函数与导数2(题库版)

当
0
<
a
<
1 2
时，
f (x)
在
(0,
1),
21a , + ∞
单调递增，在
1,
1 2a
2
时，
f (x)
在
(0,
+
∞)
单调递增；
当
a
>
1 2
时，
f
(x)
在
0,
1 2a
, (1, + ∞) 单调递增，在
21a , 1
单调递减 .
（3）消元统一变量 .
【解析】
4. 已知函数 f(x) = |x - m| 和函数 g(x) = x|x - m| +m2 - 7m. （1）若方程 f(x) = |m| 在 [4, + ∞) 上有两个不同的解，求实数 m 的取值范围； （2）若对任意 x1 ∈ (- ∞ , 4]，均存在 x2 ∈ [3, + ∞)，使得 f(x1) > g(x2) 成立，求实数 m 的取值范围 . 【出处】苏州一调 20 【难度】★★★ 【答案】（1） [-2, 0) ∪ (0, + ∞). （2） (1, 4 + 23 ). 【解析】
【难度】★★★
【答案】（1） 41 e2 - 2 + 2ln2. （2）
e2 4
,
e4 16
.
【解析】
2.
已知函数
f (x)
=
ex -
a 2
x2
-
ax(a
>
0).
（1）当 a = 1 时，求证：对于任意 x > 0，都有 f(x) > 0 成立；
（2）若函数
y
=
f (x)
恰好在
x
=
x1 和
x
=
x2 两处取得极值，求证：
【出处】 2019 南京三模 19
【难度】★★★
【答案】（1） a = - 1, b = - 2. （2）
0,
2 3
.
（3）
0,
e 2
.
【解析】
6. 已知函数 f(x) = (x + k + 1)x - k , g(x) = x - k + 3 ，其中 k 是实数 .
（1）若
k
=
0，解不等式
x f(x)
【出处】 2017 徐州、连云港、宿迁三检 20
【难度】★★★ 【答案】（1） (1, + ∞). （2） m = 1. （3） 21 , e . 【解析】
9. 已知函数 f1(x) = e|x - 2a + 1|, f2(x) = e|x - a| +1， x ∈ R.
（1）若 a = 2，求函数 f(x) = f1(x) + f2(x) 在 x ∈ [2, 3] 上的最小值；
≥
21 x+3 g(x)；
（2）若 k ≥ 0，求关于 x 的方程 f(x) = xg(x) 实根的个数 .
【出处】 2016 南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调 19
【难度】★★★
【答案】（1）
[1,
+
∞).
（2）当
k
≥
1 2
或
k
=
1 3
时，原方程有唯一解；当
0
≤
k
<
1 2
且
k
≠
1 3
时，原方
程有两解 .
第二讲 函数与导数
1. 设函数 f(x) = x-2ex - k(x - 2ln x) (k 为实常数， e = 2.71828 ⋯ 是自然对数的底数 ).
（1）当 k = 1 时，求函数 f(x) 的最小值；
（2）若函数 f(x) 在区间 (0, 4) 内存在三个极值点，求 k 的取值范围 .
【出处】 2016 苏锡常镇一调 19
【出处】 2019 盐城三模 19
【难度】★★★
【答案】（1） y = (1 - e)x. （2）
-
∞
,
1 e
∪ [1, + ∞). （3）略 .
【解析】
8.
已知函数 f(x) =
m x
+
xln
x(m
>
0),
g(x)
=
ln x
- 2.
（1）当 m = （2）设函数
1 时，求函数 f(x) 的单调增区间；
取值集合 .
【出处】 2018 苏锡常镇调研（一） 19
【难度】★★★
b + 5 - ln 2,
【答案】（1）
M
(b)
=
3b
+
1-2ln2 ,
1 ≤ b ≤ 9-4ln2 ,
9-ln2 4
<
b
≤
3.
（2）①
e23
；② {e }.
【解析】
的值域
.
【出处】 2018 苏锡常镇调研（一） 19
【难度】★★★
【答案】（1） [1, + ∞). （2）① a = 0；② [0, + ∞).
【解析】
11. 已知函数 f(x) = ex - ax - 1，其中 e 为自然对数的底数， a ∈ R.
（1）若 a = e，函数 g(x) = (2 - e)x.
h(x) = f(x) - xg(x) - 2 , x > 0，若函数
y
=
h(h(x))
的最小值是
322 ，求
m
的值；
（3）若函数 f(x), g(x) 的定义域都是 [1, e]，对于函数 f(x) 的图像上的任意一点 A，在函数 g(x) 的图像
上都存在一点 B，使得 OA ⊥ OB，其中 e 为自然对数的底数， O 为坐标原点，求实数 m 的取值范围 .
1, 【答案】（1） 2e. （2） [0, 2]. （3） g(x)min = e2a - 7,
1 ≤ a ≤ 72 ,
7 2
<
a
≤
4,
e, 4 < a ≤ 6,
ea - 5, a > 6.
【解析】
10. 已知函数 f(x) = x3 + ax2 + bx + c, g(x) = ln x.
5.
已知函数 f(x) =
ln x
+
a x
+
1,
a
∈
R.
（1）若函数 f(x) 在 x = 1 处的切线为 y = 2x + b，求 a, b 的值；
（2）记 g(x) = f(x) + ax，若函数 g(x) 在区间
0,
1 2
上有最小值，求实数 a 的取值范围；
（3）当 a = 0 时，关于 x 的方程 f(x) = bx2 有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值范围 .
【解析】
7. 设函数 f(x) = x - aex(e 为自然对数的底数 , a ∈ R).
（1）当 a = 1 时，求函数 f(x) 的图像在 x = 1 处的切线方程；
（2）若函数 f(x) 在区间 (0, 1) 上具有单调性，求实数 a 的取值范围；
（3）若函数 g(x) = (ex - e) f (x) 有且仅有 3 个不同的零点 x1, x2, x3，且 x1 < x2 < x3, x3 - x1 = 1，求证： x1 + x3 ≤ ee -+11 .
【出处】 2017 南京、盐城、连云港二模 19
【难度】★★★
【答案】（1）①
h(x)
的单调递减区间是
(-
∞
,
ln 2]，单调递增区间是
[ln 2,
+
∞)；②
0,
1 e-2
.
（2）略 .
【解析】
12. 已知 a, b 为实数，函数 f(x) = ax3 - bx.
（1）当 a = 1 且 b ∈ [1, 3] 时，求函数 F(x) =
（2）若 x ∈ [a, + ∞) 时， f2(x) ≥ f1(x)，求实数 a 的取值范围；
（3）求函数
g(x)
=
f1(x) +f2(x) 2
-
| f1(x)-f2(x)| 2
在
[1,
6]
上的最小值
.
【出处】盐城二模 20
【难度】★★★★☆
e2 e2
-
a, 2a,
a < 0, 0 ≤ a < 1,
f (x) x
-
ln
x
+ 2b + 1
x ∈ 21 , 2
（2）当 a = 0, b = - 1 时，记 h(x) = fln(xx) .
的最大值 M (b) ；
①设函数 h(x) 的图像上一点 P(x0, y0) 处的切线方程为 y = y(x)，记 g(x) = h(x) - y(x)，问：是否存在
x1+x2 2
<
ln a.
【出处】 2019 无锡期末 19
【难度】★★★
【答案】（1）略 . （2）对数均值不等式处理 .
【解析】
3. 已知函数 f(x) = ax2 - bx + ln x, a, b ∈ R.
（1）当 a = b = 1 时，求曲线 y = f(x) 在 x = 1 处的切线方程；
（1）若 a = 0, b = - 2，且 f(x) ≥ g(x) 恒成立，求实数 c 的取值范围；
（2）若 b = - 3，且函数 y = f(x) 在区间 (-1, 1) 上是单调减函数 .
①求实数 a 的值；
②当
c
=
2
时，求函数
h(x)
=
gf ((xx)),,
f (x) f (x)
≥ <
g(x), g(x)
（2）当 b = 2a + 1 时，讨论函数 f(x) 的单调性；
（3）当 a = 1, b > 3 时，记函数 f(x) 的导函数 f'(x) 的两个零点是 x1 和 x2(x1 < x2)，求证： f(x1) - f(x2)
>
3 4
-
ln
2.
【出处】 2017 南京学情调研 20
【难度】★★★
【答案】（1） 2x - y - 2 = 0. （2）当 a ≤ 0 时， f(x) 在 (0, 1) 单调递增，在 (1, + ∞) 单调递减；
x0，使得对于任意 x1 ∈ (0, x0)，任意 x2 ∈ (x0, + ∞)，都有 g(x1)g(x2) < 0 恒成立？若存在，求出所有可能
的 x0 组成的集合；若不存在，请说明理由 .
②令函数 H (x) = 2xe , x ≥ s, 若对任意实数 k，总存在实数 x0，使得 H (x0) = k 成立，求实数 s 的 h(x), 0 < x < s
①求函数 h(x) = f(x) - g(x) 的单调区间；
②若函数
F
(x)
=
gf ((xx)),,
x x
≤ >
m, m
的值域为
R，求实数
m
的取值范围
（2）若存在实数 x1, x2 ∈ [0, 2]，使得 f(x1) = f(x2)，且 |x1 - x2| ≥ 1，求证： e - 1 ≤ a ≤ e2 - e.