
A
B
F
N
这点O是三角 形的 外 心， 它到三角形三 个顶点的距离 C 相等
例题：
有A、B、C三个村庄，现准备要建一所学校， 要求学校到三个村庄的距离相等，请你确 定学校的位置。
A
B
C
如图，在△ABC中，∠C=90 ，AB的中垂线DE交 BC于D，交AB于E，连接AD，若AD平分∠BAC，找出图 中相等的线段，并说说你的理由。 A 你能找到图中相等的角吗? E 解：∵AB的中垂线DE交BC于D， 交AB于E， B C D ∴EB=EA ， DB=DA ； ∵AD平分∠BAC ， DC⊥AC， DE⊥AB， ∴DC=DE ∴AC=AE ∴∠DAB=∠ABC=∠DAC，
A
P C B
已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分 线交 于P. 求证：PA=PB=PC; A
证明： ∵点P在线段AB的垂直平分线MN上， ∴PA=PB（ 同理 PB=PC. ）.
B N N’ P C M
M’
∴PA=PB=PC.
开启智慧
已知:如图,在ΔABC中, AB、BC的中垂 线交于点O，那么点O在AC的中垂线上吗？ 为什么？
EG⊥AC于G点
求证:BF=CG
F B
D
C G
E
1． 如图，已知点A、点B以及直线l，在直线l上求 作一点P，使PA＝PB．
提示：连结AB,作 AB的垂直平分线， 交直线l于P,点P就是 所求的点。
(第 1 题)
2.如图,已知:AOB,点M、N. 求作:一点P,使点P到AOB两边的 距离相等,并且满足PM=PN.
www.czsx.com.cn
A
M N
C
例题：
如下图△ABC中，AC=16cm， DE为AB的垂直平分线， △BCE的周长为26cm，求BC D 的长。
B
A
E
C
练习：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90，DE是AB 的垂直平分线，连接AE，∠CAE：∠DAE= 1：2 ，求∠B的度数。
E
C
B
D
A
如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平 分线交于点P。 （1）求证：PA=PB=PC。 （2）点P是否也在边AC的垂直平分线 上呢？由此你能得出什么结论？
思 考 分 析
想一想:若作出∠P的角平分线,结论是 否也可以得证?
已知：线段AB，点P是平面内一点 且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上．
证法一：
A
P
C
B
取AB的中点C，连接P,C
∵△APC与△BPC中
∴∠PCA=∠PCB(全等三角 形的对应角相等)．
∵ AP=BP
PC=PC AC=CB ∴△APC≌△BPC(SSS)
P
C N
B
老师提示:这个结论ຫໍສະໝຸດ Baidu经常用来
证明两条线段相等的根据之一.
进步的标志
′
你能写出“定理 线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点距离相等” 的逆命题吗? 逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上. P 它是真命题吗? 如果是.请你证明它. 已知:如图,PA=PB. B 求证:点P在AB的垂直平分线上. A 分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线 上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB 的中点,),然后证明另一个结论正确.
（2）作直线CD。 CD即为所求。
D
结论：对于轴对称图形，
只要找到任意一组对应 点，作出对应点所连线 段的垂直平分线，就得 到此图形的对称轴。
试一试P27 2
梦想成真
1.已知直线和上一点P,利用尺规作的垂线,使它经过 点P.
P
●
l
例：如图所示，AD为 △ABC 的高， ∠B＝ 2∠C ，借助于轴对称的性质想一想： CD与AB＋BD相等吗？请说明你的理由。
A
.
O
M
.P
.
N
点P为所求 作的点
B
1 、已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直 平分线交于P. (1)求证：PA=PB=PC;（2）点P是否在AC的垂 A 直平分线 M
分析：
M’ P
点P在线段AB的 垂直平分线上 PA=PB
点P在线段BC的 垂直平分线上
B
C
N N’
PB=PC
PA=PB=PC
2.如图，AB=AC,MB=MC上, 求证： 直线AM是线段BC的 垂直平分线上．
A
M
B
C
1． 如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD ＋AD＝BC．求证： 点D在AC的垂直平分线上．
证明：∵ BD＋AD＝BC
∴AD=BC-BD=CD
∴点D在AC的垂直平分 线上(到一条线段两个端 点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上)
A N
C
B
AC=BC,MN⊥AB,可推知其能满足公理（SAS）.
老师期望:你能写出规范的证明过程.
开启
智慧
几何的三种语言
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 距离相等. M 如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任 意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上A 的点到这条线段两个端点距离 相等).
B
6 7 8 9
∟
A
E N
独立作业
3
习题1.4
3.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线 交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC 的长.
A
D
E B
老师期望: 做完题目后,一定要“ ”到点东 西,纳入到自己的认知结构中去.
C
悟
驶向胜利 的彼岸
拓展：
• 1.如图所示，在 △ABC中， AB=AC＝32， MN是AB的垂直 平分线，且有 BC=21，求 B △BCN的周长。
C
A D B
如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平 分线交AC于D，如果BC=10cm，那么△BCD的周 长是_______cm. 26
A
E D
B
C
(2)
如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如果 AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC的周长是（ 9 ）cm。
M
D
C
A. B. C. D.
我能行
1
逆定理
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上. 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条 线段两个端点距离相等的点,在这条 A 线段的垂直平分线上).
M P
C
B
老师提示:这个结论是经常用来
证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一.