极限定义及定理小结

x
X
时,
| arctan x | , 即 lim arctan x .
2
x
2
证 (2) 证明：lim arctan x .
x
2
0,
要
|
arctan
x
2
|
,
即要
2
arctan
x
2
.
由于 arctan x , 所以只需证明 arctan x .
2
lim arctan x ,
x
2
y arctan x x
lim arctan x ,
x
2
由定理可知： lim arctan x 不存在. x
2
请同学们 自己先证一下.
证 (1) 证明：lim arctan x .
x
2
0, 要 | arctan x | , 即要 arctan x .
的图形可以看出:
lim 1 0, lim 1 0.
n n
x x
O 1 2 3 n x
如何描述它？
回忆数列{xn} :
xn
1 n
极限的定义：
0, 若 N 0, 使当n N 时, 有 | xn a |
成立, 则称数列{xn}当 n 时, 以 a 为极限, 记为
lim
n
xn
a.
数列是一种特殊的函数: xn f (n) n Z .
lim f (x) a .
x
有问题没有？
1. x 时, 函数 f (x) 的极限
定义 0, 若 X 0, 使当x X 时, 有
| f (x) a |
成立, 则称函数 f (x) 当 x 时, 极限存在, 常数 a 为其极限值, 记为
lim f (x) a ,
x
或记为 f (x) a (x ) .
y
y f (x)
你能否由此得出 一个极限的定义 和一个重要的定理.
X O
X
y a ya
y a
x
3. x 时, 函数 f (x) 的极限
定义 0, 若 X 0, 使当| x | X 时, 有
| f (x) a |
成立, 则称函数 f (x) 当 x 时, 极限存在, 常数 a 为其极限值, 记为
| f (x) a |
成立, 则称函数 f (x) 当 x 时, 极限存在, 常数 a 为其极限值, 记为
lim f (x) a ,
x
或记为 f (x) a (x ) .
现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?
y
y f (x)
X O
X
y a ya
y a
x
现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?
而
lim
n
xn
a
与 lim x
f
(x)
a
相当,
故可以从形式进行
推广, 将 xn 替换为 f (x), n 替换为 x , N 替换为 X :
0, 若 X 0, 使当x X 时, 有 | f (x) a |
成立, 则称函数 f (x) 当 x 时, 以 a 为极限, 记为
好像没有问题.
1. 2
证 0,
要
1 x3 2x3
1 2
,
即要
1 2 | x |3
,
即
|x| 1 ,
3 2
故取 X 1 , 则当 | x | X 时 , 有
3 2
1 x3 2x3
1 2
成立. 由极限的定义可知:
lxim12xx33
1. 2
例2
讨论函数
f
( x)
1
1 x2
当x
时的极限.
解
当| x | 无限增大时,
第三章 函数的极限与连续性
本章学习要求： ▪ 了解函数极限的概念，知道运用“ε－δ”和 “ε－X ”语言描
述函数的极限。 ▪ 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则
以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 ▪ 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 ▪ 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 ▪ 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 ▪ 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
1 x2 也无限增大,
此时 1 1 x2
无限缩小, 可以小于任意小的正数 . 因而应该有
下面证明我们的猜想:
lim x 1
1 x
2
0.
由极限的定义, 0, 要
1 1 x2
0
1 1 x2
1 1 x2
,
证明过程 怎么写？
即要 1 1 x2,
当
1时,
x 0,
则
1 1 x2
显然成立 .
当 1时, | x |
lim f (x) a ,
x
或记为 f (x) a (x ) .
由于 | x | > X > 0 x > X 或 x < X, 所以, x 按绝对值无限增大时,
既包含了 x +, 又包含了 x 的情形.
定理
由绝对值关系式: 及极限的三个定义即可证明该定理.
例1
证明：lim x
1 x3 2x3
想想：如何从几何的角度来表示该定义？
y
y f (x)
O
X
y a ya
y a
x
我们将得到x 时, 函数的极限.
将图形对称
y
y f (x)
y a
ya
y a
X O
X
x
将图形对称过去后, 你有什么想法?
2. x 时, 函数 f (x) 的极限
定义 0, 若 X 0, 使当x X 时, 有
1
1
时,
1 1 x2
成立 .
这里想得通吗？
0 (不妨设 0 1) , 取 X 1 1 , 则当
| x | X 时, 有
1 1 x2
0
1 1 x2
Βιβλιοθήκη Baidu
1 1 x2
,
故由极限的定义可知:
lim
x
1
1 x
2
0.
例3 证明 lim arctan x 不存在. x y
需要证明之处
由图容易看出：
第三章 函数的极限与连续性
第一节 函数的极限与性质
三. 极限定义及定理小结 四. 函数极限的基本性质
由于数列实际上可以看成是定义域为正整数 域的函数, 所以, 可望将数列的极限理论推广到 函数中, 并用极限理论研究函数的变化情形.
从数列{xn} 与函数 y 1 (x
:
xn
1 n
(0,))
y
x
2
2
2
由于 arctan x , 所以只需证明 arctan x.
2
2
2
当 时, x 0 就有 arctan x .
2
2
当 0 时, 由 arctan x 及 tan x 的单调性,
2
2
x
tan
2
0.
综上所述,
取
X
max{
tan 2
,
0 },
则当