等腰三角形讲义

数学辅导讲义
——等腰三角形
1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形；
2. 正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用它们的性质解决相关的问题；
3. 借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是30的直角三角形的性质
建议2分钟
将一张长方形的纸片对折后，用剪刀剪出一个三角形，再把它展开，得到的ABC ∆有什么特点？折痕AD 是ABC ∆的什么线？
1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

2、等腰三角形是轴对称图形吗？它的内角有何性质？它的高线、中线、内角平分线有何性质
专题一、等腰三角形的有关概念
(★)如图，D在AC上，AB=AC，AD=DB，请指出图中的等腰三角形，以及它们的腰、底边、顶角及底角。

(★★)已知等腰三角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长分别为___________；
【答案】
1．(★)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为
A．16 B．18
C．20 D．16或20
2. (★)下列说法正确的是（）
A. 等腰三角形的底角一定是锐角
B. 等腰三角形的底角可以是直角，但不能是钝角
C. 等腰三角形一内角平分线与此角所对边上的高一定重合
D. 等腰三角形的一个内角等于40，那么其余的两个内角一定都等于70
专题二：等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。

符号语言：
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

符号语言：
中，
在ABC
等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线是它的对称轴。

(★)如图，AC 和BD 相交于点O ，AB//CD ，OA=OB ，求证：C D ∠=∠。

(★★)已知：如图，AB AC =，BD AC ⊥。

求证：1
2DBC A
∠=∠。

1.( ★) 如图，在ABC ∆中，点D 在AC 上，且AB=AD ，30ABC C ∠=∠+，则CBD ∠等于（ ）
A. 15
B. 18
C. 20
D. 22.5
2.( ★) 如图，在ABC ∆中，AB=AC ，36A ∠=，BD 、CE 分别是ABC ∠、ACB ∠的平分线，则图中等腰三角形的个
数为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8
【答案】
专题三：等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法有两个：
（1）定义法；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。

是等腰三角形。

(★)如图，已知BD是∠ABC的平分线，DE//BC交AB于点E。

求证：BED
(★)如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD．21世纪教育网求证：（1）BC=AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
专题四：等边三角形及性质
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，且每个角都是60。

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它的任意一角的平分线都垂直且平分对边。

(★★)如图，等边ABC ∆中，D 是AC 边的中点，延长BC 到点E ，使CE CD =，连接DE ，试判断BDE ∆的形状，并说明为什么？
【
(★★)如图，已知：
，点
、
、
……在射线
上，点、
、
……在射线
上，
、、……均为等边三角形，若
，则
的边长为（ ）
A. 6
B. 12 C 32 D. 64
专题五：等边三角形的判定 等边三角形的判定： （1）由定义判定；
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）判定定理2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。

(★) 如图所示，E 为等边ABC ∆的边AC 上一点，且12∠=∠，CD=BE ，试判定ADE ∆的形状。

(★★)（1）如图，已知是等边三角形，E 是AC 延长线上的任意一点，选择一点D ，使得是等边三角
形。

如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点。

求证：
是等边三角形。

（2）在（1）中，若
不共线，其他条件不变，结论还成立吗？为什么？
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1. (★)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则图中等腰三角形的个数为（）
A. 12
B. 10
C. 9
D. 8
【答案】
2. (★)如图，在△ABC中，点D在AC上，且AB=AD，∠ABC =∠C+30°，则∠CBD等于（）
A. 15°
B. 18°
C. 20°
D. 22.5°
【答案】
3. (★★)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，P是△ABC内一点，且∠PBC=∠PCA，则∠BPC的度数为（）
A.115°
B. 100°
C. 130°
D.140°
【答案】
4.(★★)如图，在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】
5. (★)在ΔABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，ΔABC的周长为36 cm，ΔADC的周长为30 cm，那么AD=_________ cm；
【答案】
6、(★★)如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，那么∠FEM=__________；。