材料的电学性能分析

E=0
E
k
E
E
k
E≠0
k
如果导带中有电子, E=0，能量图中，电子的K态是对称的。 E≠0，电场作用下，电子迁移，最终形成不对称的电子能量k图 因此只有不是满带（导带）中的电子才能在电场作用下导电
（2） 导体、半导体和绝缘体
固体按导电性能的高低可以分为
导体 半导体 绝缘体
它们的导电性能不同，是因为它们的能带结构不同。
但模型离子所产生的势场为零过于简化， 解释和预测实际问题仍遇到不少困难。
2.2.3 能带理论
基本框架
金属离子构成晶体点阵，其形成的电场是不均匀的，呈周期 性变化。 价电子不是自由的，受到正离子形成的周期性势场和其他电 子平均势场的影响。 电子运动以电子波的形式传播
单电子近似理论： 为了研究晶体中电子的运动状态，首先假定固体中 的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列， 然后进一步认为每个电子都是在固定的原子构成的
导电现象的微观本质：载流子在电场作用下的定向迁移
A和B面 ⊥ E方向
A和B面间距为L
单位体积内载流子数为n 每一载流子的电荷量为q
假定在电场E作用下，A平面的载流子经t时间全部到达B面， t时间内通过A平面所有载流子的电量为Q
Q nSLq
Q I t
I Q nSLq L j nq nqv S St St t
（3）电子的有效质量表征
E 允带 禁带
载流子的浓度，每一种载流子的电荷量以及每一种 载流子的迁移率的关系。
材料的导电机理
电子类载流子导电——金属、半导体
离子类载流子导电机理——无机非金属
2.2.电子类载流子的导电
对固体电子能量结构、状态及其导电机理的认识，开始于对金属电子 状态的认识。人们通常把这种认识大致分为三个阶段。
第一阶段是经典的自由电子学说，主要代表人物是德鲁特
导体
导带
Eg
价带
导带 价带
导带
价带
导带部分填满
没有禁带
导带价带重叠
导体能带结构
导体
在外电场的作用下，大量共有化电子很 易获得能量，集体定向流动形成电流。
E
从能带图上来看，是因为其共有化电子很易从低 能级跃迁到高能级上去。
绝缘体
① 电子完全占满价带。导带是空的。
导带
② 满带与空带之间有一个较宽的禁带
周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整
个问题简化成单电子问题。
能带的形成有两种理论：
1 一种是从量子自由电子理论出发，考虑到周期势场的影响 产生的能带，称为准自由电子近似能带理论； 2 另一种是从原子能级量子理论出发，考虑到晶体中原子靠 近时，因势场的影响导致原子能级的分裂扩展而形成能带，
称为紧束缚近似能带理论。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
nef e 2lF me vF
2
能带理论：

nef e l F me v F

* me
：电子的有效质量
4.电子有效质量的引入 （1）晶体中电子的加速度：
在外加电场作用下，晶体材料中电子受到周期性势场和外加 电场的作用
外加电场作用下，电场力使电子产生加速度。从而形成电流
F a * me
电子所受外力与加速度的关系与牛顿第二运动定律类似， 不同的是用电子有效质量me*代替惯性质量me。
E≠0 E≠0 k
。
（1）满带电子不导电
E=0
E
E
由于满带
E
k
k
k和－k态：电子具有大小相同但方向相反的速度
hk v(k ) 2m
hk v(k ) 2m
k状态的电子电流密度：j=e×v(k)
-k状态的电子电流密度：j=e×v(-k) 对于整个满带来说：因为所有的量子态都被填充，外电场作 用下，总的电流为0
半导体能带结构
（3）能带理论电导率
经典电子理论：
ne l me v
2
n：单位体积内的电子数； me : 电子质量； l: 电子的平均自由程； : 电子的平均速度。 nef：单位体积内参与导电的电子数； lF:费米能级附近电子的平均自由程； vF:费米能级附近电子的平均速度。
量子自由电子理论：

nef e lF me vF
2
ne l me v
n：单位体积内的电子数 lF: 电子的平均自有程； vF: 电子的平均速度。
2
nef：单位体积内参与导电的电子数； lF:费米能级附近电子的平均自有程； vF:费米能级附近电子的平均速度。
量子自由电子理论存在的问题
量子自由电子学说较经典电子理论有巨大进步，
有关能带被占据情况的几个名词：
价带（满带）： 填满电子的最高允带。 导带：价带以上能量最低的允带。导带中的电子
是自由的，在外电场作用下可以导电。
3.能带理论对导电现象的解释
假设: 电子填充的一维能带(见图) E=0: 满带中均匀分布的量子都被电 子所充填，是对称的能量k图。 E≠0: 各电子均受到相同的电场 力，在电场力的作用下，电子开始加速运动。一个点子离开自己的 位置，邻近的电子开始填充的空位上，但由于是满带。
E
h2 E 2 k2 8 me
求解薛定谔方程中k满足：
k
n k 2a
a—— 晶格常数 n——整数
自由电子的能量是分立的能级
能量为E的量子态被一个电子占据的几率遵循
电子费米分布函数：
1 f (E) E EF 1 exp( ) kT
E F 费米能级，在0k温度时，电子由低到高填满电
子上去，结果电子可以在整个晶体中运动。
• 电子共有化的原因：电子壳层有一定的交叠，相邻原子最 外层交叠最多，内壳层交叠较少。
+
N个原子逐渐靠近
能带（允带）——固体中若有N个原子，每个原子内的 电子有相同的分立的能级，当这N个原子逐渐靠近时， 原来束缚在单原子中的电子，不能在一个能级上存在， 从而只能分裂成N个非常靠近的能级，因为能量差甚小， 可看成能量连续的区域，称为能带。 禁带——允带之间没有能级的带。
2.2.2 量子自由电子理论 把量子力学的理论引入对金属电子状态的认识， 称之为量子自由电子学说。 基本框架
金属离子构成晶体点阵，其形成的电场是均匀的，势场为零。
价电子与金属离子间没有相互作用，可以在整个金属中自由运动。
内层电子保持单个原子时的能量状态。
自由电子的能量是量子化的，符合量子化的不连续性，有分立的 能级(不同于经典电子理论).
1 准自由电子近似能带理论 晶体中电子的运动状态： 单电子近似理论：晶体中的某个电子是在与晶格同周期 的势场中运动。
对于一维晶格，势能函数为：
V( x ) = V( x + n a ) a ---- 晶格常数 n -----任意整数
电子运动满足薛定谔方程：
2 d 2 V ( x) ( x) E ( k ) ( x) 2 2m dx
自由电子波函数 晶体中的电子波函数
Ψ(x) Aei2πkx
( x) e
i 2πk x
u ( x)
区别：只有在 uk ( x ) 等于常数时，在周期场中运 动的 电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。 晶体中的电子是以一个被调幅的平面波在晶体中传播
2 d 2 V ( x) ( x) E (k ) ( x) 求解薛定谔方程： 2 2m dx i 2πk x
(Drude)和洛兹(Lorentz) 。 第二阶段是把量子力学的理论引入对金属电子状态的认识，称 之为量子自由电子学说。 第三个阶段就是能带理论。能带理论是在量子自由电子学说基 础上建立起来的，经过70多年的发展，成为解决导电问题的较好的 近似理论，是半导体材料和器件发展的理论基础。
2.2.1 经典电子理论 基本框架
v
平均速度：
载流子单位时间内经过的距离
j E
j nqv nq E E
电导率公式：
nq
v 载流子的迁移率： E
物理意义：载流子在单位电场中的迁移速度
电导率的一般表达式为：
i ni qi i
i i
上式反映电导率的微观本质，即宏观电导率与微观
（2）电子有效质量引入的意义：
（1）晶体中的电子一方面受到电场力的作用，另 一方面受到内部原子及其他电子的势场作用。电子 运动状态的变化是材料内部势场和电场力作用的综 合结果。 （2）内部势场计算困难。 （3）引入有效质量可使问题简单化，可以不涉及 内部势场的作用，直接把电场力和加速度联系起来， 而有效质量概括了内部的势场作用。
I Sj
V LE
V I R
j :电流密度
E :电场强度
LE SJ R
L J E SR
L R S
J
1

E
J E

1

σ :电导率，
电阻率ρ、电导率σ是评价材料导电性的基本参数 半导体 绝缘体
10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 105
第二章 材料的电学性能
2.1 电导的基本概念 2.2 电子类载流子导电
2.3 离子类载流子导电
2.4 半导体 2.5 超导体
2.1 电导的基本概念
1.电导率和电阻率
欧姆定律 :
V R I
R: 电阻 ρ: 电阻率，单位长度，单位面积 上导电体的电阻值
L R S
电阻率ρ与材料的几何尺寸无关，是材料的本质参数
n a
（n=整数）
第一布里渊区：以原点为中心的第一能带所处的 k 值范围。 第二、第三能带所处的 k值范围称为第二、第三布 里渊区，并以此类推。
周期势场对电子运动产生影响
当n不同时，电子能量不再是孤立的能级， 而是形成能带。 能带（允带）：能被电子所占有的准连续能级。 禁带：电子不能占有的的能隙。
采用近似方法求解：
布洛赫定理
电子运动的波函数： 布洛赫波函数
( x) ei 2πk xu( x)
式中 u ( x) 也是以a为周期的周期函数
u ( x) u ( x na)
布洛赫定理说明：一个在周期场中运动的电子波函数为： 一个自由电子波函数 ei2πkx 与一个具有晶体结构周期性的函 数 uk ( x )的乘积。
整个能带结构是由允带和禁带交替组成的。 电子能级
允带 E 禁带 电子能带
E
允带 允带
允带
2 紧束缚近似能带理论
+
+
+
孤立原子的能级（电子壳层）
+
+
+
+
+
+
+
原子结合成晶体时晶体中电子的 共有化运动
• 共有化运动——在晶体结构中，大量的原子按一定的周期
有规则的排列在空间构成一定形式的晶格。如果原子是紧 密堆积的，原子间间距很小。晶体中原子能级上的电子不 完全局限在某一原子上，可以由一个原子转移到相邻的原
热能或外加电场，不足以使共有化 电子从低能级（满带）跃迁到高能 级导带上去。所以不能形成电流。。 价带
Eg
绝缘体能带结构
半导体
① T=0K，电子完全占满价带。导带是空 的。具有绝缘体的特征。 ② 禁带宽度很窄，当外界条件变化时 导带
Eg
价带
（如光照、温度变化），价带中的电
子跃迁到导带上去，同时在价带中出 现等量的空穴，在电场作用下电子和 空穴都能参与导电。
导体
106
电导率σ S/m
超导体：σ→∞
2.载流子
载流子： 电场作用下，电荷的定向长距离移动形成电流， 带有电荷的自由粒子称为载流子。
金属材料的载流子：自由电子 半导体中有两种导电的载流子：
自由电子 — 带负电 空 穴 — 带正电
无机材料中的载流子：离子（正、负离子）、电子、空穴
3.电导率的一般表达式
金属离子构成晶体点阵，其形成的电场是均匀的。
价电子与金属离子间没有相互作用，价电子构成的电子气在晶体点阵间作无 规则的随机运动，称为自由电子。 在外加电场的作用下，自由电子沿电场方向做加速运动，形成电流。 自由电子与正离子之间的相互作用仅是机械碰撞，自由电子在定向运动过程 中与正离子发生碰撞，产生电阻。
其中： E
V( x ) = V( x + n a )
( x) e u ( x) u ( x) u ( x na)
允带 禁带
n=2
允带 允带 允带

n=1 n=0
3 2 a a a
2 0 a a
3 a

a
0
a
E与k的关系
能带
简约布里渊区
k 的取值范围都是
子能级时，最高能级的能量。
g ( E ) 单位能量内的量子态数，（状态密度）
E
EF
kT
0
1/2
1
在外电场的作用下，只有能量接近EF的少部分电子，方有可能 被激发到空能级上去而参与导电。这种真正参与导电的自由电 子数被称为有效电子数（nef）。
量子自由电子理论与经典电子理论电导率：
量子自由电子理论： 经典电子理论：