微积分基础国家开放大学第1章第1节函数的概念.ppt

O
引例4 销售量 q 与月份 t 的关系
Pt0,T0
12 t
月份 t 1
2
3
4
5
6
销售量 q 100 105 110 115 111 120
6
函数的概念
定义 设x和y是两个变量, D是一个给定的非空实数集， 若对于每个数xD,变量y按照一定对应法则f, 总有唯 一确定的数值和它对应，则称y为x的一元函数，记作 y=f (x) 。称x为自变量，y为因变量，称D是函数f 的定 义域，因变量y 的取值范围称为函数的值域。
bx o a
x
无穷区间(-,b)
oa
邻域
a a
bx
a x
ob x
去心邻域
a a a x
4
§1.1.2 函数的定义
◎一.函数概念及其表示 ◎二.分段函数 ◎三. 定义域的求法
5
函数关系引例
引例1 圆面积 A r2
T
引例2 自由落体运动 S 1 gt 2 2
引例3 气温 T 与时间 t 的关系
当x0D，称f (x0)为函数在x0处的函数值。 由于通常是通过函数值f (x)的变化来研究函数f的性质
的，故习惯上也称f (x)或y是x的函数。
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函数的两要素
定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
自变量
(
Z
y f (x0 )
)
因变量
判定下面各组中两函数是否相同？
f x lg x2 gx 2lg x
为有限区间;又当a、b中有一个为时,称无穷区间;显 然R=(- ,+ )。 a的邻域U(x0,)： U(x0,)=(x0-, x0+)，即|x-a|< 。 a的去心邻域U0(x0,)： U0(x0,) =(x0-, x0+)\{x0}
3
区间、邻域示意图
闭区间[a,b]
无穷区间(a,+)
来自百度文库
oa
开区间(a,b)
不相同
f x 3 x4 x3 f x x 3 x 1 相 同
y 1 cos2 x
u sin2 相 同
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函数的表示法
常用的函数表示法主要有三种： 公式法(引例1、2)，图示法(引例3)，表格
法(引例4)。 各种表示法各有其特点：
图示法使函数的变化表现得较直观，表格法 (如各种函数表、经济统计报表)便于求函数值， 而公式法便于运算和分析，故在学习研究数学 理论上用得最多。它们各有优缺点，应根据需 要结合使用。
子个数保持一定,是常量;气体的温度和压力是变量. 常量与变量是相对而言的，并非确定不变的。 所谓函数关系是指几个变量之间的某种确定的特殊
联系方式。
2
常用区间表示方法：
全体实数的集合记为R，全体自然数的集合记为N。其 它常见的实数集合表示方法如下：
闭区间：[a,b]={x| axb} 开区间：(a,b)={x| a<x<b} 半开区间：(a,b]={x| a<x b}, [a,b)={x| a x<b} 注：以上a,b均满足a、bR,且a<b,此时，这类区间称
解：要使上式有意义，须使：x 5 且 x -1。
故： Df =(-,-1)(-1,5]
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跟踪训练 求下列函数的定义域. (1)y＝－12x2＋1；
解 x∈R；
x－2 (2)y＝x2－4；
解 要使函数有意义，必须使x2－4≠0， 得原函数的定义域为{x|x∈R且x≠±2}；
13
(3)y＝ 1 ； x＋|x|
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
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§1.1.3 函数的特殊性质
[x]表示不超过x的最大整数 y
4 3 2 -4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
阶梯曲线
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几个特殊函数：狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x) 0 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
20
几个特殊函数：取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
达式有意义的自变量一切可取(实数)值范围。
例1：求函数 y
1 4 x2
x 2 的定义域．
解 要使 y 1 x 2 有意义，必须有
4 x2
4 x2 0 2 x 2 即 2 x 2
x 2 0
x
2
故 Df {x | 2 x 2}
例2:
求函数 y
5 x
x 12
的定义域Df ．
得原函数的定义域为{x|－2≤x≤2}；
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(6)y＝ ax－3(a 为常数). 课后思考题
解 要使函数有意义，必须使ax－3≥0，
得当 a>0 时，原函数的定义域为{x|x≥3a}； 当 a<0 时，原函数的定义域为x|x≤a3；
当a＝0时，ax－3≥0的解集为∅，不符合函数的定义， 故不是函数.
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分段函数
分段函数：用公式表示函数时，有时需要在定 义域得不同范围内分别用不同的解析式来表示 该函数完整的对应规则。
注意：分段函数是一个函数,而不是几个函数！
例：
y
f
x
2
x
0 x 1
2
1 x x 1
O1
x
10
分段函数应用
1、个人收入所得税 2、出租车计费
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定义域求法
约定：如未特别指明,函数定义域Df即为能使函数表
解 要使函数有意义，必须使x＋|x|≠0， 得原函数的定义域为{x|x>0}；
(4)y＝ x－1＋ 4－x＋2； x－1≥0，
解 要使函数有意义，必须使 4－x≥0，
得原函数的定义域为{x|1≤x≤4}；
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(5)y＝ 4－x2＋ 1 ； |x|－3 4－x2≥0，
解 要使函数有意义，必须使 |x|－3≠0，
第1章 函数、极限、连续 §1.1 函数的概念
§1.1.1 常量与变量 §1.1.2 函数的定义 §1.1.3 函数的特殊性质 §1.1.4基本初等函数 §1.1.5复合函数与初等函数
1
§1.1.1 常量与变量
微积分是研究函数变化规律的学科，故我们先关注 一下研究过程中的常量与变量。
常量:在研究过程中始终保持不变的量 变量:在研究过程中发生变化即可以取不同的量 例如:密闭容器内的气体加热,气体的体积和气体的分
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分段函数求定义域示例
例3设f
(x)
1 2
0
x
1 ,
求f
(0)、f
(2)，函数
f
(x)的定义域.
1 x 2
解 f(x)的定义域为：[0, 2]
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几个特殊函数：符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
y
1
o
x
-1
x sgn x x
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几个特殊函数：取整函数
取整函数 y=[x]