简谐振动中的振幅周期频率和相位

16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
例：已知振动曲线，求： 振动表达式。
解：设振动表达式为：
x Acos(t )
x (cm )
4
o2
-2
1
-4
xt 图
t (s)
由振动曲线知： A 4cm
初始条件： t 0 时 ，x0 2cm, 0 0
由振动曲线还可知： t 1s 时，x1 2cm, 1 0
相位差：两个振动在同一时刻的相位之差，或同 一振动在不同时刻的相位之差。
两个同频率的简谐振动，在同时刻的相位差：
( t 20 ) ( t 10 ) 20 10
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16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
四 常数 A 和 的确定 x Acos(t )
v A sin(t )
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第16章 机械振动
t 0 对应
x Acos0 A
v A sin0 0
正的最大位移， 速度为0的状态。
t / 2 对应
x Acos / 2 0 v A sin / 2 A
平衡位置，速度最大且 向 x 负向运动的状态。
初相位 是 t = 0时刻的相位，描述质点初始时刻的
初始条件 t 0 x x0 v v0
x0 A cos v0 Asin
A
x02
v02
2
tan v0 x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相位由初始条件决定。
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16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
说明：
A
x02
v02
2
tan v0 x0
（1） 的取值在 -π和 +π（或0和2π）之间；
（2）应用上面的式子求 时，一般来说有两个值，还 要由初始条件来判断应该取哪个值；
（3） 常用方法：由
A＝
x02
v0
2
然后由
x0 = Acos，v0 = - Aωsin 两者的共同部分求 。
求出A，
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16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
讨论 已知 t 0, x0 0,0 0，求
运动状态。初相位由初始条件确定。
( 取 [ π π] 或 [0 2π] )
初相位与时间零点的选择有关。
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16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
x Acos(t )
对于一个简谐振动，若振幅、周期和初相位 已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了该 运动的全部信息，因此我们把振幅、周期和初相 位叫做描述简谐运动的三个特征量。
2ห้องสมุดไป่ตู้
2
,
（注意：这里不能等于
）
3
3
又由 1 Asin(
sin( 2 ) 0 ,
2) 0 ,
3
2
5
,
3
Tt
T
A
2
A xmax
振幅A：物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
振幅的大小与振动系统的能量有关，由 系统的初始条件确定。
2
16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
二 周期、频率（ Period 、 Frequency ）
周期T：物体完成一次完全振动所用的时间。
x Acos(t ) Acos[(t T ) ]
对于弹簧振子：
k , 1 k , T 2 m
m
2 m
k
简谐运动的表达式还可以写为:
x Acos( t ) Acos(2 t ) Acos(2 t )
T 4
16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
三 相位（Phase）描述振动物体运动状态的物理量
x Acos(t )
3）已知振动表达式，求出：
A、、 及、a、F 等
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16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
例：一弹簧振子系统，弹簧的弹性系数为 k = 0.72N/m， 物体的质量为 m = 20 g。今将物体从平衡位置沿桌面向X 轴正向拉长到 0.04m 处静止释放，求：振动方程。
解：要求振动方程，只要确定 A、ω和 即可。
T 2
频率 1
T 2π
T 2π
表示单位时间内物体 完成全振动的次数。
角频率 2π 2π
表示 秒时间内物体 完成全振动的次数。
T （也称圆频率）
3
16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
说明： 1）简谐运动的基本特性是它的周期性； 2）周期、频率或圆频率均由振动系统本 身的性质所决定。
由题可知：k、m、x0、v0，代入公式可得：
k m
0.72 6 rad s1 , A
0.02
x02
v02
2
0.04m
又因为 x0 为正，初速度 v0＝0，可得 0
0 Asin 0 , sin 0 , 0 或
又由 x0 Acos 0 cos 0 ,
因而简谐振动的方程为：x 0.04cos(6t) (m) 12
v A sin(t )
用相位来描述运动 状态，就可以区分位置 和速度都相同的状态。
x
A
o A v
v v
T 2
xt 图
v T t
v
t : t 时刻的相位，描述 t 时刻的运动状态。
相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态；
质点运动状态全同，则相位一定相差2π ，或 2π的整数倍 。（周期性）
x0 又由
Acos
0 A
s
即：
in 0
2
,
4 cos sin
， 0,
2
3
2
3
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16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
由 t 1s 时，x1 2cm,
即：2 4cos( 2 )
3
cos( 2 ) 1
32
x (cm )
4
o2
-2
1
-4
xt 图
t (s)
16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
主要内容：
描述简谐振动的物理量：
振幅
周期 频率 角频率
位相和初位相
学习中的重点和难点：
位相（phase）
1
16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
x Acos(t )
x xt图
一、 振幅（Amplitude） A
反映振动幅度的大小 o
x Acos(t )
0 Acos
π
2
0 A sin 0
x
A
sin 0 取 π
2
o
x Acos(t
π )
A
2
v
x
o
Tt
T 2
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16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
求解简谐运动的典型问题：
1）给出振动系统，证明物体的运动 是简谐运动。
2）已知物体作简谐运动，由系统的力学 性质及初始条件求出振动表达式；或 由振动曲线求出振动表达式。