上海交通大学_高等数学期末试题_A卷_附参考答案_

21f ( x) , g( x) 均为恒不为零的可微函数, 且 fc( x) g ( x) - gc ( x ) f ( x ) > 0, 则当 x > a 时, 成立不等
式 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , (A)
便。我们指出, 定积分的应用这一章, 学生应该掌握的一个基本方法就是/ 元素法0或/ 微元法0, 元
素法对于解答定积分应用题尤为重要, 在大学物理中也得到广泛的应用。全国攻读硕士学位研究
生数学入学考试多次考察定积分的应用, 其核心恰恰是/ 元素法0 的应用。因此笔者认为定积分的
应用这一章的教学中, 向学生介绍公式( 9) , 并应用/ 元素法0进行证明, 是有必要的。
参考文献
[ 1] 同济大学应用数学系 1 高等数学( 上册)1 北京: 高等教育出版社, 第五版, 2002 年 7 月1 [ 2] 华东师范大学数学系 1 数学分析( 上册)1 北京: 高等教育出版社, 第三版, 2001 年 6 月1 [ 3] 刘玉琏, 傅沛仁 1 数学分析讲义( 上册) 1 北京: 高等教育出版社, 第三版, 1992 年 6 月 1 [ 4] 刘玉琏等 1 数学分析讲义练习题选解1 数学分析讲义练习题选解 1 北京: 高等教育出版社, 1996 年 5 月 1 [5] 2003 年 全 国 攻 读 硕 士 学 位 研 究 生 入 学 考 试 数 学 试 题 ( 一 ) 1 高 等 数 学 研 究 12003, 6 ( 1 ) 1
Vol16, No, 4
高等数学研究
Dec. , 2003
STUDIES IN COLLECE MATHEMATICS
63
试题照登
上海交通大学#高等数学期末试题( A 卷) ( 附参考答案)
2002 年第一学期
一、选择题( 每题 3 分, 共 15 分, 每题选项仅有一项符合要求, 把所选项前的字母填入括号内)
0) 上对应 0 F HF
P 2
的孤线段的长度,
且求该弧段与射线
H=
0
及 H=
P 2
所围图形绕极轴旋转所得旋转体的体积
1
V=
5 2
Pa 3
21( 8 分) D 是由抛物线y= 2x( 2- x) 与 x 轴所围成的区域, 直线 y= kx 交区域 D 分为面积相
等的两部分, 求 k 的值。 ] k= 4- 2 3 4
lim
n
1+
x2n在( -
] , + ] ) ) 连续且 ,
,
,
,
,
,,
,
,
,
,,
,
,
,
,
,
,
( C)
ny ]
A1 处处可导;
B1 仅有一个不可导点;
C1 仅有二个不可导点; D1 至少有三个不可导点 1
Q 41
1 -1
1
+ 1
x +
sin2x x2
dx
=
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
( B)
A1
P 4
B1
P 2
C1 P
D101
51 微分方程 yd- 2yc= xe2x 的特解形式可设为 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ( C)
A1( ax+ b) e2x ;
B1x ( ax+ b) ;
C1x ( ax+ b) e2x ;
0
三、计算下列积分( 18 分)
Q 11 x( ex + ln2x ) dx = xex -
ex +
1 2
x 2 ln2 x
-
1 2
x
2lnx
+
1 4
x2
+
c
(6 分)
64
高等数学研究
2003 年 12 月
Q 21
P dx 0 2 + cosx
=
23arct an
x 3
|
+ 0
]
=
P 3
Q+ ]
31
11f ( x) 在
a
连续
,
且limf xya
(x) ( x-
f a
( )
a
m
)
=
c>
0, 其中 m 是偶数, 则
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
( B)
A1 a 是f ( x) 的极大值点;
B1a 是f ( x) 的极小值点;
C1a 不是f ( x) 的极大值点; D1 不能判别 a 是否f ( x ) 的极值点 1
E Q n
七、求极限 lim ny ]
i= 1
n2 +
n i2+
i=
1 0
1
1 +
x
2
dx
=
P 4
( 上接 14 页)
P
Q = -
2P 3
a 3( 1+
cosH) 3d ( 1+
cos H)
=
8 3
Pa 3
0
可见, 应用公式( 9) 计算由极坐标方程表示的曲线绕极轴旋转一周而成的立体ห้องสมุดไป่ตู้体积, 非常方
2
dx x4x2 -
= 1
1 2
arcsin
1 5
四、解下列方程( 14 分)
11( xy-
x2) yc=
y2 ]
y
ex =
cy
21yd+ 2yc+ 2y= 4exsinx ] 通解为y=
1 2
ex( sinx-
cosx) + c1 e- xcosx+ c2 e- xsinx
五、(14 分)
Q 11 设 f ( x) =
( 上接 59 页) 作预测分析。这就是灰色马氏预测分析。作中长期预测的基本思想。这种方法与股市分析中常用 的移动平均线法相比, 不但精度高, 而且避免了移动平均线法预测/ 时间滞后0 的弱点, 是对股市进 行预测分析的一种好方法。
参考文献
[ 1] 上海证券综合研究所 1 上海股票市 场数据总汇( 97)1 上海三联书店出版, 1998。
D 1 axe2x 1
二、填空题( 每小题 3 分, 共 15 分, 把答案填在题中横线上)
11f ( x) =
ln( 1+ axb) ,
ex
2
-
1
sin 2x
,
x E 0,
x< 0
在 x = 0 可导, 则 a =
1 2
,
b=
11
Q Q 21 设函数 y = y( x) 由方程 y =
2x+ y
sint 2dt -
0
x2
e-
0
tdt ( 其中 x >
0) 所确定, 则其导数ddxy =
2sin( x + y) 2 - 2xe- x
1- sin( 2x + y) 2
Q 31
2
x
4
4- x2 dx = 2P1
0
Q 41x y 0 时,
x3
sin
3 tdt
是 BVA 的等价无穷小,
则
A=
0
4 B=
3 4
1
Q2x
51f ( x) 为连续函数, F ( x) = f ( x + t ) dt , 则 Fc( x) = 3f ( 3x) - f ( x)1
lnx -
2x 2
e 1
f
(x x
)dx
,
求
f
(
x)1
]
f( x)
=
lnx -
e- 2x2
Q 21 设 f 2( x) =
x
2 f(t)
1+ fc2( t) dt - 2x, 求 f ( x)1 ] f ( x) =
1 - ex
0
六、应用题( 18 分)
11 求心脏线 r =
a ( 1+
cosH) ( a >
A1f ( x) g ( a ) > f ( a ) g ( x ) ; B1f ( x) g ( x) > f ( a ) g( a ) ;
C1f ( a ) g ( x) > f ( x ) g ( a ) ; D1f ( a ) g( a ) > f ( x ) g ( x )1
31 函数 f ( x) =