北师大版八年级数学上册第三章 位置与坐标 章末单元复习 导学案

北师大版八年级数学上册第三章位置与坐标章末单元复习导学案

本章知识回顾

1．在平面内确定物体位置的方法

(1)在平面内，确定一个物体的位置一般需要2个数据．

(2)在平面内，确定一个物体的位置的方法通常有以下四种：①行列定位法；②方向角＋距离定位法；③经纬定位法；④区域定位法．

2．在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限．

3．在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序数对(即点的坐标)与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应．

4．平面直角坐标系中点的坐标特点

(1)坐标轴上的点的坐标：在x轴上的点的纵坐标为0，在y轴上的点的横坐标为0.

(2)象限内的点的坐标：第一象限内的点的横、纵坐标都为正数；第二象限内的点的横坐标为负数，纵坐标为正数；第三象限内的点的横、纵坐标都为负数；第四象限内的点的横坐标为正数，纵坐标为负数．

(3)平行于坐标轴的点的坐标：平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标都相同．

(4)坐标轴夹角平分线上的点的坐标：第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．

5．轴对称与点的坐标变化

(1)关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a，－b)．

(2)关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即点(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(－a，b)．

精讲精练

【例1】如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD，AB＝CD，CD在x轴上，B点在y轴上，若OB＝OC，点A的坐标为(－3－1，3)．求：

(1)点B ，C ，D 的坐标；

(2)S △ACD .

解：(1)因为点A 的坐标为(－3－1，3)．

所以点A 到y 轴的距离是|－3－1|＝3＋1，到x 轴的距离是3，

所以AB ＝CD ＝3＋1，OB ＝OC ＝ 3.

所以OD ＝1.

所以点B 的坐标为(0，3)，点C 的坐标为(3，0)，点D 的坐标为(－1，0)．

(2)S △ACD ＝12CD·OB＝12×(3＋1)×3＝3＋32

.

【跟踪训练1】 已知点M(3a －2，a ＋6)，分别根据下列条件求出点M 的坐标．

(1)点M 在x 轴上；

(2)点N 的坐标为(2，5)，且直线MN∥x 轴；

(3)点M 到x 轴、y 轴的距离相等．

解：(1)因为点M 在x 轴上，

所以a ＋6＝0，解得a ＝－6.

所以3a －2＝－18－2＝－20.

所以点M 的坐标是(－20，0)．

(2)因为直线MN∥x 轴，

所以a ＋6＝5，

解得a ＝－1.

所以3a －2＝3×(－1)－2＝－5.

所以点M 的坐标为(－5，5)．

(3)因为点M 到x 轴、y 轴的距离相等，

所以|3a －2|＝|a ＋6|，

解得a ＝4或a ＝－1.

所以点M 的坐标为(10，10)或(－5，5)．

【例2】 已知在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A(－3，4)，B(4，－2)．

(1)求点A ，B 关于y 轴对称的点的坐标；

(2)在平面直角坐标系中分别作出点A ，B 关于x 轴对称的点M ，N ，顺次连接AM ，BM ，BN ，AN ，求四边形AMBN 的面积．

解：(1)根据轴对称的性质，得

点A(－3，4)关于y 轴对称的点的坐标是(3，4)；

点B(4，－2)关于y 轴对称的点的坐标是(－4，－2)．

(2)由点M ，N 分别与点A ，B 关于x 轴对称，可得M(－3，－4)，N(4，2)，图略．

S 四边形AMBN ＝(4＋8)×7×12

＝42.

【跟踪训练2】 如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(－2，3)，B(－6，0)，C(－1，0)．

(1)将△ABC 沿x 轴翻折，则翻折后点A 的对应点的坐标是(－2，－3)；

(2)求点A 关于第一、三象限的角平分线的对称点D 的坐标，请画图并说明理由．

解：如图所示，由图中可以看出点D 的坐标为(3，－2)．

【例3】 如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b ，0)，C(b ，c)三点，其中a ，b ，c 满足关系式|a －2|＋(b －3)2＝0，(c －5)2

≤0.

(1)求a ，b ，c 的值；

(2)如果在第二象限内有一点P(m ，53

)，请用含m 的式子表示四边形APOB 的面积； (3)在(2)的条件下，是否存在点P ，使四边形AOBC 的面积是四边形APOB 的面积的2倍？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．

解：(1)由已知|a －2|＋(b －3)2＝0，(c －5)2

≤0可得：

a －2＝0，

b －3＝0，

c －5＝0，

解得a ＝2，b ＝3，c ＝5.

(2)因为a ＝2，b ＝3，c ＝5，

所以A(0，2)，B(3，0)，C(3，5)．

所以OA ＝2，OB ＝3.

所以S 四边形ABOP ＝S △ABO ＋S △APO ＝12×2×3＋12

×(－m)×2＝3－m. (3)存在．因为S 四边形AOBC ＝S △AOB ＋S △ABC ＝3＋12

×3×5＝10.5， 所以2(3－m)＝10.5，解得m ＝－94

. 所以存在点P(－94，53

)，使四边形AOBC 的面积是四边形APOB 的面积的2倍．

【跟踪训练3】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且OB ＝OA ＝3.