高等量子力学考试题

1.一个包含两个质量和频率都相同的线性谐振子系统，它们之间存在相互作用，其哈密顿算符为：
1212
2
2222ˆˆˆ()()1ˆ()...(1,2)22i i i H H x H x x x H x m x i m x λω=++∂=-+=∂ (1) 试证明该系统可以表述为两个非耦合谐振子系统
(2) 求出该系统的能量
2.由李普曼-许温格方程01V E H i ϕε
±±ψ=+ψ-± 试计算下列关系式： (1)
b a ++
ψψ
(2) b a -+ψψ
3.已知混沌场密度算符1H k T B Z e ρ--=，其中H k T B Z Tre -=，系统的哈密顿量1ˆ()2
H a a ω+=+，求此混沌场系统中ˆN a a +=和2ˆN 平均值。

4.设两种系统的哈密顿能量分别为：221ˆˆˆˆˆ()()2
H b b b b ωα++=+++和ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(1)()H
a a
b b ab a b ωα++++=++++，其中ˆˆa b 、和++ˆˆa b 、为玻色子算符，求两种系统的元激发谱。

5.已知位移算符*ˆˆˆ()exp()D
b b ααα+=-，α为非零复数，ˆb +是声子产生算符，ˆb 是声子消灭算符。

(1) 试计算关系式4
()()?D b D αα+= (2) 将位移算符作用于声子真空态得到相干态()0D αα=，试证明相干态α就是ˆb
的本征态，对应的本征值为α。

(3) 计算相干态在坐标表象中的结果：?x α=
(4) 试证等式*()b αααααα+∂=+
∂和*()b αααααα∂=+∂ (5) 试判断声子产生算符ˆb +是否存在本征态，并证明你的判断。