定态薛定谔方程解的算例

x0 x0
定义：势能在空间某一位置由一个值突然变
V (x)
V (x) V0
为另一个值的势场。
在量子力学中，只需要求解薛定谔方程：
V (x) 0
x
h2 2m
2
V
( x)
(x)
E
(x)
0
a)对x<0区域，V(x)=0
d 2 1 ( x)
dx2
k12 1 ( x)
0
k12
2mE h2
向右传播 的行波
的能量无关。
2）与经典粒子不同的第二点。由
E
22
2ma 2
n2
量子粒子的 最小能量为：
E1
22
2ma 2
0
这符合不确定关系，因为量子粒子在有限空间内运动，其速度 不可能为零，而经典粒子可能处于静止的能量为零的最低能态
3）由粒子的能量公式，可得到势阱中粒子的动量:
pn 2mEn n a k
E
)
(
x)
0
I区 V 0
d2
dx2
ψ(ξ)=A e-1/2ξ2 0
波函数的图形
ψ(ξ)=A ξe-1/2ξ2 1
(x) (x)
偶函数
波函数的空间 对称是偶性的， 就称宇称是偶 性的—偶宇称
n=0
ξ
n=2
n=4
n=1
n=3
奇函数 奇宇称
n=5
由
2E
h
2n 1
所以谐振子的能量本征值为:
En
(n
1 )h
2
E0
1 2
h
1 2
例题
根据叠加原理，几个波函数的叠加仍是一个波函数。 假设在无限深势阱中粒子的一个叠加态是有基态和 第一激发态叠加而成，前者的幅是1/2 ，后者的幅 是 （这3 /就2 意味着基态的基本概率是1/4，第一激 发态的基本概率是3/4）。 试求这一叠加态的概率分布。
3、阶跃势
粒子在阶跃势场中的运动
0, V (x) V0
势井中粒子的 能量本征值
1）势阱内粒子能量是量子化的，是势阱中波函数的共同点
E
n2 , En
n,n , En En
2 n
0
2）不存在n=0的波函数，零点能不为零:
h2 2
E1 2ma2
为什么？这是由粒子的波动性所决定的，由不确定原理：
xp h 2
势阱中的位置不确定量为Δx≈a
p h 2a
2
粒子的能量本征 函数与坐标关系
(x)
(x)
n5
n6
E 25E0
E 36 E0
x
E 9E0 n 3
n4
E 16 E0
x
n 1
E E0
a
0
2
n2 E 4E0
a a
0
源自文库
2
2
ax
2
2 cos n x ，n奇数 aa
2 sin n x , n偶数
aa
偶宇称
奇宇称
ψ(ξ)=A e-1/2ξ2 0
Ek E E V0 V0 E
粒子在到达区域内，其动能的不确定度大于其名义上的负动能值。
因此，该负动能只不过是被不确定关系“掩盖”了，它只是一 种观察不到的“虚”动能。这和实验上能观察到的能量守恒并 不矛盾。
4、方势垒
• 方势垒如图所示，哈密顿方程为
V (x)
V V0
d
2 (x)
dx2
2m(V h2
x 1 k2 范围内才有显著的值，超过此范围将快速趋于零
• 在经典物理中，如果粒子的总能量小于势阱的高度， 粒子由于无法越过这一能量差而只能在势阱之内运动， 要想越过这个势能区是完全不可能的！
• 但按照量子力学理论给出，其势能大于总能量的区域 内，即势阱之外，波函数并不等于零。
• 说明粒子仍有一定的概率密度，虽然这个概率密度是 以指数规律随进入该区域的深度而快速减小的，但它 可以穿透势阱壁进入势阱之外的区域。
谐振子—势能为V(x)、 质量为m的粒子
d 2 d 2
[
2mE
h2 2
mk
h2 4
2 ]
0
d 2 d 2
[
2mE
h2 2
mk
h2 4
2 ]
0
变系数的常微分方程
由于α待定，
令 mk
2 4
1
1 1
h 2 mk
2mE
h2 2
2E h
m 2E k h
k 谐振子的角频率
m
d 2 d 2
[
2 ]
相应地，粒子的德布罗意波长为：
n
h pn
2a n
2
k
该波长也量子化了，它只能是势阱长度两倍的整数分之一。 这就类似于两端固定的弦中产生的驻波的情况。 无限深势阱中粒子的每一个能量本征态对应于德布罗意波的 一个特定波长的驻波!
例题
在原子核 (1101内4 m的) 质子和中子可粗略的看成是 处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中的运 动也可以认为是自由的。按一维无限深势阱估算， 质子从第一激发态（n=2）到第二激发态（n=1） 转变时，放出的能量是多少MeV?
如何理解量子力学给出的这一结果？为什么粒子的动 能可能有负值？
这要归之于不确定关系！
• 在Ⅱ区（E<V0） (x) 2 D e2 2k2x x 1 2k
可以看做粒子进入该区域的典型深度，在该处发现粒子的概率 已降为1/e。该距离我们可以认为是在此区域内发现粒子的位置 不确定度。即
x 1
2k 2 2m(V0 E)
d1(x)
dx
x0
d 2 (x)
dx
x0
把两个区域中的通解代入上两式，可以得到：
AB D
A B i k2 D
于是
k1
A
D 2
1
i
k2 k1
B
D 2
1
i
k2 k1
(x)
D 2
1
i
k2 k1
ek1x
D 2
1
i
k2 k1
ek1x
x0
De
k2
x
x0
• 物理意义：
0
当 2n 1时,有解
1 2
n ( ) Hn ( )e 2
1 2
n ( ) Hn ( )e 2
Hn ( ) : 厄米多项式
其通式为：
Hn ( )
(1)n e 2
dn
d n
e 2
n 0,1,2,
前5个厄米多项式为：
H0 ( ) A0 H1( ) A1 H2 ( ) A2 (1 2 2 ) H3 ( ) A3 (3 2 3 ) H4 ( ) A4 (3 12 2 4 4 ) H5 ( ) A5 (15 20 3 4 5 )
Ψ 24(ξ)
Ψ25(ξ)
U 1 kx2 2
ξ
ξ
ξ
微观粒子运动的特点：它在运动中有可能进入势能大于其总能量的区域。
这在经典理论看来是不可能出现的！
• 物理意义：
1）量子谐振子的能级是量子化的，等间隔均匀分布。能级
的间距为 h 。能量本征值只能取一些不连续的值。
2）最低能态的总能量（或称之为零点能）为：
B A
0 0
(
x)
Acos nx ，n奇数
a
B sin nx , n偶数
a
A 2 a
B 2 a
归一化条件 就是粒子在 整个空间内 出现的总概 率为1
对波函数 归一化：
a/2 Acos n x 2 dx A2 a/2 cos2 n x dx a A2 1 ↑
a / 2
a
a / 2
a
求解微分方程，需要利用一定的边界条件
1、一维简谐振子势
势能函数是 一条抛物线
• 势能 V (x) 1 kx2 1 m2x2
2
2
哈密顿方程为：
V (x)
h2 2m
d2 (x)
dx2
1 2
kx2
(x)
E
(x)
x
作变量代换，令 x,待定常数，方程化为 2 h2 d2 k 2 E 2m d 2 2 2
↓
向左传播 的行波
↓
X<0区域内薛定谔方程的通解： I (x) Aeik1x Beik1x
b) x>0 区域 V(x)=V0 薛定谔可以写为：
d2 2 (x)
dx2
2m(V0 h2
E)
2 (x)
k22 2 (x)
k22
2m(V0 2
E)
其通解为： 2 (x) Cek2x Dek2x
根据不确定关系，粒子在这段距离内的动量不确定度为：
p x
2m(V0 E)
粒子进入的速度可以认为是
v v p 2(V0 E)
m
m
于是粒子进入的时间不确定度为：
t x
v 4(V0 E)
由此，按能量－时间不确定关系式，粒子能量的不确定度为
E
2t
2(V0
E)
此时，粒子的总能量将是
2、一维无限深势阱
Ⅰ为无限深势 阱中势能是常
目的：了解势井中量子状态的特点，
量，粒子不受
V (x) 力做自由运动
分立能级、零度能等。
II
I
III
• 如图，Ⅰ中，势能为0；
V V 0 V
• Ⅱ、Ⅲ中，势能为∞
不分区的哈密顿方程
a
ax
2
2
h2 2m
d2 (x)
dx2
V
(
x)
E
(x)
d2 (x)
dx2
§2.5 定态薛定谔方程解的算例
目的：通过对解的讨论，了解量子力学体系的特征及其 物理意义
• 定态薛定谔方程问题，就是求解势能不随时间改变条件下 的薛定谔方程，就是求解哈密顿方程
在一维条件下
H (x) E (x)
[
h2 2m
d2 dx2
V (x)]
(x)
E
(x)
求出本征函数ψ的表
达式和 本征值E的数值
概率密度图形
ψ(ξ)=A ξe-1/2ξ2 1
(x) (x)
偶函数 偶宇称
n=0
ξ
n=2
n=4
n=1
n=3
奇函数 奇宇称
n=5
• 由上述概率密度与坐标的关系我们可以看到：
1）这里由粒子的波动性给出的概率密度的周期性分布与经
典粒子分布完全不同，按经典理论，粒子在阱内来来回回
自由运动，在各处的概率密度应该是相等的，而且与粒子
h
零点能
n4 n3 n2
n 1
n0
这也意味着，量子束缚态的动能不 可能为零，与经典的情况不相同！
V (x)
9 2
7 2
5 2
3 2
1 2
x
谐振子的几率分布
Ψ2(ξ) 0
U 1 kx2 2
Ψ2(ξ) 1
U 1 kx2
2 Ψ 2(ξ) 2
ξ
ξ
ξ
在任一能级上，势能曲线以外概率密度并不为零
Ψ 23(ξ)
不可能有
p0
进一步确定 本征函数
(x) Acos nx B sin nx
a
a
当 x a 时，依据边界条件，有 2
(
a) 2
A cos
n
2
B sin
n
2
n奇 A 0 B (1) n偶 A (1) B 0
mB 0 A 0
(a)
2
A cos
n
2
B sin
n
2
n奇 n偶
A 0 B (1) A (1) B 0
E0
1 2
h
1 h
2
当温度趋于绝对零度时，电磁场的简谐 振动或晶体点阵上的原子振动处于基态
对量子谐振子它们仍在振动，且平均动能大于零，意味着 量子的束缚态是不可能为零的。
3）位于谐振子势井中的质点， 量子力学的结果：当n=0时，在x=o处粒子出现的几率最大。 经典力学则认为：当n=0时，在x=o处粒子出现的几率最小。 当量子数n很大时与经典力学的结果趋于一致。
例题1： 设想一个质量为m=1g的小球悬挂在一个小轻弹 簧下做振幅为 A=1mm的简谐振动。弹簧系数为 k=0.1N/m。按量子理论计算：
1）此弹簧谐振子的能级间隔有多大？ 2）与它现有的振动能量对应的量子数是多少？
• 例题2： • HCL气体能强烈吸收波长为3.465um的红外辐射。
这是HCL分子振子吸收入射光子能量的结果。 求： 1）振子的振动频率； 2）绝对零度时一摩尔HCL气体的总振动能量。
如果这两个区域波函数满足物理条件，那么它一定是单值、 有限和连续，否则就不满足波函数的标准条件。
在x>0区域要使 2(x满) 足“有限”的要求， ⑴必须要求C=0。 ⑵要使波函数连续，在x=0的位置必须要满足：
1(0) 2 (0)
另外，势能在全区域有限，且波函数和能量E 也有限，从而波 函数的二阶导数也将有限。因此，要求其一阶导数连续：
X<0，波函数可以看成向右和向左传播的行波的叠加。由于它 们振幅的绝对值相等，叠加后将形成驻波。因此波函数是随 时间 t 振荡的函数。
• X>0，它们的概率密度为：
( x, t) ( x, t) DDe2k2x
1
k2 2m(V0 E)
它常称为：透入距离
在此区域随x的增大而随指数快速衰减，但在x=0的附近不为零。 表明，在X>0的区域有一定的几率能够发现或找到粒子！ 由上式可知，出现这种几率只在x=0的很小的区域内，即
0
其形式上的通解：
x
↓
(x)
Ce x
De x
0ex D 0
C
↑
0
0
e
x
0
x
依据波函数的边界条件 () 0 由于 就有上式
表明：势阱外的波函数为0
势井中波函数 (x) Acoskx B sin kx，在阱壁上为0，
所以边界条件为：
( a) (a) 0
22
即有
Acosk Acosk
a
2 a
B B
sin sin
k k
a
2 a
0 0
2
2
该齐次方程非 零解的条件：
cosk a 2
cosk a 2
sin k a
2 sin k a
0
2
因而有
2sin k a cosk a sin ka 0 22
即 k n
a
而
k 2 2mE h2
结论：
E
2k 2 2m
n2
22
2ma 2
2m(V h2
E)
(x)
0
I区中 V 0
d2 2mE 0
dx2 h2
E:动能>0
令
k2
2mE 2
d2 (x)
dx2
k
2
(
x)
0
通解为 (x) Acos kx B sin kx
II、III区中 V
哈密顿方程为：
d2 (x)
dx2
2m(V h2
E)
(x)
d2 (x)
dx2
2
(x)