北京市平谷区高考数学一模试卷(理科)

高考数学一模试卷（理科）

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知集合A={x|0≤x≤2}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（）

A. {0}

B. {0，1}

C. {0，2}

D. {0，1，2}

2.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）

A. y=

B. y=ln x

C. y=sin x

D. y=2-x

3.若实数x，y满足，则z=y-x的最小值为（）

A. -2

B. 2

C. -4

D. 4

4.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）

A.

B.

C.

D.

5.在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为（）

A. 1

B. 3-

C. +3

D. 5

6.设，是非零向量，则“|-|=||+||”是“∥”的（）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

8.放射性物质的半衰期T定义为每经过时间T，该物质的质量会衰退原来的一半，铅

制容器中有两种放射性物质A，B，开始记录是容器中物质A的质量是物质B的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质A的半衰期为7.5个小时，则物质B的半衰期为（）

A. 10小时

B. 8小时

C. 12小时

D. 15小时

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

9.复数=______．

10.的展开式中含x4项的系数是______．

11.中国古代数学著作《算数统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里米，初行健步

不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关…”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的1一半，共走了六天到达关口…”那么该人第一天走得路程为______．

12.设双曲线C经过点（4，3），且与-=1具有相同渐近线，则C的方程为______，

离心率为______．

13.已知函数f（x）=sin（2x+φ）（其中φ为实数），若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，

则满足条件的φ值为______（写出满足条件的一个φ值即可）

14.如图，在菱形ABCD中，∠B=，AB=4，

（1）若P为BC的中点，则•=______；

（2）点P在线段BC上运动，则|+|的最小值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）

15.已知f（x）=sin x-cos x，A，B，C为△ABC的三个内角，BC=2，f（A）=0．

（Ⅰ）求A角；

（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

16.随着社会的进步，经济的发展，道路上的汽车越开越多，随之而来的交通事故也增

多．据有关部门调查，发生车祸的驾驶员尤其是21岁以下年轻人所占的比例居高，因此交通管理有关部门，对2018年参加驾照考试的21岁以下的学员随机抽取10名学员，对他们参加的科目三（道路驾驶）和科目四（安全文明驾驶相关知识）进行两轮现场测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该学员的抽测成绩．记录数据如下：

（）从年参加驾照考试的岁以下学员中随机选取一名学员，试估计这名学员抽测成绩大于或等于90分的概率；

（2）根据规定，科目三和科目四测试成绩均达到90分以上（含90分）才算测试合格．

（i）从抽测的1号到5号学员中任取两名学员，记X为学员测试合格的人数，求X 得分布列和数学期望E（X）；

（ii）记抽取的10名学员科目三和科目四测试成绩分别为s1，s2，试比较s1与s2的大小．

17.如图，四棱锥P-ABCD中底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD上的一点，

PB∥平面AEC；

（Ⅰ）求证：E为PD的中点；

（Ⅱ）求证：CD⊥AE；

（Ⅲ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求AB长．

18.已知函数f（x）=x--（a+1）ln x．

（Ⅰ）若函数f（x）在点（3，f（3））处切线斜率为0，求a的值；

（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若f（x）在x=1处取得极大值，求a的取值范围．

19.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2；

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设椭圆上顶点A，左、右顶点分别为B、C．直线l∥AB且交椭圆于E、F两点，点E关于y轴的对称点G，求证：CF∥AG．

20.给定数列a1，a2，a3…a n，对于i=1，2，3，…n-1，该数列前i项的最大值记为A i，

后n-i项a i+1，a i+2，a i+3，…a n的最小值记为B i，d i=A i-B i．

（Ⅰ）若{a n}为3，4，7，5，2，写出d1，d2，d3，d4的值；

（Ⅱ）设a1，a2，a3…a n（n≥4）是a1＞0，公比q＞1的等比数列，证明：d1，d2，d3，…d n-1成等比数列．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：∵集合A={x|0≤x≤2}，B={0，1，2，3}，

∴A∩B={0，1，2}．

故选：D．

利用交集定义直接求解．

本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】B

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，y=，为反比例函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；

对于B，y=ln x，为指数函数，在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；

对于C，y=sin x，为正弦函数，在（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；

对于D，y=2-x=（）x，是指数函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；

故选：B．

根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．

本题考查函数的单调性的判断，关键掌握常见函数的单调性，属于基础题．

3.【答案】C

【解析】解：实数x，y满足表

示的区域如图：

设z=y-x，则y=x+z，所以z的最小值是过A（4，

0）与直线y=x平行的直线在y轴的截距，为

0-4=-4．

故选：C．

首先画出不等式组表示的平面区域，再根据目

标函数的几何意义求最小值．

本题考查了简单线性规划的问题，首先正确画

出平面区域，然后根据目标函数的几何意义求最值．

4.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查程序框图的识别和判断，根据程序条件进行模拟是解决本题的关键．

根据条件，进行模拟运行，k=5时，退出循环，即可得出结论．

【解答】

解：由题意，k=5时，退出循环，S=cos=，

故选：A．

5.【答案】A