循环平稳信号分析共47页
现代信号处理循环平稳信号分析课件
循环相关函数和循环特征
循环相关函数
描述两个信号在时间上的相似程 度，可以用于信号识别和分类。
循环特征
提取信号中的周期性特征，如频率 、相位等，用于信号分类和识别。
循环平稳性质
信号经过滤波器后，其输出的信号 仍然是循环平稳的，可以用于滤波 器的设计和分析。
05
CATALOGUE
循环平稳信号的应用
在通信和雷达信号处理中的应用
短时傅里叶分析是一种改进的傅里叶分析方法，通过将信 号分割成多个短的段，并计算每个段的傅里叶变换，能够 提供信号的时频信息。短时傅里叶分析适用于循环平稳信 号的分析，可以有效地提取信号中的周期性成分。
滤波器和匹配滤波器在循环平稳信号处理中的应用
滤波器
滤波器是一种用于提取信号中特定频率成分的工具。在 循环平稳信号处理中，滤波器可以用于提取信号中的周 期性成分或消除噪声。常用的滤波器包括巴特沃斯滤波 器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器等。
在语音和生物医学信号处理中的应用
语音分析
语音信号是一种具有强烈循环平稳性的信号。通过对语音信号进行分析和处理，可以实现语音识别、 语音合成、语音降噪等功能。
生物医学信号处理
在生物医学信号处理中，循环平稳信号分析可以用于处理心电信号、脑电信号、肌电信号等，以提取 有用的生物医学信息。
在图像和视频信号处理中的应用
THANKS
感谢观看
信号的分类
根据不同的特征和属性，信号可 以分为离散信号和连续信号、确 定信号和随机信号、周期信号和 非周期信号等。
信号的数学描述
信号的数学表示
使用数学符号和公式来描述信号的特 征和属性，如时间函数、空间分布等 。
信号的数学变换
通过数学变换如傅里叶变换、拉普拉 斯变换等，将信号从时域转换到频域 或其他域，以便更好地分析信号的特 性和属性。
现代信号处理第4章循环平稳信号分析
引言
机械循环平稳信号具有以下特点：
(1) 正常无故障的机械信号一般是平稳随机信号，统计 量基本不随时间变化。
(2) 故障信号产生周期成分或调制现象，其统计量呈现 周期性变化，此时信号成为循环平稳信号。
(3) 统计量中的某些周期信息反映机械故障的发生。
因此研究循环平稳信号处理和特征信息的提取方法， 对机械故障诊断具有重要的意义。
4.3.1调频信号的解调分析
x(t) Acos[2f zt sin(2fnt)]
4.3.2 多载波调频信号的解调
x(t) cos(2 fc1t sin(2 f0t)) cos(2 fc2t sin(2 f0t))
多载波调频信号的解调
4.3.3 多调制源调幅信号的解调
x(t) 1 cos2 f01t cos2 f02tcos2 fct
4.3.4 多载波调幅信号的解调
x(t) [1 cos(2 f0t)]cos(2 fc1t) [11.5cos(2 f0t)]cos(2 fc2t) n(t)
多载波调幅信号的解调
多载波调幅信号的解调
4.3.5 循环相关解调法识别信号有用信息
和混频信息的规律
(1) 如果循环频率高频段的循环谱切片图的循环频率信息与 该图片相对应的频率信息具有2倍的关系，并且切片图中相 应的循环频率信息（或频率信息）表现为中心频率，其两边 均有明显的调制边频带，则说明此循环频率（或频率）具有 载波频率特征，循环频率是载波频率的2倍，并且图中所对 应的边频带频率信息就是调制频率信息。
4.2.1 一阶循环统计量
循环统计方法是研究信号统计量的周期结构，它直 接对时变统计量进行非线性变换得到循环统计量， 并用循环频率——时间滞后平面分布图来描述信号， 抽取信号时变统计量中的周期信息。
循环平稳信号分析
0
A
21
功率谱密度函数
由式（4.2.17）可以求出该仿真信号的循环谱密度 为
14Sa(f f0)14Sa(f f0) Sx(f ) 14ej2Sa(f )
0
=0;
=2f0; 其它
A
22
功率谱密度函数
给式（4.2.14）所示仿真信号叠加平稳遍历白噪声 n(t),各参数取值与上述计算二阶循环自相关函数 时的取值完全相同。循环谱如图4.2.4所示
A
27
4.3.1调频信号的解调分析
x ( t) A c2 o fz t ss [2 ifn n t)] (
A
28
4.3.2 多载波调频信号的解调
x ( t ) c o s ( 2 f c 1 t s i n ( 2 f 0 t ) ) c o s ( 2 f c 2 t s i n ( 2 f 0 t ) )
A
29
多载波调频信号的解调
A
30
4.3.3 多调制源调幅信号的解调
x ( t ) 1 c o s 2 f 0 1 t c o s 2 f 0 2 t c o s 2 f c t
A
31
A
32
4.3.4 多载波调幅信号的解调
x ( t ) [ 1 c o s ( 2 f 0 t ) ] c o s ( 2 f c 1 t ) [ 1 1 . 5 c o s ( 2 f 0 t ) ] c o s ( 2 f c 2 t ) n ( t )
lim 1 N(2N1)T0
N nN
TT00//22x(tnT0)ej2tdt
lim1
TT
T/2 x(t)ej2tdt
循环平稳信号分析课件
提高模型的通用性和泛化能力、结合先验知识进行模型优化、探索更有效的优化算法等
CHAPTER 07
参考文献
参考文献
《信号与系统》，作者
XXX，出版时间：XXXX年，出版社：XXX出版社
《信号与线性系统分析》，作者
XXX，出版时间：XXXX年，出版社：XXX出版社
域特征转化为小波域特征，方便我们对信号进行分析和理解。
02
基于小波变换的信号检测
对于循环平稳信号，其小波变换后的结果呈现出特定的频率成分，通过
对频率成分的分析，我们可以实现对信号的检测。
03
基于小波变换的信号分类
通过对不同类型信号的小波变换结果进行比较和分析，我们可以实现对
不同类型信号的分类。
基于循环统计特征提取的检测与分类
循环平稳信号处理的应用
信号去噪、信号压缩、信号加密等
循环平稳信号分析的限制与挑战
存在交叉项干扰、计算复杂度高、对噪声 敏感等问题
基于深度学习的循环平稳信号分析展望
深度学习在循环平稳信号分析中的潜力
强大的非线性映射能力、自动提取特征的能力、对复杂模型的优化能力等
基于深度学习的循环平稳信号分析算法
循环神经网络（RNN）、卷积神经网络（CNN）、自编码器（AE）等
信号分类
在一些应用中，需要对大量的信号进行分类，例如在雷达图 像处理或语音识别中，循环平稳信号处理可以用于区分不同 类别的信号，提高分类的准确度。
CHAPTER 06
总结与展望
循环平稳信号分析的总结
循环平稳信号的基本概念
定义、性质、特点和应用场景
循环平稳信号的分析方法
时域分析、频域分析和时频分析等
调幅调频信号的循环平稳特性分析
Analysis of the Cyclostationary Properties of AM & FM Signals
LIU Zheng , HUANG Zhi2tao , ZHOU Yi2yu
( School of Electronic Science and Engineering of NUDT , Changsha 410073 , China)
∫ Mαx =
1 T0
T0/ 2 Mx ( t) e - j2παt d t
- T0/ 2
(4)
将 (2) 式代入上式 ,并令 T = (2 N + 1) T0 ,得
∑∫ Mαx =
N
lim
N →∞
(2
n
1 + 1)
T0 n = - N
T0/ 2 x ( t +
- T0/ 2
nT0) e- j2παt d t
τ/ 2) ]cos[2πf0 ( t + τ/ 2) ]cos[2πf0 ( t - τ/ 2) ]}
= [1 + m2 Rα(τ) ] ·[cos(4πf0 t) + cos (2πf0τ) ]/ 2 可见信号的自相关函数同样是时间 t 的周期函数 , 且周期为
1/ (2f0) ,同时[1 + m2 Rα(τ) ] ≠0 ,故其中还包含了非零的直 流分量 ,即在循环频率 α = 0 处存在谱线 。对照 (10) 式求出
时满足以上两个条件 ,则信号既是一阶循环平稳 ,又是二阶
循环平稳 。
第1期
调幅调频信号的循环平稳特性分析
信号处理课件第10章-1平稳随机信号
X, Y 不有关
rxy (n1, n2 ) E X (n1)Y (n2 )
E
X (n1)
E
Y
(n2
)
x
(n1
)
y
(n2
)
两个信号相互独立，有
p(x, y) p(x) p( y)
10.2 平稳随机信号
若 X (n) 满足：
1. x (n) E{X (n)} x
2. E{ X (n) 2} 3. rx (n1, n2 ) E{X（* n）X (n m)} rx (m)
X x1,
, xN T , x1 ,
T
, xN
随机向量
均值向量
X旳每一种元素 x1, , xN 都是随机变量，
均值： xi E xi,i 1, 2, , N
方差： E X X T 矩阵
E X X T
2 1
cov x2
,
x1
cov
xN
,
x1
cov x1, x2
E X (n) 2 E X (n m) 2 rx2 (0)
2. rx (m) rx (m)
rx (m) rx (m)
偶对称 Hermitian对称
3. rx y (m) ryx (m)
rxy (m) ryx (m)
相互关
4.
2
rx (0)ry (0) rxy (m)
rx (0) ry (0) 2 rxy (m)
1 d1( X )
1
类1
2
2
类2
“距离”怎样计算
di (X )
1 2
(X
i )T
i1( X
i )
Mahalanobis 距离
循环平稳过程以及信号处理理论
循环平稳过程以及信号处理理论绪论• 通信、遥测、雷达、声呐等系统中许多信号，其统计特征参数是时间变化的，这类信号称为循环平稳信号(cyclostationary signal)• 例如调制信号，雷达扫描信号，还有一些自然的，如水文数据，海洋数据，人体心电图等都具有循环平稳性质。
• W. A. Gardner*的谱相关理论是标志循环平稳信号处理理论的成熟，其数学工具是循环相关函数和循环谱相关函数。
• *W. A. Gardner, L. E. Franks, Characterization of cyclostationary random signal processes, IEEE Trans Information Theory, 21: 4-14, 1975.• F. Chapeau-Blondeau, X. Godivier; "Theory of stochastic resonance in signaltransmission by static nonlinear systems"; Physical Review E 55, 1478-1495 (1997).• X. Godivier, F. Chapeau-Blondeau; "Noise-assisted signal transmission by a nonlinearelectronic comparator: Experiment and Theory"; Signal Processing 56, 293-303 (1997).• F. Duan, F. Chapeau-Blondeau, D. Abbott; "Noise-enhanced SNR gain in parallel array ofbistable oscillators"; Electronics Letters 42, 1008-1009 (2006).2.1一般理论框架（动态静态系统都适合）强调我们的系统划分规则静态指无记忆系统，而动态指有记忆的系统。
循环平稳信号分析剖析
lim
1 j 2t x ( t ) e dt T T T / 2
T /2
x(t )e j 2t t
(4.2.7)
一阶循环统计量—循环均值
4.2.3 二阶循环统计量—循环自相关函数
对于零均值的非平稳复信号，时变自相关函数可以 写成
Rx (t; ) E{x(t ) x (t
引言
机械循环平稳信号具有以下特点：
(1) 正常无故障的机械信号一般是平稳随机信号，统计 量基本不随时间变化。
(2) 故障信号产生周期成分或调制现象，其统计量呈现 周期性变化，此时信号成为循环平稳信号。 (3) 统计量中的某些周期信息反映机械故障的发生。
因此研究循环平稳信号处理和特征信息的提取方法， 对机械故障诊断具有重要的意义。
j 2 t
dt (4.2.1)
一阶循环统计量
对于一个循环平稳的时间序列来说，它的循环频率 （包括零循环频率和非零循环频率）可能有多个， 所有循环频率的总体构成循环频率集 循环频率包括零值和非零值，其中零循环频率对应 信号的平稳部分，非零循环频率则描述了信号的循 环平稳特性。 循环基频 N N p ( x, ti ) p ( x, ti nT0 )
i 1 i i 1
i
nT0 )
(4.1.1)
N统计阶数，T0是基本循环平稳周期，n是一个给定的整数
循环平稳信号具有周期时变的矩和统计量，即 N N
E{ x (ti )} E{ x (ti nT0 )}
i 1 i 1
(4.1.2)
阶循环平稳过程的定义： 若随机过程 从一阶到 阶的各阶时变统计量都存 在，并且它们都是时间的周期函数（其中，每阶的 循环周期可能有多个，且各阶循环周期一般不同）， 则称该随机过程为 阶循环平稳过程。
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66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
循环平稳信号分析
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观
多调制源信号的循环平稳分析及仿真
进行时间平均后写成傅里叶级数形式为
｛
ｉ
｛ － …－…． ｝ ．
｛ ；
！ ！
Ｉ ；
Ｒ（丁：∑Ｒ（）２ ＝∑Ｒ（） （） ｘ； ￡） ： ｅ棚 ＿ 『 （ ： ３ ｒ
其中 ，
＿…
．．
●
●
●
●
●
● ●
‘ ＾
● ●●
’ ’
… ｌｉ ｌ ● Ｉ ｌ Ｊ ｉ ： ｌ
参考文献 ： 【】 １ 黄知 涛 ， 周一 宇 ， 文利． 姜 循环平稳 信号处理 与应用 【 ． Ｍ】北
京： 科学出版社 。０ ６ ２０．
在 ａ＝１ ｚ ２Ｈ 的信 息差 不多 ， 同的是此 图在 不 ｆ＝ ４ ｚ ２ ０ 及其一倍边频处 （４ ± ） ｚ 出现了能 Ｈ ２０ ６Ｈ 多 ’ 量较低 的一小组峰值 ，反映了调 幅信号 。 的调制与 载波频率。 （ 从图中还可以清楚地发现 ， ３） 调幅信号与调频 信号切片 图的异同 ： 在 取调制频率频率时 ， 它们低
３
Ｅｑ ｉ ｍｅ ｔ ｕｐ ｎ Ｍａ ｈｃ ｄ ｇ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ． ２ ２ ｎｕ ｔ ｎ ｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｎｏ８， ０１
Ｒ（，） ｛（＋＇ ）＊ ｔ＇２ ） ｔ ＝Ｅ ｘ ｔ￣２ ｘ （－ ／） ， ／ ｒ
循环 自相关切片 图
ｉ
＿＿ － － ＾ ● ， … ． ．
第一步 ： 计算信号的循环 自相关函数 ， 做其三维 关图中则可清楚地发现ｆ ｆ ｆ。 小２ ２ ： 及其 边频 ２ ： ｆ。 谱图可勉强观察到， ｆ 、 以及 ，但是信息冗 小２ 厂 ±ｎ ４ ， ｆ ｆ 及其变频 ４ ± ｆ－ ｆ 及其边频 ６ 。 ｔ ｎ ．６ 、 余， 交叉干扰严重 。循环频率 ａ Ｈ ） （ ｚ。 ｎ， 。 ： ｎ ， ３ 取 ２， 第二步 ：作循环 自相关 ， ｒ＝０ 的单切片图如 ± ｆ 等有ｓ∽ 的能量峰值出现（ 取 ｌ ， …， 处 值越大 ， 峰值越小 ） 。 图 １ 。 为 了便 于 比较 ， 又做调 频 信号 可在低频处看出两个频率 ： 调幅信号的， 小调频 （） ｌＡＣＳ１ 订ｔ】ｏ（２ ｒ） ＝【＋ Ｏ（２ ）ｃｓ １０叮ｔ ｌ ￡ 信号的调制频率 。
循环平稳理论的发展与应用
循环平稳理论的发展与应用杨秀梅【摘要】随着现代信号处理技术的进步,可以更加有效的处理非线性、非平稳、非高斯信号.循环平稳理论的主要研究对象是非平稳信号.本文从循环平稳理论的概念入手,介绍了循环平稳理论在算法本身方面的研究进展,并分析了与其它算法的结合应用情况,以及在不同领域的应用情况.【期刊名称】《软件》【年(卷),期】2017(038)011【总页数】6页(P40-45)【关键词】循环平稳;循环谱;算法;应用【作者】杨秀梅【作者单位】昆明理工大学信息工程与自动化学院,云南昆明 650093【正文语种】中文【中图分类】TP911.72现代信号分析与处理技术是为了更加有效的解决非线性、非平稳、非高斯信号而发展起来的。
循环平稳理论的主要处理对象是非平稳信号中的一类特殊信号，如水文数据、气象数据、海洋信号和机械轴承信号等，这些信号存在某阶统计量随时间按周期或多周期规律变化的现象，统称为循环平稳信号（Cyclostationary Signal简称CS）。
与传统的信号处理方法相比，CS处理最大的不同是它引入了循环频率的概念，从而将非平稳信号转化为在一定程度上平稳的信号进行处理。
根据不同阶次统计量的周期性，CS可以分为一阶循环平稳、二阶循环平稳和高阶循环平稳。
循环平稳理论深刻揭示了具有循环平稳特征的信号的本质特征，奠定了CS的理论基础，为CS处理技术的发展提供了方向和动力[1]。
Gardner用统一的理论框架描述了时间序列谱相关函数计算方法，提出了原始算法，在以后的十几年里，出现了一些对原始算法改进的估计算法。
关于循环谱估计的研究目前大致分三条研究主线：（1）基于循环周期图的非参数经典循环谱估计；（2）基于参数估计理论的现代循环谱估计。
（3）基于Wigner-ville框架的循环谱估计[2]。
1.1 理论基础若信号 ()x t为CS，设其周期为T，以二阶循环平稳为例，则：可将R x( t,τ)展开成Fourier级数的形式：R x (τ, α)表示循环频率为α = m/ T 的循环自相关函数，它是以时间延迟τ和循环频率α为变量的二元函数。
用于循环平稳信号分析的偏相干方法
难。
法清晰地反映出来。而且，干扰噪声通常无循环平 稳特性，在非零循环频率上，其循环谱密度值理论 上应该为零，即使信噪比不高，也可得到较为正确 的结果，可以提高部分声场的识别精度。 在传统偏相干方法的基础上，采用二阶循环统 计量代替二阶统计量，提出一种用于多通道循环平 稳信号处理的偏相干方法一循环偏相干方法。将该 方法用于识别循环平稳声场的声源特性时，可以得 到部分声场的循环谱密度分布，而非功率谱密度分 布。由于循环谱密度在分析循环平稳信号时具有 多功率谱密度所不具备的一些优势，循环偏相干 方法可以比偏相干方法更好地反映循环平稳声场的 特性。
第４１卷第７期 ２００５年７月
机械工程学报
ＣＨＩＮＥＳＥ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＭＥＣＨＡＮＩＣＡＬ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ
ｖ０１．４１ Ｊｕｌ．
Ｎｏ．７ ２００５
用于循环平稳信号分析的偏相干方法木
万泉蒋伟康
（上海交通大学振动、冲击、噪声国家重点实验室上海２００２４０）
摘要：在循环平稳过程理论的基础上，提出一种用于分析循环平稳声场的偏相干方法一循环偏相干方法。传统的
，＝ｆ时
Ｏ４
式中．踞：（厂）表示除去其他ｍ个信号的线性影响，第
3.2 循环平稳性
成都信息工程学院电子工程系
3
严格周期平稳随机信号的特性
严格平稳随机信号可以看作严格周期平稳 随机信号，而其平稳周期可以是任意值。
严格周期平稳随机信号通过在其平稳周期 内均匀地随机滑动后，变为SSS R.S.。即定 理3.2。
成都信息工程学院电子工程系
4
t1+2T t3+2T
t1t2 t3 tntn+1
成都信息工程学院电子工程系
25
例3.6续
（2） Z(t) =Y(t −D) = X(t −D)cosω0(t −D)
由定理可得Z(t)是广义平稳过程，并且，
∫ mZ
=
ω0 2π
2π /ω0
0
mX
cosω0tdt
=
0
∫ RZ
(τ
)
=
ω0 2π
2π
0
/
ω0
⎧ ⎨ ⎩
1 2
RX
(τ
)[cos
ω0
(2t
7
3.2.2 广义循环平稳性 （WSCS）
定义3.6 随机过程 {X(t),t ∈T}，如果其均值
与相关函数存在，并且具有周期性，即存
在常数L，使：
⎧m(t) = E[X (t)] = E[X (t + kL)] = m(t + kL) ⎨⎩R(t1,t2) = R(t1 + kL,t2 + kL)
成都信息工程学院电子工程系
18
举例续
解 (1)由定理3.3可知，U2 (t)为广义平稳随机信号。
（2）由定理3.2可得
∫ f2
(u1,u2;t1,
t2
)
=
1 100
ZPOFDM循环平稳性分析及在多载波信号识别中的应用
ｒｐ Ｆ Ｍ（１ ｅ ｃ ， ＺＯ Ｄ ｔ＝ ｊ ｅ ｅ ｊ
Ｍ 一１
・
∑ ∑ ｓ ｊ △ 。（ ｋ －ｏ ｗ ） ｅ ，卜 Ｔ ｔ＋ （ Ｍ ９— ￣ ） ｔ
ｍ ＝０
１ 信 号 模 型
ｚ ＯＦ Ｐ ＤＭ连续 时间基带信号模 型为
（） ４
ｒＰ Ｆ Ｍ ｔ ＺＯ Ｄ （ ）
ＣＵＩＷ ｅ—ｉ ｎ ｉｌａ ｇ， Ｊ ＡＮＧ Ｉ Ｈｕａ ＬＩＪ ａ — ｉ ｎ ， ｉｎ ｑａ ｇ
Ｉｓｉ ｔ ｆＩｆ ｒ ｔ ｎ Ｅ ｇｎ ｅｉｇ Ｐ Ａ Ｉｆ Ｔｎ ｔ ｎＥ ｇｎ ｅ ｎ ｎｖ ｒｉ ｊ ｈ ｎ ｚ ｏ ５ ０ ２ Ｃ ｉａ ｎ ｔｕｅｏ ｏ ｍａｉ ｎ ｉ ｅｒｎ ， Ｌ ｎ ｏ ａｉ ｎ ｉｅｒ ｇ Ｕ ｉｅｓｔ ｅ ｇｈ ｕ ４ ０ ０ ， ｈｎ ｔ ｎ ｏ ｖ ｏ ｉ ｙＺ
中，为 了对 多载 波信号进行 有效监测 ，实现 相关信 号 的识别与检测，需对此类 问题进行分析与研究．
各种信 号分类 算法 的研 究多为单载波 信号【＇ ２ 而 】 多载波信号分类 的研 究成 果则较少．已有 的多载波识
别方 法如文献 【 利 用循环前 缀正 交频分复 用（ｙｌ — ３ １ ｃｃｃ ｉ
因， 现有方法 无法正确识别ｚ ＯＦ Ｐ ＤＭ信 号． 为了解 决 这一 问题 ， 大算 法识别 范 围，提升识 别 能力，本文 扩 提 出 了一 种 改进 的ＯＦ ＤＭ信 号 分类 算 法 ，实 现 了包 括Ｚ Ｏ ＤＭ、 Ｏ Ｄ Ｐ Ｆ ＣＰ Ｆ Ｍ、单载波等信 号调制 的识别 ． 改进算 法与原算 法一样 ，无需复杂 的预处理 过程 ， 在 衰落信道低信 噪 比环境 中识别效果较好 ，同时改进 算 法扩展 了原算法识别ＯＦ ＤＭ的种 类，进一步满足 了感 知无线 电、 频谱监测 等非合 作接 收场合的应用 需求．
循环平稳过程以及信号处理理论
循环平稳过程以及信号处理理论绪论• 通信、遥测、雷达、声呐等系统中许多信号，其统计特征参数是时间变化的，这类信号称为循环平稳信号(cyclostationary signal)• 例如调制信号，雷达扫描信号，还有一些自然的，如水文数据，海洋数据，人体心电图等都具有循环平稳性质。
• W. A. Gardner*的谱相关理论是标志循环平稳信号处理理论的成熟，其数学工具是循环相关函数和循环谱相关函数。
• *W. A. Gardner, L. E. Franks, Characterization of cyclostationary random signal processes, IEEE Trans Information Theory, 21: 4-14, 1975.• F. Chapeau-Blondeau, X. Godivier; "Theory of stochastic resonance in signaltransmission by static nonlinear systems"; Physical Review E 55, 1478-1495 (1997).• X. Godivier, F. Chapeau-Blondeau; "Noise-assisted signal transmission by a nonlinearelectronic comparator: Experiment and Theory"; Signal Processing 56, 293-303 (1997).• F. Duan, F. Chapeau-Blondeau, D. Abbott; "Noise-enhanced SNR gain in parallel array ofbistable oscillators"; Electronics Letters 42, 1008-1009 (2006).2.1一般理论框架（动态静态系统都适合）强调我们的系统划分规则静态指无记忆系统，而动态指有记忆的系统。
多调制源信号的循环平稳分析及仿真
多调制源信号的循环平稳分析及仿真王小卉;杨洁明【摘要】以多调制源信号为仿真对象,分别用二阶循环自相关、谱相关函数进行分析,在MATLAB平台上做信号的循环自相关谱相关函数的三维谱图、改进的自相关函数循环域的单切片图和谱相关单切片图,通过分析总结得出该改进的二阶循环切片分析方法能成功地将多调制源信号中的特征频率解调出来,为分析实际的循环故障信号奠定理论基础.【期刊名称】《装备制造技术》【年(卷),期】2012(000)008【总页数】3页(P3-5)【关键词】调幅信号;调频信号;循环谱相关函数;特征频率【作者】王小卉;杨洁明【作者单位】湛江师范学院机电工程系,广东湛江524048;太原理工大学机电研究所,山西太原030024【正文语种】中文【中图分类】TN911.72在通信、遥测、雷达和旋转机械等系统中，经常会遇到很多随机信号，其非平稳特性表现为一定的周期性，这类信号统称为“循环平稳信号”。
此类信号的统计特征参量虽然是时变的，但由于其自身独特的周期平稳性，使其单次采集到的记录，具有周期遍历特性，这种“循环平稳性能”，使得这类随机信号的分析处理得以实现。
传统统计信号处理方法在处理循环平稳信号时，都假定信号是平稳的，忽略了信号的循环平稳性，不能实现对循环平稳信号的最佳处理。
因此，人们开始探索充分利用信号循环平稳特征的新的信号处理方法，广泛地应用于通信、语音处理、故障诊断等多种领域[1]。
由于机械故障信号一般都是复杂的多调制源调制调幅信号，本文就以多调制源信号为例，研究二阶循环平稳分析的解调性能，改进分析方法总结规律，为更好地分析实际故障信号奠定理论基础。
1 循环平稳信号特性[2]通常情况下，随机信号统计特征，呈周期或多周期（各周期不能通约）变化。
对循环平稳信号，假设某一信号为x（t），式（1）就是循环统计量的数学表达式。
其中，cx（t,τ）k是 x（t）的 k 阶时变统计量。
最常用的统计量为均值（一阶统计量）、相关函数与功率谱密度函数（二阶统计量）。
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