线性系统理论

第二章
对线性定常系统的零输入响应 结论 1
x Ax, x(0) x0 , t 0
输入响应的表达式为：
所描述的线性定常系统的零
At
(t;0, x0 ,0) e x0 , t 0
矩阵指数函数的性质和计算方法 基本性质
At lim e I ① t 0
第二章
②令 t 和
为两个自变量，则必成立
1t
0 1
1
0 0
0 0 0
2
0
Q 1 2 0 0 0 1
e 0 e At Q 0 0 0
te e
1t
t
1t
te
2 e1t 2! 1t
0 0 0 e2t 0
0 0 0
e1t 0 0
0 0 1 Q 0 2t te 2t e
第二章
强迫运动：系统在零初始状态下的强迫方程
x A(t ) x B(t )u , x(t0 ) x0 , t t0 , t
的解， (t ; t0 , 0, u ) ，零状态响应。 系统响应：
(t ; t0 , x0 , u ) (t ; t0 , x0 ,0) (t ; t0 ,0, u )
e
(e
At
e
③
A ( t )
e
1
A
e
At
A
e
At
e
At
总是非奇异的，且其逆为
At
)
e
④ 设有 n n 常阵 A 和 F ，如果 A 和 F 是可交换的， 即 AF FA ，则必成立
e
( A F ) t
e e e e
At Ft Ft
At
第二章
⑤ e At 对 t 的导数为：
i 个输出端在 t 时刻的脉冲响应。 以脉冲响应 gij (t ) ,(i 1,2, , q ; j 1,2, , p) ，
示第
为元所构成的
q p矩阵。
第二章
g11 (t ) g12 (t ) g (t ) g (t ) 21 22 G (t ) g q1 (t ) g q 2 (t )
0 (t ) 1 1 (t ) 1 1 2 n 1 (t ) 1 n

2 1 2 2
n
2
n 1 n
1 e t t n 1 2 e
m
(t t0 ) 由
A 唯一地确定。满足唯一性。
第二章
2.4 线性定常系统的脉冲响应矩阵 脉冲响应矩阵 具有
p个输入端和 q 个输出端的线性定常系统，系统具有零
初始状态，令在
时刻加于第 j 个输入端一个单位脉冲函数 (t )，而其他输入端的输入为零，用 gij (t )表

第二章
零输入响应和零状态响应 线性系统满足叠加原理 在初始状态和输入向量作用下的运动，分解为两个单独的分 运动。
自由运动。 输入作用 强迫运动。
初始状态 自由运动：系统的自治方程
x A(t ) x , x(t0 ) x0 , t t0 , t
(t ; t0 , x0 , 0) ，零输入响应。 的解，
n 1
1 2
1
n t e
④对给定 n n 常阵 A ，先求出预解矩阵，
第二章
1
( sI A)
则有
e L ( sI A)
At
1
1
零状态响应 给定初始状态为零的线性定常系统的强迫方程
x Ax Bu , x(0) 0, t 0
x( e
d dt
At
)x e
At
At
x
e
x Ax e
Bu (t )
对上式从 0 至 t 进行积分，得到
e
At
x(t ) x(0) e
0
t
A
Bu ( )d
第二章
x(0) 0，等式两边左乘
t
e
At
，得
(t ;0, 0, u ) 0 e At e A Bu ( )d
第二章
分析：从数学模型出发，定量地和精确地定出系统运动的变
化规律，为系统的实际运动过程作出估计。
数学：给定初始状态 x0 和外输入作用 u ，求解出状态方程 的解。 由初始状态和外输入作用所引起的响应。 系统的运动是对初始状态和外输入作用的响应，但运动的形 态主要是由系统的结构和参数所决定的，即由参数矩阵所决 定的。
第二章
uj
输出为： 令 t 0
u
k
j
(tk ) (t tk )t ,
j 1, 2,
,p
y (t )
G(t t
k
k
)u (tk )t
则
如 t0 则
定义区间 t0 , t 上是连续实函数，则其状态方程的解 x(t )
这些条件对于实际的物理系统总是能满足的，但从数学的观 点而言，条件太强了，将其减弱为：
第二章
① A(t )的各元 aij (t ) 在 t0 , t 上是绝对可积的， 即：

tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t0
aij (t ) dt , i, j 1, 2,
第二章
定性分析：对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的 几个关键性质，如能控性、能观测性和稳定性等，进行定性 分析。 2.1 引言 运动分析的实质 状态方程为：
x A(t ) x B(t )u x(t0 ) x0 , t t0 , t
或
x Ax Bu , x(0) x0 , t 0
状态方程的解 x(t ) 给出了系统运动形态对系统的结构和参数
的依赖关系。
第二章
解的存在性和唯一性条件 状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时，对系统的运动 分析才有意义。 时变系统而言，矩阵 A(t ) 和 B(t ) 的所有元在时间定义区间
t0 , t 上均为 t
存在且唯一。
的实值连续函数，而输入 u (t ) 的元在时间
第二章
k ③把 e At 表为 A (k 0,1,
, n 1) 的一个多项式，
即
e At 0 (t ) I 1 (t ) At
n1 (t ) An1
对于 A 的特征值 1 , 2 ,
, n 为两两相异的情况，
可按下式计算。
0 (t ),1 (t ), , n 1 (t )
d At e Ae At e At A dt
⑥对给定方阵 A ，必成立：
(e ) e
At m
A( mt )
, m 0,1, 2,
计算方法： ①
e
At
1 2 2 1 33 I At At At 2! 3!
第二章
②如果系统矩阵 A 的
n 个特征值 1 , 2 ,
x0 e A( t ) Bu ( )d , t t0
t0
t
第二章
物理含义： 系统的运动由两部分组成， 初始状态的转移项。 控制输入作用下的受控项。 2.3 线性定常系统的状态转移矩阵 由初始状态引起的运动，由输入作用引起的运动，都是一
状态转移，则可用状态转移矩阵来表征。
定义 ：对于给定的线性定常系统
态运动规律，即状态方程的一般形式，
x Ax Bu , x(0) x0 , t 0
结论 3 ：
(t;0, x0 , u) e x0 e
At 0
t
A( t )
Bu ( )d , t 0
或
(t ; t0 , x0 , u ) e
A ( t t0 )
x Ax Bu , x(0) x0 , t t0
第二章
其中，x为 n 维状态向量，称满足如下的矩阵方程：
(t t0 ) A(t t0 ) , (0) I , t t0
的 n n 解阵 (t t0 ) 为系统的状态转移矩阵。
(t ) e A( t )
第二章
状态转移矩阵的性质
(0) I 1 ② (t t0 ) (t0 t ) ③ (t2 t0 ) (t2 t1 ) (t1 t0 )
① ④ ⑤ ⑥
(t2 t1 ) (t2 ) (t1 )
(mt ) (t )
u 为 p 维输入向量，A 和 B 分 其中，x为 n 维状态向量，
别为 n n 和 n p 常阵。
第二章
结论 2 ：零状态响应的表达式为：
(t ;0, 0, u ) 0 e A( t ) Bu ( )d , t 0
证 ：考虑如下的显等式：
d dt
t
e
At At
,n
② B (t )的各元 bik (t )在 t0 , t 上是平方可积的， 即：
b (t ) dt
t 2 t0 ik
, i 1,2, , n, k 1,2, , p
③ u (t )的各元 uk (t )在 t0 , t 上是平方可积的，
即：
u (t ) dt
, t 0
(t t0 ) e A(t t0 ) , t t0
则零输入响应的表达式为：
(t;0, x0 ,0) (t ) x0 , t 0
(t ; t0 , x0 ,0) (t t0 ) x0 , t t0
第二章
(t t0 ) 就是将时刻 t0 之状态 x0 映射到时刻 物理意义：
, n为两两相异，
则在定出使 A 实现对角线化
1 A P
有
P 1 的变换阵 n
P 及其逆阵 P 1后，
e1 At e P
1 P n e
第二章
1 0 AQ0 0 0 1
1
0 0 0
e
0 t A ( t )
Bu ( ) d
证毕
如 t t0 ，而 t0 0 ，则
(t ; t0 ,0, u ) e
t0
t
A ( t )
Bu ( )d , t t0
第二章
线性定常系统的状态运动规律
同时考虑初始状态
x0 和外输入作用 u 的线性定常系统的状
t 2 t0 k
, k 1,2, , p
第二章
利用许瓦兹不等式有

k 1 p
p
t
t0
bik (t )uk (t ) dt
t 2
bik (t ) dt t k 1 0
t uk (t )
t
0
2
dt
1 2
②和③等价于 B(t )u (t )的元在区间 t0 , t 上绝对可积。 对于线性定常系统：系数矩阵 A 和 B 均为常阵，只要其元 的值为有限值，则条件满足，解存在且唯一。
线性系统理论
曲延滨
第二章
线性系统的时间域理论
第2章 线性系统的运动分析
状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性提供了可能性。 进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律和基本特性。 分析分为定量分析和定性分析。 定量分析：对系统的运动规律进行精确的研究，即定量地确 定系统由外部激励作用所引起的响应。
称为系统的脉冲响应矩阵。
假定系统的输出在输入加入之前的所有瞬时为零：
g1 p (t ) g 2 p (t ) g qp (t )
G (t ) 0
和 t
当输入向量的元为任意形式的时间函数时，用一系列脉冲函
数来逼近，即表为：
之状态
t
x 的一个线性变换。
在定义时间区间内决定了状态向量的自由运动。 用状态转移矩阵表示的系统运动规律表达式
(t;0, x0 , u) (t ) x0 (t ) Bu( )d , t 0
0
t t0
t
(t ; t0 , x0 , u ) (t t0 ) x0 (t ) Bu ( )d , t t0
第二章
2.2 线性定常系统的运动分析
零输入响应
自治方程： 其中，
u 0 , x Ax, x(0) x0 , t 0
x 为 n 维状态向量， A 为 n n常阵。
的矩阵函数：
nn
1 22 At e I At A t 2!
称为矩阵指数函数。
1 k k A t k 0 k !