第四节复合函数与隐函数的微分

xy
xy
z
代入即可. 代入即可
2.二元隐函数求偏导 二元隐函数求偏导 ∂z ∂z 已知 F ( x, y, z ) = 0 ⇒ z = f ( x, y ) 求 , .
∂x ∂y
方程两边作为x, y 的函数同时求偏导
∂F ∂F ∂z ⋅1+ ⋅ =0 ∂x ∂z ∂x ∂F ∂F ∂z ⋅1+ ⋅ =0 ∂y ∂z ∂y
∆ xz ∂z ∆ x u ∂z ∆ x v ο ( ρ ) lim = lim [ ⋅ ] + ⋅ + ∆x → 0 ∆ x ∆ x → 0 ∂u ∆ x ∂v ∆ x ∆x
ο (ρ ) ∆ xv ∂z ∆ x u ∂z + lim ⋅ lim = + ⋅ lim ∂ u ∆ x → 0 ∆ x ∂ v ∆ x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆ x
du 所确定, 所确定 求 dx . x du ∂u ∂u dy ∂u dz = ⋅1+ ⋅ + ⋅ y x 解 u dx ∂x ∂y dx ∂z dx z 令 F ( x, z ) = e z − xz 令 F ( x, y ) = e xy − y
则 Fx′ = ye
Fy′ = xe − 1 则 Fx′ = − z Fz′ = e − x z ye xy dy dz = − = 故 故 xy z xe − 1 dx dx e −x
2 2 xy
解 令u= x − y
2
2
v=e
xy
则 z = f ( u, v )
u
z
x
v
y
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z xy = ⋅ + ⋅ = ⋅ ye ⋅ 2x + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂v
∂z ∂z ∂u ∂ z ∂ v ∂z ∂z xy = ⋅ + ⋅ = ⋅ ( −2 y ) + ⋅ xe ∂y ∂ u ∂y ∂v ∂ y ∂u ∂v
u
x
建议按关系图记公式: 建议按关系图记公式: z
有几项相加; 有几项相加
v
y
(1)从因变量到自变量有几条路 公式中就 从因变量到自变量有几条路,公式中就 从因变量到自变量有几条路 (2)每一条路上有几段 对应项中就有几个 每一条路上有几段,对应项中就有几个 每一条路上有几段 因子相乘; 因子相乘 (3)每个因子都是相应段上的偏导 每个因子都是相应段上的偏导. 每个因子都是相应段上的偏导 遇一元函数时写一元函数导数符号. 注 遇一元函数时写一元函数导数符号
=
2(e e
2( x + y 2 )
+ x)
2
2( x + y 2 )
+x +y
.
例1 已知 z = ln( u + v ) ∂z ∂z , . 求 ∂ x ∂y
2
u=e
x+ y2
v = x2 + y
解法二
z = ln( e
2( x + y 2 )
+ x 2 + y)
∂z 1 2( x + y 2 ) = ⋅ (4 ye + 1) 2 2( x + y ) 2 ∂y e +x +y
2( x + y 2 )
2
+1
e 2( x + y ) + x 2 + y
.
例1 已知 z = ln( u + v ) ∂z ∂z , . 求 ∂ x ∂y
2
u=e
x+ y2
v = x2 + y
解法二
z = ln( e
2( x + y 2 )
+ x 2 + y)
∂z 1 2( x + y 2 ) = ⋅ ( 2e + 2 x) 2 2( x + y ) 2 ∂x e +x +y
( ρ = ( ∆ u ) + ( ∆v ) → 0 )
2 2
令 ∆y = 0 则有
∂z ∂z ∆ x z = ⋅ ∆ xu + ⋅ ∆ xv + ο (ρ ) ∂u ∂v
( ρ = ( ∆ x u ) 2 + ( ∆ x v ) 2 → 0)
∂z ∆ x u ∂z ∆ x v ο ( ρ ) ∆ xz ⋅ + ⋅ + = ∂u ∆ x ∂v ∆ x ∆x ∆x
2 y ′x = yf + xyf x′ = yf + xyf ′ ⋅ ( − 2 ) = yf − y f ′ z x x 1 z ′y = xf + xyf y′ = xf + xyf ′ ⋅ = xf + yf ′ x
y xz ′ + yz ′y = x ( yf − f ′ ) + y( xf + yf ′ ) = 2z . x x
x
dy 例6 已知 sin y + e − xy = 0, 求 . dx 解 令 F ( x, y ) = sin y + e x − xy 2
x 2
则 Fx′ = e x − y 2
Fy′ = cos y − 2 xy
x 2
e −y dy ∂F ∂F . =− / =− 故 cos y − 2 xy dx ∂x ∂y
故
∂z ∂F ∂F / =− ∂x ∂z ∂x ∂F ∂F ∂z / =− ∂y ∂y ∂z
F
x y z
x y
x2 y2 z2 例8 求 + + = 1 确定的隐函数的 4 8 16 ∂z ∂z , . 偏导数 ∂x ∂y 2 2 2 x y z 解 令F ( x, y, z ) = + + −1 4 8 16
的偏导数. 例4 求 z = f ( x − y , e ) 的偏导数
2 2 xy
解
1
z
x
y
2
∂z xy = f1′ ⋅ 2 x + f 2′ ⋅ ye ∂x
′ + ye xy f 2′ = 2 xf1
∂z = f1′ ⋅ ( −2 y ) + f 2′ ⋅ xe xy ∂y xy = −2 yf1′ + xe f 2′
= cos t (sin t )
2
cos t −1
− (sin t )
cos t + 1
ln sin t
∂z dz . 例3 设 z = ln( x − y ), 其中 y = e , 求 , ∂x dx
2 2 x
解
x
z
y
x 令 y=e , x= x
x
2x ∂z = 2 2 x −y ∂x
∂z − 2y = 2 2 ∂y x −y
z = f [ϕ ( x , y ),ψ ( x , y )]
u
z
x
称为中间变量. 其中 u, v 称为中间变量
v
y
定理 若函数 u = ϕ ( x , y ) 和v = ψ ( x , y ) 在点 ( x , y ) 的偏导数存在, 的偏导数存在 而函数 z = f ( u, v ) 在 对应于 ( x , y ) 的点 ( u, v ) 处可微 则复合 处可微,则复合 函数 z = f [ϕ ( x , y ),ψ ( x , y )] 在点 ( x , y ) 存在偏导数,且 存在偏导数 且
x 则 Fx′ = 2
y Fy′ = 4
z Fz′ = 8
2y ∂z . =− z ∂y
故
∂z 4x = − ∂x z
1
z
x
∂z x 1 = f1′ ⋅ + f 2′⋅ ( − 2 ) ∂y x y
2
y
2y 2x ∂z ∂z x f1′ + f 2′ −y = − x y ∂x ∂y
y 可导,求 例5 设 z = xyf ( ), f ( u) 可导 求 xz ′x + yz ′y . x x y 解 令 u= f (u) u x y
∂z ∂z dy dz 2x − 2y ⋅1 + ⋅ = = 2 + 2 ⋅ex ∂y dx x − y 2 x − y 2 dx ∂x
2( x − ye x ) 2( x − e 2 x ) . = = 2 2 2 2x x −y x −e
2.抽象复合函数求偏导 抽象复合函数求偏导 的偏导数. 例4 求 z = f ( x − y , e ) 的偏导数
附证: 附证
∆x → 0
lim
ο (ρ )
∆x
∆ xu 2 ∆ xv 2 ο (ρ ) ) +( ) = lim ⋅ ( ∆x → 0 ∆x ∆x ρ
=0
∆ xu 2 ∆ xv 2 ο (ρ ) ) +( ) = lim ⋅ lim ( ρ →0 ρ ∆x → 0 ∆x ∆x ∂u 2 ∂v 2 = 0 ⋅ ( ) + ( ) = 0. ∂x ∂x
∂z ∂z ∂ u ∂ z ∂ v = ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂ u ∂y ∂ v ∂ y
证 因为 z = f ( u, v ) 可微 所以
∂z ∂z ⋅ ∆u + ⋅ ∆v + ο ( ρ ) ∆z = ∂u ∂v
解 方程两边作为 x 的函数同时求导
′ + e x − ( y 2 + x ⋅ 2 yy′) = 0 cos y ⋅ y
dy e −y . =− 故 dx cos y − 2 xy
x 2
有连续偏导数, 例7 设 u = f ( x, y, z ) 有连续偏导数 y = y( x )
z = z( x ) 分别由方程 e xy − y = 0 和 e z − xz = 0
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年考研真题4分 补充 (2007年考研真题 分) 年考研真题
y x 是二元可微函数, 设 z = f ( u, v ) 是二元可微函数 z = f ( , ), x y ∂z ∂z 则 x −y = . ∂x ∂y
解
∂z 1 y = f1′⋅ ( − 2 ) + f 2′ ⋅ ∂x y x
∂z = ∂u
∂ u ∂z ∂ v ⋅ + ⋅ ∂ x ∂v ∂ x
故
∂z ∂ z ∂ u ∂z ∂ v = ⋅ + ⋅ . ∂ x ∂ u ∂x ∂v ∂ x
证
ο (ρ ) ρ lim ⋅ = lim ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ρ ∆x
ο (ρ )
( ∆ x u) 2 + ( ∆ x v ) 2 ο (ρ ) = lim ⋅ ∆x → 0 ρ ∆x
第四节复合函数与隐函数的微分法
一.复合函数的微分法 复合函数的微分法 定义 设 z 是 u, v 的函数 z = f ( u, v ), 而 u, v 又分别是 x,
u = ϕ ( x, y 的函数 v = ψ ( x,
y)
y)
的复合函数,记作 记作: 则称 z 是 x, y 的复合函数 记作
1.具体复合函数求偏导 具体复合函数求偏导 例1 已知 z = ln( u + v ) ∂z ∂z , . 求 ∂x ∂y
2
u=e
x+ y2
v=x +y
2
解法一
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂ x ∂v ∂x
u
z
x
v
y
1 2u x+ y2 + ⋅ 2x = 2 ⋅ e 2 u +v u +v 2( x + y 2 ) 2(e + x) . = 2( x + y 2 ) 2 e +x +y
=
4 ye e
2( x + y 2来自百度文库)
+1
2
2( x + y 2 )
+x +y
.
例2 设 z = x ( x > 0), 而
y
dz x = sin t , y = cos t 求 . dt
解
x
z
y
t
dz ∂z dx ∂z dy ⋅ + ⋅ = dt ∂x dt ∂y dt
= yx y −1 ⋅ cos t + x y ln x ⋅ ( − sin t )
例1 已知 z = ln( u + v ) ∂z ∂z , . 求 ∂ x ∂y
2
u=e
x+ y2
v = x2 + y
解法一
∂z ∂z ∂u ∂z ∂ v = ⋅ + ⋅ ∂y ∂u ∂y ∂v ∂ y
u
z
x
v
y
1 2u x+ y2 + 2 ⋅1 = 2 ⋅ 2 ye u +v u +v
= 4 ye
总
结
二.隐函数的微分法 隐函数的微分法 1.一元隐函数求导数 一元隐函数求导数 dy 已知 F ( x, y ) = 0 ⇒ y = f ( x ) 求 .
dx
方程两边作为 x 的函数同时求导
∂F ∂F dy ⋅1+ ⋅ =0 ∂x ∂y dx
F
故
dy ∂F ∂F / =− dx ∂x ∂y
x y
2
1.具体复合函数求偏导 具体复合函数求偏导 原始法则或多元复合法则都行. 原始法则或多元复合法则都行 建议:如果没令按原始法则求 建议 如果没令按原始法则求; 如果没令按原始法则求 如果已经令好(包括没令完整的 没令 如果已经令好 包括没令完整的,没令 包括没令完整的 完整要补充完整)按多元复合法则求 完整要补充完整 按多元复合法则求. 按多元复合法则求 2.抽象复合函数求偏导 抽象复合函数求偏导 只能按多元复合法则求. 只能按多元复合法则求 用逗号隔开的每一部分令一个变量, 用逗号隔开的每一部分令一个变量 也可用数字1、 来代替变量 来代替变量. 也可用数字 、2来代替变量