第四章 理想流体运动的基本特性

柯西—拉格朗日定理：如果理想流体作无旋 运动，且质量力有势，则流场必然是正压 的，并且在整个流场中有柯西—拉格朗日积 分成立。
将方程投影至图中M 点处曲线L的切线方向
∂ ⎛ v 2 ⎞ 1 ∂p ∂U ⎜ 2 ⎟ + ρ ∂l + ∂l = (V × Ω )l ∂l ⎝ ⎠ ⎤ ∂ ⎡ v2 ⎢ 2 +℘( p,L ) + U ⎥ = (V × Ω )l ∂l ⎣ ⎦
若L是流线或涡线，有 (V × Ω )l = 0 ⎤ ∂ ⎡ v2 ∴ ⎢ +℘( p,L ) + U ⎥ = 0 ∂l ⎣ 2 ⎦ v2 ∴ +℘( p,L ) + U = i0 ( L ) 2 其中℘与i0 和L有关
i0 ⇒ T0
i0 + ( sL − s1 ) ⇒ ρ0或P0
滞止状态 （1）理想可压缩流体从封闭的大容 器经小空口坐定常、可逆绝热的出 流问题 V = 0 容器中远离孔口处
（2）理想可压缩流体绕翼型的流动中，表面 形成驻点 V = 0,p=p0 , ρ = ρ0 ,T = T0 （3）想象等熵过程，是某点位滞止点 2、最大速度 可逆绝热膨胀到零压力和零密度的点为特征 状态。 低温热源，绝对零度，此时 V最大
p1
1 2 p2 + gz1 = v + + gz2 ρ ρ 2 2 ( p1 − p2 )
z1 ≈ z2
∴v =
ρ
2hg ( ρ1 − ρ )
p1 − p2 = hg ( ρ1 − ρ ) v= 若ρ
ρ ρ1
v= 2hg ρ1
ρ
（四）动压力和流体静压力 不可压重力场同一流线上任意两点 1 2 1 p + ρ v + ρ gz=pc + ρ vc 2 + ρ gzc = const 2 2 1 2 c为参考点，p为静压， ρ v 为动压 2 1 2⎞ ⎛1 2 p=pc + ⎜ ρ vc − ρ v ⎟ + ρ g ( zc − z ) 2 ⎝2 ⎠ pc + ρ g ( zc − z ) 类似于静止流体中的压力分布 1 （ ρ vc 2 − v 2）任意点与参考点上动压 2 若一物体安置在流体中，物面相邻的流体在同一条流线上
⎛V 2 ⎞ ∂V 1 + ∇ ⎜ ⎟ + Ω × V = f − ∇P ∂t ρ ⎝ 2 ⎠
（1）运动无旋 （2）流场正压
Ω = 0 或 ∇ × V = 0 V = ∇ϕ
P = P ( ρ ) 在整个流场 dP ℘= ∫ ρ ( P) 即 1
ρ
∇P=∇℘
⎛ ∂ϕ V 2 ⎞ ∇⎜ + +℘⎟ = f 2 ⎝ ∂t ⎠ 运动无旋和流场正压 ⇒ 质量力有势 无旋且质量力有势 ⇒ 流场正压 ⎛ ∂ϕ V 2 ⎞ ∇⎜ + +℘+ U ⎟ = 0 2 ⎝ ∂t ⎠ ∂ϕ V 2 + +℘+ U=f ( t ) 2 ∂t f ( t ) 对整个流场都适用
ρ
=℘
v2 忽略U, + i = const = i0 2
i0 对于确定流线为常数，并非全场i0 对于完全气体 v2 γ p v2 + = + C pT=i0 2 γ −1 ρ 2
即沿着流线，随着速度增加，压力、密度、温度和焓 都将下降。 1、滞止状态v=0 沿着流线，设想将流动等熵的减速到静止状态 i0 = C pT0 = i0 棗 p0 棗
1/ r 1 1 r p1 / r 1 ⎛ p ⎞ r −1 = ρ1 ⎜ ⎟ p r + co nst r − 1 ρ1 ρ ⎝ p1 ⎠ r p ℘( p,L ) = + co nst r −1 ρ 1 r
1 r
( 代入* )
二、沿着流线和涡线成立的伯努利积分
⎛ v2 ⎞ 1 ∂V 兰姆方程： + ∇ ⎜ ⎟ − V × Ω = f − ∇p ρ ∂t ⎝ 2⎠ ∂ 定常 = 0 质量力有势f = −∇U ∂t ⎛ v2 ⎞ 1 ∇ ⎜ ⎟ + ∇p + ∇U = V × Ω ⎝2⎠ ρ
ρ
对任一流线或涡线上的伯努利积分 v2 p + +gz=const 2 ρ
五、典型例题 （一）容器小孔流出 均匀流场 v 2 pa p1 + gh + = 2 ρ ρ v= 2 ( p1 − pa )
ρ
+ 2gh —托里拆利
若p1 = pa
v= 2gh
（二）溢水道 理想不可压重力流体过一垂直墙 自由表面上流线方程 pa pa 1 2 + gz1 = + gz + v 2 ρ ρ 自由表面上z处流速 v= 2gh h=z1 -z2 （三）比托-普朗特管 1处为驻点v=0 p=p1 =p0总压或滞止压力 2处v2 = v p2=p 工况速度与压力 同一流线伯努利积分
1 r
⎛ p⎞ s1 − sL ρ ———— ** ln = ln ⎜ ⎟ + Cp ρ1 ⎝ p1 ⎠ s1 ——L上一个极值点 sL —L上任一点熵
⎛ s1 − sL ⎞ ⎛ p⎞ ρ = ρ1 ⎜ ⎟ exp ⎜ ⎟ = ρ ( p,sL ) ———— * ⎜ C ⎟ ⎝ p1 ⎠ p ⎝ ⎠ dp dp ℘( p,L ) = ∫ =∫ ρ ⎛ s1 − sL ⎞ 1 / r ρ1 exp ⎜ ⎟p 1/ r ⎜ C ⎟ p1 p ⎝ ⎠ ⎛ s1 − sL ⎞ r −1 r p exp ⎜ = ⎟ p r + co nst ⎜ C ⎟ r − 1 ρ1 p ⎝ ⎠
A
= − ∫∫ ⎡ pc + ρ g ( zc − zb ) ⎤ndA- ∫∫ ⎣ ⎦
A A
1 ⎡ 2 2 ρ vc − ( v )b ⎤ndA ⎦ 2 ⎣
=
∫∫ ρ gz ndA + ∫∫
b A A
1 2 ρ ( v )b ndA 2
第一项相当于物体在静止流体中所承受的浮力 第二项为作用于物体的动压之和 例：机翼绕流问题 v∞ = 100m / s = 360公里/ 小时,ρ = 1.274kg / m3 , v1 = 105m / s,v2 = 95m / s 1 2 2 动压： ρ ( v1 − v2 ) ≈ 127.5N / m 2 2 若机翼垂直方向的尺寸为1m 静压：ρ g ( z1 − z2 ) = 11.772N / m 2 可见翼型的升力主要是由其表面上下动压差引起的
∂℘ d℘ ∂p 1 ∂p = = ∂l dp ∂l ρ ∂l
（一）正压流场中
p = p ( ρ ) 或ρ = ρ ( p ) 与L无关 1 ℘= ∫ dp ρ ( p) ∇℘ = 1
ρ
∇P
均质不可压缩流场中 ρ = const
℘= ∫ ℘=
dp
ρ
=
∫ dp ρ
1
p
ρ
+ co nst
等温流场 RT dp dp = RT ∫ ℘= ∫ =∫ ρ p p ℘ = RTlnp+co nst dp
v2 + i = i0 2 i = CPT T=0 ⇒ i=0
2 vmax i0 = CPT0 i0 = 2 ∴ vmax = 2CPT0 取决于滞止温度
最大速度 vmax 可被解释为理想可压流体从气 罐流入绝对真空（该处 p = ρ = T = 0 ）时 状态。 3、声速、临界状态 在可压缩气体中，微小扰动的传播速度称为 声速，以 a 表示。
完全气体的声速只取决于温度。
V2 a2 + cp = i0 rR 2 Vmax 2 V2 a2 + = 2 r −1 2 可见，沿流线速度增加到 Vmax时，声速 a 减小到
零，声速的最大发生在驻点处，称为滞止声速， 以 a0表示。
a0 = rRT0 Vmax
2 = a0 r −1
a0 2 Vmax 2 i0 = = c pT0 = r −1 2
设想若流动沿着流线等熵地变速到 V = a 的状态， 称之为临界状态。此时 V = Vcr ， = acr ⇒ Vcr = acr a
Vcr 2 acr 2 a0 2 Vmax 2 + = = r −1 r −1 2 2
2 Vcr = a0 = r +1 2r r −1 RT0 = Vmax r +1 r +1
六、完全气体作可逆绝热流动时的 伯努利积分及其应用，忽略质量力
理想完全气体的可逆绝热流动 ⎛ p⎞ ρ ln = ln ⎜ ⎟ ρ1 ⎝ p1 ⎠
1/ γ
s1 − sL + Cp
⎛ p ⎞ s1 − sL ρ γ ln = ln ⎜ ⎟ + ρ1 Cv ⎝ p1 ⎠ ⎛ ρ ⎞ ⎛ p1 ⎞ s1 − sL ln ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = Cv ⎝ ρ1 ⎠ ⎝ p ⎠
临界速度Vcr 只取决于滞止温度。
T0 = 288 K = 15 ℃ r = 1.4 时， a0 ≈ 340 m s Vmax ≈ 756 m s Vcr ≈ 310 m s
v < a 亚声速流动， v > a 超声速流动。
§4-2 柯西—拉格朗日定理
理想、无旋、非定常、整个流场 一、柯西—拉格朗日积分 兰姆型的理想流体运动方程
物面上压力分布为 1 ⎡ 2 2 ( p )b = pc + ρ ⎣vc − ( v )b ⎤ + ρ g ( zc − zb ) ⎦ 2 1 ⎡ 2 2 = pc + ρ g ( zc − zb ) + ρ vc − ( v )b ⎤ ⎦ 2 ⎣ 作用在物体上的合力为
F = - ∫∫ ( p )b ndA
γ
⎛ρ ⎞ ln ⎜ ⎟ ⎝ ρ1 ⎠
−γ
p sL − s1 = p1 Cv
γ
⎛ρ ⎞ ∴ p = p1 ⎜ ⎟ exp ⎡( sL − s1 ) / Cv ⎤ ⎣ ⎦ ρ1 ⎠ ⎝ 对于同一流线sL = const ℘=
γ
p 1
γ −1 ρ ρ
= C pT = i dp
绝热di = i=∫ dp
（二）完全气体绝热可逆定常流动中的压力函数
DS =0 绝热可逆 Dt
熵沿迹线不变，定常流流线与 迹线重合，故熵沿流线不变。
p ⎧ ⎪ s=CV ln ρ r + co nst ⎪ ⇒ ⎨ ⎪ dp = d ρ + dT ⎪ p T ρ ⎩ ⎛ dp d ρ ⎞ ⎛ 1 dp d ρ ⎞ dT dp dp −R = Cp ⎜ − ds = C p ⎟ − R p = Cp ⎜ r p − ρ ⎟ T p ρ ⎠ ⎝ p ⎝ ⎠ dρ 1 dp ds = − ρ r p Cp
关于V × Ω = 0
(1)V = 0 ( 2 ) Ω = 0 ( 3 )V 与Ω 平行流线与涡线重合 平面流中V ⊥ Ω 故 ( 3 ) 不存在
(二)在具有均匀流区域的流场中 每条流线在均匀流处具有相同的物理量,因此i0相同
四、不可压缩流体在重力场中的伯努利积分 及其应用
取z轴垂直向上 不可压缩 U=gz +const p ℘ = +const
伯努利定理：若流体是理想的，质量力有势， 且流动是定常的，则沿任一流线或涡线存在 伯努利积分。
三、伯努利积分常数与所取曲线 L 无关的情况
(一 ) 在正压且 (V × Ω )l = 0的流Fra Baidu bibliotek中
⎛ v2 ⎞ 1 由 ∇ ⎜ ⎟ + ∇p + ∇ U = V × Ω ⎝ 2⎠ ρ ⎡ v2 ⎤ ∇ ⎢ +℘( p ) + U ⎥ = V × Ω ⎣2 ⎦ 在整个流场中V × Ω = 0 ⎡ v2 ⎤ ∴∇ ⎢ +℘( p ) + U ⎥ = 0 ⎣2 ⎦ v2 ∴ +℘( p ) + U = i0 2
γ
γ − 1 ρ0
p0 T0 ——滞止温度或总温
滞止焓或总焓 滞止压力
ρ0 棗 滞止密度
i0 =℘0 = 或i0 =
γ
p1
γ − 1 ρ1
1/ p1 γ
( γ −1 / γ exp ⎡( sL − s1 ) / C p ⎤ p0 ) ⎣ ⎦
γ
γ − 1 ρ1γ
( γ −1 exp ⎡( sL − s1 ) / Cv ⎤ p0 ) ⎣ ⎦
第四章 理想流体运动的基本特性
§4-1 伯努利定理及其应用
一、压力函数 任一空间曲线L,从某点o起算的长度为l
ρ = ρ ( l,L )
ρ = ρ ( l,L )
℘= ∫ dp
p=p ( l,L )
所以给定的曲线 L 上
ρ
沿 L 的压力函数
dp ℘ =℘( p,L ) = ∫ ρ ( p,L )
a=
Es
ρ
Es :等熵过程的体积弹性模数
∂p Es = ρ ( ) s ∂ρ
∂p a = ( )s ∂ρ
p = p( ρ , s)
完全气体 s = cv ln p + const ρr
p
ρ
r
= c( s)
∂p a = ( ) s = c( s )r ρ r −1 = ∂ρ a = rRT
rp
ρ
= rRT