基本不等式导学案

基本不等式（导学案）

预习案

、预习内容

如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北

京召开的24届国际数学家大会上作为会标。你知道这其中含

有哪些相等关系或不等关系吗？

设小直角三角形的两条直角边为a、b （a =

b），

则正方形的边长为_____________ ，正方形的面积

为 __________ 。四个直角三角形的面积和为 ___________

4 S

三角形：:：S正方形—■

思考：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是________________________ ,

（4 S

三角形=S正方形）— _________________________ 。

教学案

一、学习目标

o I K

（1）学会推导不等式ab辽——，理解基本不等式的几何意义。

2

（2）知道算术平均数、几何平均数的概念

（3）会用基本不等式求一些简单的最值问题

二、学习难点

理解“当且仅当a =b时取等号”的意义。

三、学生学习活动过程

1 •学生预习成果展示

概念：一般的,对于任意的实数a,b ,我们有__________ ,当且仅当________ 时，等号成立•特别的，如果|a>0,b>0|，我们用嘉、b分别代替a,b ,可得__________________ 。我们通常把上式写成ab乞（a 0,b 0）

2

第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的，那么第二个不等式我们能不能直接利用不等式的性质来推导呢？

证明过程：要证

a b_ ab

2 ①

只需证②（同时平方）

要证②只需证=0 ③（右边的项移到左

侧）

要证③只需证( -)2-0 ④

显然④成立•当且仅当a=b时，等号成立.

2 •小组合作学习-研讨

概念扩展：回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数a,b,且a 0,b 0,

—是a,b的，叫做a,b的算术平均数，

2

.ab是叫做a,b的___________ ，叫做a,b的几何平均数，

由基本不等式可得：a,b的等差中项_________ a,b的等比中项_______ ，特别的，当a=b时，a,b的等差中项等于a,b的等比中项。

3.当堂训练

1

习题:若a > 0，贝y a、_ ■- ___________

a

a b

若ab .0 ,则a - - ______________

b a

习题二：(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用

篱笆最短？

设菜园的长为x，宽为y，贝U xy = _____ ，篱笆的总长度表示为________________

由-―-■. ab 可得x - y __ __ ,

2

当等号成立时，所用篱笆最短，此时x = ___ , y =_ .

(2) —段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？

设菜园的长为x ,宽为y，贝U x y =_______ ,篱笆的面积表示为_________________

由-—-ab 可得xy _____ ______ ,

2

当等号成立时，面积最大，此时x= _____ ,y= _____ .

总结：两个实数a 0,b 0,

若它们的积为定值，则它们的和有最值，当且仅当a二b成立。

若它们的和为定值，则它们的和有最值，当且仅当a=b成立。

巩固案

一、练习：1直角三角形的面积为50,两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小

值为多少？

设两边分别为x, y。贝U xy= ______ x+y ____________

2用20cm长的历铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折?

3把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小?