信号与系统 第三章

t1
随着n的增加，均方误差将逐渐减小，若
n , e2 (t) 0
说明这时信号的正交分解是精确的分解，称 这样的函数集为完备的正交函数集。此时正 交函数集合中含有无穷多个函数。
完备正交函数集的两种定义方法： 1.若用正交函数集{gi (t)}在区间 (t1,t2 )近似
表示函数 f (t)，
n
f (t) Ci g i (t) i 1
均方误差：
e2 (t)
t2
1 t1
t2 t1
[e
(t
)]
2
dt
1
t2 t1
[t2
t1
f
(t )
n i 1
Ci gi (t)]2 dt
选择系数 Ci ，使均方误差为最小。即令
e2 (t) 2
C j
t 2 t1
t2
n
[ f (t) Ci gi (t)] g j (t)dt 0
T
t1
02
nm0 nm
t1 T t1
sin
nt
sin
mtdt
T 2 0
nm0 nm
t1T cosnt sin mtdt 0 n 0,1,2, , m 1,2. t1
Ci gi (t)] dt
利用最小均方误差准则
e
2
(t )
0
，可得系数为
C j
C j
t2
f
(t )
g
j
(t )dt
t1
1
t2
g
j
(t)
g
j
(t
)dt
kj
t1
t2
f
(t )
g
j
(t )dt
t1
j 1,2, , n
由此得均方误差为：
e2 (t)
1 [
t 2 t1
t2 t1
f
2 (t)dt
第三章
§3.1 引 言
信号分析
信号具有时域特性和频域特性，本章
讨论信号的频域特性，其目的一是掌握信 号频域特性的分析，二是为系统的频域分 析方法作准备。
§3.2 周期信号的傅立叶分解
一、正交函数集
函数正交可以从矢量正交引申得来，因
此首先来看矢量正交的概念。
两矢量
A1 , A2
若满足
A1 • A2 0
f (t) C1g1(t) C2 g2 (t) Cn gn (t)
n
误差函数： e (t) f (t) Ci g i (t) i 1
均方误差：
e2
(t)
t2
1
t1
t2 t1
e
(t
)
e
(t
)dt
1
t2 t1
[t2
t1
f
(t)
n i 1
Ci gi (t)][
f
(t )
n i 1
1[ t2 t1
t2 t1
f
2 (t)dt
n
Ci2 ki
i 1
n
2 Ci2ki ]
i 1
1 [
t2 t1
t2 t1
f
2 (t)dt
n i 1
Ci2ki ]
其中
ki
t2
g
2 i
(t
)d
t
t1
Ci
1 ki
t2
f (t) g i (t)dt
t1
t2
f (t) g i (t)dt Ci k i
t1
i 1
解得
j 1,2, , n
C j
t2 t1
f (t) g j (t)dt
t2 t1
g
j
(t)
g
j
(t )dt
1 kj
t2 t1
f (t) g j (t)dt
j 1,2, , n
由此产生的均方误差为
e
2
(t )
t2
1
t1
t2
[ f (t)
n
Ci g i (t)]2 dt
称
ux
,
uy为单位正交矢量。
该正交矢量空间为二维正交矢量空间。
三个彼此正交的矢量构成的空间叫三维正交
矢量空间 。
y
Ay

A
A
Ax Ax
ux
Ay Ay
uAyz
Az uz
uuz y
0
ux
Ax
Az
ux
•uy
uy
• uz
uz
•ux
0
x
ux
•ux
uy
•uy
uz
•
uz
1
z
ux , uy , uz 为单位正交矢量。
n
C
2 i
k
i
]
i 1
关于完备正交函数集的定义同前。
例：三角函数集合{1, cos t, cos 2t, , cos nt, ,
sin t, sin 2t, , sin nt, }
在区间 (t1, t1 T )上构成一完备正交函数集。其中
T 2
T n m 0
t1 T
cos nt
cos
mtdt
若 n , e2 (t) 0
则称此函数集合为完备正交函数集。
2. g1(t), g2 (t), , gn (t) 在区间 (t1,t2 )上构成 一个正交函数集，若在区间 (t1,t2 )内再也 找不到一个非零函数与这 n 个函数中的 任一函数正交，则称此函数集为完备的 正交函数集。
复正交函数集的定义：
则称这两个矢量彼此正交。正交矢量构成的
集合叫正交矢量集，由它们所张成的空间叫 正交矢量空间。
二维空间中的任一矢量就可以分解成两个彼 此正交的分矢量的和。
y
A y uy
0 ux
A
Ax
x
A Ax Ay
Axux Ayuy
其中
ux,uy
满足
ux •uy 0 ux •ux uy •uy 1
假设有 n 个复函数 g1 (t), g 2 (t), , g n (t) 构 成一函数集合，这些函数在区间 (t1,t2 )内满足以 下的正交特性：
t2
t1
gi
(t)
g
j
(t
)dt
0ki
i j i j
这里
g
* j
(t
)
是
g
j
(t )
的复共轭，则称此函数集为复
正交函数集。
f (t) 是区间 (t1, t2)上的任一能量有限信号，则
t1
i 1
1
t2 t1
[t2
t1
f
2 (t)
2
f
(t)
n i 1
Ci gi (t)
n i 1
Ci gi (t)
n
C j g j (t)]dt
j 1
1 [
t2 t1
t2 t1
f 2 (t)dt
n
Ci2
i 1
t2 t1
gi2 (t)dt
2
n i 1
Ci
t2 t1
f (t) gi (t)dt]
n 维空间中的任一矢量就可以分解成 n 个彼 此正交的分矢量和的形式。
定义：假设有n个函数 g1 (t), g 2 (t), , g n (t)
构成一函数集合，这些函数在区间 (t1, t2 ) 内满足以下的正交特性：
t2
t1
gi
(t)
g
j
(t)dt
0ki
i j i j
则称此函数集为正交函数集。
在区间 (t1,t2 ) 上的任意能量有限信号 f (t) 可 以象矢量分解那样在正交函数集合中近似分解， 即用正交函数集合中的函数的线性组合来近似 表示，即：
f (t) C1g1(t) C2 g2 (t) Cn gn (t)
信号的这种分解叫信号的正交分解。上面的近 似表示所带来的误差函数记为 e (t)，则
e (t) f (t) [C1g1(t) C2 g2 (t) Cn gn (t)]
利用最小均方误差准则(即误差函数的方均值为 最小的准则)确定待定系数。