东南大学高等数学期中期末试卷

东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）

课程名称 高等数学（非电） 考试学期 04-05-2

得分

适用专业 非电类各专业

考试形式

闭卷

考试时间长度 150分钟

一. 填空题（每小题4分，共20分）

1．函数()⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡+=x x f 11的间断点 是第 类间断点.

2. 已知()x F 是()x f 的一个原函数,且()()2

1x

x xF x f +=,则()=x f . 3.

(

)()

=-+⎰--x x x x x d e e 111

2005 .

4. 设()t u u x f x

t d d 10sin 14⎰⎰⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=,则()=''0f . 5. 设函数()()01d 23

>+=

⎰

x t

t x f x x

,则当=x 时,()x f 取得最大值.

二. 单项选择题(每小题4分,共16分)

1. 设当0x x →时,()()x x βα,都是无穷小()()0≠x β,则当0x x →时,下列表达式中不一定为无穷小的是 [ ]

(A)()()x x βα2 (B)()()x

x x 1sin 2

2βα+ (C)()()()x x βα⋅+1ln (D)()()x x βα+

2. 曲线()()

211

arctan

e 21

2

+-++=x x x x y x

的渐近线共有 [ ]

(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条

3. 下列级数中收敛的级数是 [ ]

(A)

∑

∞

=1

21

n n

(B) ∑∞

=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111ln n n (C) ()n

n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∑∞=111 (D) ∑⎰∞

=+1

1

04d 1n n x x x 4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有

()()⎰⎰

≤b

a

d

c

x x f x x f d d .

(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有

()()⎰⎰

+=T

T

a a

x x f x x f 0

d d .

(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)

1. ()()30

2

0d cos ln lim x t

t t x

x ⎰+→. 2. 判断级数∑∞

=-13

54n n n n

的敛散性. 3. x x x x d cos cos 042⎰-π

. 4. ⎰∞+13d arctan x x

x . 5. 求初值问题 ()()⎪⎩

⎪

⎨⎧-='=+=+''210,10sin y y x

x y y 的解.

四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴

影部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小

五

.(7

分

)

设

b

a <<0,

求证()b

a a

b a b +->2ln

. 六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件

()()()0d 110

=+-+'⎰x

t t f x x f x f

且()10=f ,试证:当0≥x 时,有 ()1e

≤≤-x f x

成立.

x

ln

七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且

()()0d tan d 1

1

11

==⎰⎰--x x x f x x f ,

证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .

04-05-2高等数学(非电)期末试卷答案及评分标准 05.1.14

一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 0,一; 2.

2

1x Cx +; 3. 1

e 4-; 4. 1; 5. 3

4

3

. 二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1. A; 2.B; 3. D; 4.C. 三. (每小题7分,共35分) 1. 原式=

()分分分26

1

)2(1cos lim 3131)3(3cos ln lim 202

20 =-+=

+→→x x x x x x x

2. 分515453153154lim 354354lim lim

1111

1

<=⎪

⎭

⎫

⎝⎛-⎪

⎭⎫ ⎝⎛-⋅=--=+∞→+++∞→+∞→n n

n n n n n n n n n

n n a a

由比值法知原级数收敛. 分2

3. 原式 =

()()分分分22

2d cos sin 3d cos sin 220

0 π

ππ

π

π

=

=⎰⎰

x x x x x x

4. 原式()分31d arctan 211

221

2

⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡+--

=⎰

∞

+∞

+x x x x

x

=

()分分22

1

2d 111218

122 =⎪⎭

⎫

⎝⎛+-+

⎰∞+x

x x π

5. 对应的齐次方程的通解为 分2sin cos 21 x

C x C y +=

非齐次方程x y y =+''的一个特解为()分11 x y =,非齐次方程x y y sin =+''的一个