Laplace积分变换

s 的逆变换 s +1
2
求
A( s ) st 1 d m−1 点，故 Res e = lim m −1 s = s1 s → s B( s ) ( m −1)! 1 ds 所以有 f (t ) =
A( si ) s it 1 d m −1 A( s ) sk t e + lim m − 1 ( s − s1 ) m e s → s1 ds B ′ ( s ) ( m − 1)! B( s ) i = m +1 i
t
d t f (τ )dτ ] dt ∫0
0 t 0 0
= sL [∫ f (τ )dτ ] − ∫ f (τ ) dτ = sL [∫ f (τ )dτ ]
积分性质的推论
+∞ f (t ) ] = ∫ L [ f ]ds s t
例8
L[
求f (t ) =
sinh t 的 Laplace变换 t
解答
解答
Γ ( m + 1) Γ ( m + 1) 利用 L [ t ] = , 有L [e att m ] = s m +1 ( s − a ) m +1
m
注
Γ( s ) = ∫ e− x xs−1 dx ( s > 0)
0
+∞
利用 L [sin kt ] =
k k 有L [ e− at sin kt ] = 2 s2 + k 2 ( s + a) + k 2
s 2 s + k2
∫
∞
0
e−3 t cos2tdt
解答
例4
L [cos2t ] = ∫ e− st cos2tdt =
0
+∞
Fra Baidu bibliotek
s s +4
2
求f (t ) = t的Laplace变换
⇒ ∫ e−3t cos2tdt =
0
+∞
3 13
解答
推论
te − st dt = − 1 +∞ td (e − st ) s ∫0 1 1 +∞ +∞ = − [te − st ]0 + ∫ e −st dt s s 0 1 +∞ 1 = ∫ e− st dt = 2 , 0 s s 1 L [t ]= 2 (Re s > 0) s
广义函数（如：脉冲函数）的 Laplace变换
例6
L [ f (t )] = ∫ − f (t ) e dt
− st 0
+∞
求f (t ) = δ (t )的Laplace变换
解答
Laplace 变换表的使用
1、求 s i n 2t s i n 3t的 Laplace变换 查附录II 20式可得 L [ s i n 2 t sin3 t ]=
∫
+∞ 0
L [t m ]=
m! s m +1
(Re s > 0)
∴
例5
解答
st
求 f (t ) = te 的Laplace变换
∫
+∞
0
tekte −st dt = −
∴
1 +∞ td [e − ( s −k )t ] s − k ∫0 +∞ 1 −( s− k ) t =− {[te− ( s−k ) t ]+∞ dt } 0 − ∫0 e s −k 1 = ( s − k) 2 1 L [tekt ] = ( Re s > Re k ) ( s − k )2
0
1
2
3
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
t=[-3:0.001:3]; y=0.*(t<0)+1.*(t>=0); plot(t,y)
例2
求指数函数f ( t) = ekt的Laplace变换（k为实数）
解答
L [ f (t )] = ∫ e kte − st dt = ∫ −e − ( s−k )t dt
2 2
求f (t ) = cos kt的Laplace变换
= s L [ f (t) ] − sf (0)
2
= s 2L [cos kt ] − s ⇒ L [cos kt ] = s s + k2
2
积分性质
证明
L [ f ]=L [
t 0
1 L [ ∫ f (τ ) dτ ] = L [ f (t )] 0 s
例1
0, t < 0 求单位阶跃函数u( t) = 的Laplace变换 1, t > 0
1 0.8
解答
L [u (t )] = ∫ =
+∞
0
1 e dt = − e− st s
− st
10 9 8 7 6 5 4
+∞
0
Re( s )> 0
0.6
0.4
1 , s
0.2
3 2
0 -3
1
-2
-1
− sτ L [ f (t − τ )] = e L [ f (t )] −1 − sτ L [e F (s )] = f (t − τ )
解答
Laplace 逆变换
1 β + i∞ L[ f ] e st ds 称为 Laplace反演积分，其中β > 0常数 2πi ∫β −i ∞ 如果f (t )满足 1、 t < 0 时，f (t ) = 0 2、 t ≥ 0 时，f (t )及 f ′ (t )除去有限个第一类间断点外处处连续 3、存在常数M > 0, c 0 ≥ 0, 使得 f ≤ Me c0t , t ≥ 0 则 f ( t) = 1 β +i ∞ L[ f ]e st d s ， β > c 0 2π i ∫β − i∞
=
e− bt π π − bt π − 2sin sin bt − = e sin − bt 结合附录 II 17式可得 2 4 4 4
Laplace 变换的线性性质
微分性质
L [α f1 + β f2 ] = αL [ f1 ] + β L [ f2 ]
k =1 st s =s k n s = sk
n
即f (t ) = ∑ Res[ F (s ) e ], t > 0
k =1
一类有理函数式的留数计算
A( s) F ( s) = ，其中A (s )，B ( s)是不可约多项式， B ( s) B ( s)的次数是n , 而且 A( s)的次数小于 B (s )的次数
k s + k2
2
1 +∞ − (s −i k)t e −e − (s + ik ) t dt 2i ∫0 1 1 1 k = − , ( Re s > 0 ) = 2 2i s − ik s + ik s + k 2 =
推论
练习
同理 L [cos kt ] =
Re( s ) > 0
+∞ 0
例3
求正弦函数 f (t ) = sin kt的 Laplace变换
f (t )e − stdt 在半平
面 Re(s ) > c上存在且为解析函数，右端的积分在 Re(s ) > c1 > c上绝对且一致收敛。
解答
L [sin kt ] = ∫0 sin kte − st dt
分部积 分 +∞
L[δ (t )] = ∫ − δ (t )e dt
− st 0 +∞
(s
2
12s + 52 )( s2 + 1)
2、求 利用
e− bt ( cos bt − sin bt ) 的Laplace变换 2
= ∫ δ (t )e− st dt = e− st
−∞
+∞
t=0
=1
e− bt e− bt π ( cos bt − sin bt ) = cos bt − cos − bt 2 2 2
1 L [u (t − τ )] = e− sτ L [u ( t )] = e− sτ s
计算反演积分的一个方法
如果s1 , s2 ,L, sn 是函数F (s )的所有奇点（适当选取
证明
1 β +iR F ( s ) est ds + ∫ F (s ) est ds ∫β −iR CR 2π i n 1 st st = Res[ F( s )e ] ∫ F ( s )e ds = ∑ s = sk 2π i Ñ k =1 C 两边令R → ∞得
L [f
] = sn L[ f ] − s n−1 f (0) − sn −2 f ′(0) − L − f n −1 (0)
例7
解答
− k L [cos kt ] = L [− k cos kt ] = L [ f ′′(t) ] = sL [ f ′(t) ] − f ′(0) = sL [ f ′(t) ]
0 0 Re( s ) >k
+∞
+∞
=
LaplaceTransform[Exp[k t], t, s]
1 , s−k
Laplace 变换存在定理
如果函数f (t )满足以下条件 1、在t ≥ 0的任一有限区间上分段连续 2、t →+∞时f 的增长速度不超过某一指数函数， 亦即存在常数M > 0, c ≥ 0, 使得 f ≤ Me ct , t ≥ 0 则f (t )的Laplace变换 F (s ) = ∫
位移性质
L [e at f (t) ] = L [ f ( s − a)],
( Re(s − a) > c )
证明
L [e at f (t )] = ∫ e at f (t )e − s t dt
0 +∞
例 10
=∫
+∞
0
f (t )e
−( s−a )t
dt = L [ f ( s− a)]
求eat t m , e −at sin kt的Laplace变换
n 1 β + i∞ F (s ) est ds = ∑ Res[F( s )e st ] ∫ β − i ∞ s =s k 2π i k =1
β 使这些奇点全在 Re( s) < β的范围内），且当 s → ∞时， F ( s ) → 0, 则有 1 2π i
∫
β +i∞
β −i∞
F (s ) est ds = ∑ Res[ F( s )e st ]
递推公式： Γ( s + 1) = sΓ (s) (s > 0)， Γ (1) = ∫
+∞ 0
e− x dx = 1
1 5
Γ (n + 1) = n!
1 0
5
1
2
3
4
5
6
延迟性质
例 11
0,t < τ 求u (t − τ ) = 的Laplace变换 1, t > τ
如果t < 0时 f (t ) = 0，记 F ( s ）＝L [ f (t )], 则
∞ ∞ sinh t 1 ] = ∫ L [sinh t ] d s = ∫ 2 ds s s t s −1 1 s +1 = ln 2 s −1
例9
L[
∫
+∞
0
sin t dt t
解答
∞ sin t dt = ∫0 t ∫s L [sin t]ds ∞ 1 π ∞ =∫ 2 ds = arctan s 0 = 0 s +1 2 +∞
另解
L [sin kt ] = ∫ sin kte− st dt
0 +∞
= −
∞ 1 − 1 + s e− st cos ktdt ∫ 0 k
=
1 s2 − k k2
∫
+∞
0
sin kte − st dt
Re( s) >0
⇒ L [sin kt ] =
LaplaceTransform[Sin[k t], t, s]
情况 2
s1是B( s )的一个m阶零点，sm +1 L , s n是B( s )的单零点，即 s1是 A( s ) 的一个m阶极点，si (i = m + 1,L , n) 是它的单极 B( s ) m A ( s) sk t ( s − s1 ) B( s) e ，
例 12
情况 1
B( s )有n个单零点s1 , s2 L, sn , 即这些点都为 A( s) B ( s)
A( s) st A( sk ) sk t 的单极点，从而 Res e = e ，故 s =sk B( s) B′( sk ) n A(sk ) sk t f (t ) = ∑ e ,t > 0 B ′( sk ) k =1
Laplace 变换定义
Laplace变换
函数f ( t)当t ≥ 0时有定义， s ∈ C , 而且积分 ∫ F (s ) = ∫
+∞ − st f (t ) e dt
+∞
0
− st f (t ) e dt
在s的 某一域 中收敛，则由此积分所确定的函数可写为
0
称之为f 的Laplace变换, 记为F ( s ) = L [ f ( t )] 若F ( s )是f (t )的Laplace变换，则称f (t )为F ( s )的Laplace逆 变换，记为f (t ) = L − 1[ F( s )]
L [ f ′] = s L [ f ] − f (0)
证明
L [ f ′] = ∫ = f (t )e
+∞
微分性质的进一步推论
0
f ′(t)e − st dt + s∫
+∞ 0
(L
− st
[ f ])′ = L [−tf (t) ]
(n)
− st +∞ 0
f (t )e dt = sL [ f ] − f (0)