高考数学第八章 第讲 简单几何体的表面积与体积 ppt

凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代
表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬
空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面
积为 A.8＋12π C.9＋12π
√B.8＋16π
D.9＋16π
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 答案
2.(2018届贵州黔东南州联考)在△ABC中，AB＝2，BC ＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕直线
123456
题组二 教材改编
2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆
的半径为 A.1 cm
√B.2 cm
C.3 cm
D.
3 2
cm
解析 S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π， ∴r2＝4，∴r＝2.
123456
解析 答案
3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截 出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的 比为__1_∶__4_7__. 解析 设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，
解析 答案
3.(2018届广西柳州联考)过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该
半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比为
√A.9∶32
C.3∶8
B.9∶16 D.3∶16
解析 R＝2，设截面圆M的半径为r，
则 R2＝14R2＋r2，∴r2＝3. 所得截面的面积与球的体积比为43ππrR23＝392，故选 A.
√A. 32
B.
3 3
C.43
D.32
解析 答案
题型三 与球有关的切、接问题
师生共研
典例 (2016·全国Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC—A1B1C1内有一个体积为V的 球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是
A.4π
√B.92π
32π
C.6π
D. 3
解析 由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以
BC旋转一周，则形成的旋转体的体积是
A.92π
B.72π
C.52π
√D.32π
解析 由题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆
锥，如图所示，
OA＝AB·cos 30°＝2× 23＝ 3， 所以旋转体的体积为13π·( 3)2·(OC－OB)＝32π.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
S△PAB＝S△PAD＝S△PDC＝12×2×2＝2， S△PBC＝12×2 2×2 2×sin 60°＝2 3，
S 四边形 ABCD＝2 2×2＝4 2，
因此所求棱锥的表面积为 6＋4 2＋2 3.故选 A.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 答案
6.(2017·广州市高中毕业班综合测试)《九章算术》中，将底面为长方
所以 V 剩余＝V 半球－V 圆锥＝83π，
故剩余部分与挖去部分的体积之比为1∶1.
123456
解析 答案
题型分类 深度剖析
题型一 求简单几何体的表面积
1.(2018届云南昆明一中摸底)一个正方体挖去 一个多面体所得的几何体的三视图如图所示， 其中主视图、左视图和俯视图均为边长等于2 的正方形，则这个几何体的表面积为
解答
思维升华
简单几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面， 把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻 找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直， 且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长 方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 答案
5.(2018·九江一模)如图，网格纸上小正方形的边长为
1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为
√A.6＋4 2＋2 3
B.8＋4 2
C.6＋6 2
D.6＋2 2＋4 3
解析 直观图是四棱锥P—ABCD，如图所示，
解析 由题意可知正方体的棱长为 2，其体对角线 2 3即为球的直径，
所以球的表面积为 4πR2＝(2R)2π＝12π，故选 A.
123456
解析 答案
6.(2018·大连调研)如图为一个半球挖去一个 圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与 挖去部分的体积之比为_1_∶__1__. 解析 由三视图可知半球的半径为2，圆锥 底面圆的半径为2，高为2， 所以 V 圆锥＝13×π×23＝83π，V 半球＝12×43π×23＝136π，
跟踪训练 (2018届漯河高级中学模拟)四面体ABCD的四个顶点都在球O
的表面上，AB＝2，BC＝CD＝1，∠BCD＝60°，AB⊥平面BCD，则
球O的表面积为
A.8π
B.8
2π 3
8 3π C. 3
16π
√D. 3
解析 答案
高频小考点 三视图(基本的、和球联系的)
考点分析
三视图是高考重点考查的一个知识点，主要考查由几何体的三视图还 原几何体的形状，进而求解表面积、体积等知识，所涉及的几何体既 包括柱、锥、台、球等简单几何体，也包括一些组合体，处理此类题 目的关键是通过三视图准确还原几何体.
A.16＋4 3
B.16＋4 5
C.20＋4 3
√D.20＋4 5
自主演练 解析 答案
2.(2017·黑 龙 江 哈 师 大 附 中 一 模 ) 已 知 某几何体的三视图如图所示，则该几 何体的表面积为
7 A.3
√C.13
17 B. 2
17＋3 10 D. 2
解析 答案
思维升华
简单几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定 几何体中各元素之间的位置关系及数量. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接 部分的处理. (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
球的最大直径为3，V的最大值为 9π . 2
解析 答案
ห้องสมุดไป่ตู้
引申探究
1.若将本例中的条件变为“直三棱柱ABC—A1B1C1的6个顶点都在球O的 球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积. 解 将直三棱柱补形为长方体ABEC—A1B1E1C1， 则球O是长方体ABEC—A1B1E1C1的外接球. ∴体对角线BC1的长为球O的直径. 因此 2R＝ 32＋42＋122＝13. 故S球＝4πR2＝169π.
它截出棱锥的体积 V1＝31×21×21a×12b×12c＝418abc， 剩下的几何体的体积 V2＝abc－418abc＝4478abc， 所以V1∶V2＝1∶47.
123456
解析 答案
题组三 易错自纠
4.(2017·西安一中月考)一个几何体的三视图如图所
示，则该几何体的表面积为
A.3π
B.4π
典例1 已知某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积等于
160
√A. 3
B.160
C.64＋32 2
D.60
解析 答案
典例2 某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为___43_＋__π3__.
解析 答案
课时作业
基础保分练
1.(2018届山西名校联考)榫卯是在两个木构件上所
采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，
圆柱
圆锥
侧面展开图
圆台
侧面积公式 S圆柱侧＝__2_π_r_l _ S圆锥侧＝_π_r_l_ S圆台侧＝_π_(r_1_＋__r2_)_l
3.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称 几何体 柱体(棱柱和圆柱)
表面积 S表面积＝S侧＋2S底
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下
第八章 立体几何与空间向量
§8.2 简单几何体的面积与体积
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
1.多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是_所__有__侧__面__的_ 面积之和 ，表面积是侧面积与底面面积之和.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
C.2π＋4
√D.3π＋4
解析 由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱， 直观图如图所示. 表面积为 2×2＋2×21×π×12＋π×1×2＝4＋3π.
123456
解析 答案
5.(2016·全国Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球
的表面积为
√A.12π
C.8π
B. 32 π 3
D.4π
形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角
三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P—ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，
基础自测 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( √ ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积.( × ) (3)球的体积之比等于半径比的平方.( × ) (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( √ ) (5)长方体既有外接球又有内切球.( × ) (6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的 侧面积是2πS.( × )
解答
2.若将本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该 棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积. 解 如图，设球心为O，半径为r， 则在 Rt△AOF 中，(4－r)2＋( 2)2＝r2， 解得 r＝94， 则球 O 的体积 V 球＝34πr3＝43π×493＝24136π.
跟踪训练 (1)(2018届河南洛阳联考)一个几何 体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A.2
B.1
√C.23
D.13
解析 几何体如图， 由三视图得底面为对角线为2的正方形，高为1， 所以体积为13×12×2×1×2×1＝23，故选 C.
解析 答案
(2) 如 图 ， 在 多 面 体 ABCDEF 中 ， 已 知 ABCD 是 边 长 为 1 的 正 方 形 ， 且 △ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 答案
4.(2017·昆明质检)如图所示，网格纸上小正方形的
边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则
该几何体的体积为
√A.24π
C.42π
B.30π D.60π
解析 由三视图知，该几何体是半径为 3 的半球与底面半径为 3、高为 4 的半圆锥的组合体，所以该几何体的体积 V＝12×43π×33＋21×31π×32×4 ＝24π，故选 A.
解析 答案
思维升华
简单几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则 可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、 分割法、补形法等方法进行求解. (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的 直观图，然后根据条件求解.
球
S＝_4_π_R_2
体积
V＝_S_h_
1
V＝__3_S_h__
V＝31(S 上＋S 下＋ S上S下)h V＝__43_π_R_3_
【知识拓展】
1.与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.
2.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； ②若球为正方体的内切球，则 2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半 径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.
题型二 求简单几何体的体积
命题点1 以三视图为背景的几何体的体积
典例 (2018届广雅中学、东华中学、河南名校联考)
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出
的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
24π＋8
√A. 3
B.8π＋8
32π＋8 C. 3
32π＋24 D. 3
多维探究 解析 答案
命题点2 求简单几何体的体积 典 例 (2018·广 州 调 研 ) 已 知 E ， F 分 别 是 棱 长 为 a 的 正 方 体 ABCD— A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1—B1EDF的体积为___16_a_3 _.