二元Freund型指数分布的特征及参数估计

（ ＋ ２ ’ ）
Ｅｗ ｆ ｚ ｘ—ｙ｛
，
Ｗ Ｘ—ＹＩ ｌ —
（ ＋ ） 。 ２
ห้องสมุดไป่ตู้
由此 得
［ 摘
要］ 利 用 分 布 密 度 分 拆 的思 想 ， 出 Ｔ ２ ｉ ｒｕ ｄ型 指 数 分 布 的 一个 特 征 ， 用 该 特 征 ， 导 Ｆ ｅｎ 利 获得 了 二
元 Ｆｅｎ ｒｕ ｄ型 指 数 分 布 参 数 的 最 大 似 然 估 计 及 矩 估 计 ， 给 出 了强 度 服 从 二 元 Ｆｅ ｎ 还 ｒｕ ｄ型指 数 分 布 时 并 联 结 构
’ Ｉ２ ２ ） ｅＵ ’ ｚ ． ｆ （ 一 ２－ １ ＞Ｏ ２ ，
证 直 接计算 可得 ．
弓理 ２ 设（ ｙ ￣Ｆ Ｖ Ｄ Ａ ， ，： ； ，４ Ｉ ｘ， ） Ｂ Ｅ （ ， ）贝有 ｆ１１ｚ ， 一１ ） ｔ￣ ｘ ［ （１ ） — ］ ｘ ，＞Ｏ Ｐ ｆ （） ｛ Ｙ（ ＝／／ｅ ｐ － ＋ ｚ２— ｚ １； ｚ ， ＞Ｏｚ ，
它是 第一 个一 元指 数分 布 的二 元推 广 ， 于 它的特 征及参 数估 计研 究就 显得有 一定 意义 ． 关 本文 在第 １ 节
给 出了二元 Ｆ ｅ ｎ ｒｕ ｄ型指 数分布 的特 征及 参数 估计 ， 在第 ２ 给 出了强 度 服从 二元 Ｆ ｅ ｎ 节 ｒｕ ｄ型指 数分 布
时并联 结构 系统 的可靠 度估 计及模 拟 ．
记作 （ ｙ） Ｂ Ｄ（ Ａ ，： ）设 ｚ＝ ｎ ｘ， ，设 Ｊ ， Ｘ＜Ｙ 时 ， ｉ ２ 当 ｘ≥ｙ 时 ； ｘ， ￣Ｆ ＶＥ Ｘ ，２Ａ ， ． ＝ｍｉ（ ｙ） ＝ 一１ 当 设 － ， 记
Ｐ 一Ｐ Ｉ ）（一１ ２ ， ） （ —ｉ ，） ｆ （ 表示 给定 Ｉ ‘ Ｚ 的条 件密度 函数 ； Ｐｆ （ ） 示 （ Ｄ的联合 密度 ； ＝ｉ 时 记 ２ 表 Ｚ， 记
Ｆ ｅ ｎ ［］ １６ ｒｕ ｄ １ 于 ９ １年 引入 了如下 的二元 指数 分布
Ｐ ｘ ｘ２ １，
１ ｅｐ 一 ； 一（１ ２ ） １ ， ０ １ ２ ｘ ［ ２ ＋ 一 ｚ ］ ≤ｚ ＜ｚ ，
（ ， 一 ２ｐ （＋。 ｚ ，ｏ ｚ ｚ Ｘｚ １ ｅＥ ｚ ：２ ≤ ｌ。 ｘ — 一 １ 一 ）］ ≤ ，
系统的可靠度估计及模拟． ［ 键 词 ］ Ｆ ｅｎ 关 ｒｕ ｄ型 ； 元 指 数 分 布 ； 征 ； 大 似 然 估 计 ； 估 计 ； 靠 度 ； 拟 二 特 最 矩 可 模
［ 中图分类号］Ｏ２２ ４ １ ．
［ 文献标识码］Ａ
［ 文章编号］１ ７ —４ ４ ２ １ ） ５０ ４ —４ ６ ２１ ５ （０ １０ —０ ８０
【２２ ）１ Ｙ ｚ一 ２ ｘＥ ＋ ２ 一 ］ ｘ ， ． ｆ（ 厂 一Ｉ ） （ ｅｐ－（ ） ｚ ， ＞０ｚ ＞Ｏ
证 直接计 算 可得．
定理 １ （ ｙ －Ｆ ＶＥ Ａ，２ ： ；当且仅当Ｐ—Ｐ Ｊ＝ 一＿，：１２这里ｉ １ ． １ ｘ，） ］ Ｄ（１ ， ， ） Ｂ （＝ ） Ａ ，， ＝ ｉ ＝１＋ ２且（）
Ｚ Ｅ ， ｙ—Ｘ￣Ｅ ） ～ （） ａ ∑（； ；
Ｚ～ Ｅ（ ）， Ｘ — ｙ～ Ｅ（ ） 。
，
定理 ２ 设（ ｙ ～Ｆ Ｖ Ｄ Ａ ，ｚ ： ： ， ， Ｊ（ ＝１ ２ …， 为它的样本 那 么参 数 ， ， ｘ， ） Ｂ Ｅ （－ ， ， ） （ ｙ ） ， ， ） ； 大似 然估 计及 矩估 计均 为 最
［ 收稿 日期］２０ 一Ｉ０ ； ［ ０ ８ｌ一６ 修改 日期］２ ０—２１ ０ ９０—９
第 ５期 （） ２ 同时满 足 ： （ ｉ ）给定 ｉ １时 ， － Ｚ与 ｙ—Ｘ 相互 独立 ， 且
４ ９
（ ）给定 １ ｉ ｉ ＝２时 ， Ｚ与 —ｙ相互 独立 ， 且 证 直接 验证 可得 ．
，
一
＝ ＝ ＝
÷ ， ｉ ，； ＝ｌ２
Ｚ
一
Ｗ２
Ｗ
』 — ｙ
Ｉ ｊ
ｆ —ｙ『 Ｘ
这
一
【， ｘ ０ ≥ｙ，
‘ Ｉ， ｘ ” 一 ０ ＝ ＜ｙ，
’ ， ” ： —
’ ，
一— 一 ，
∑
Ｗ Ｉ Ｘ—ｙｌ 一
１ 二 元 Ｆ ｅｎ ｒｕ ｄ型 指 数 分 布 的特 征 及 参 数 估 计
称 （ ｙ） Ｘ， 服从 二元 Ｆ ｅ ｎ ｒｕ ｄ型指 数分 布的 随机变 量 ， 它有 如下 的密度 函数 ： 指
Ｐｃ ＝ ； 三 ： ： ： ，＝ 二 ：； ： ， 二 ； ｚ 二
ＥＷ 上＋ ａ — ２，
ａ１
，
Ｗ Ｘ—ｙ１ ｆ 一
一
１ ２ ，，
一
～
Ｗ ｉ —
土
ＥＺ—
１
，
ｌ Ｊ
． ， 得
ｋ ， － ２ ａ１－ａ
，
ｉ １， 一 ２，
Ｚ—
１
证 由
＋ ’ ２
１ｘ—ｙｆ Ｉ 一
ＥＷ
Ｗ １ Ｘ—ｙｌ —
第２ ７卷 第 ５期
２１ ０ １年 １ ０月
大 学 数 学
ＣＯＬＬＥＧＥ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖ ｏ． ７。 ｏ ５ １２ Ｎ ．
Ｏｃ ． ０ １ ｔ２ １
二元 Ｆ ｅｎ ｒｕ ｄ型 指数 分 布 的特 征 及参 数估 计
李 国 安
（ 波 大 学 数 学 系 ，宁 波 ３ ５ １ ） 宁 １２ １
Ｐ ｚ厂 （） （）‘ ｌｚ 表示（ ，，Ｘ－Ｙ１的联合密度． 厂 一 ｚ ｌ － ） 有如下的引理 ：
引理 １ 设 （ ｙ） Ｂ Ｄ（ ， ， ） 则 有 ｘ， ￣Ｆ ＶＥ Ａ ，２ ，
ｆ１ １ 一 Ｕ ２ 户 ｆ （） １－ １ ｋ， ｚ Ｏ ｅ ＞ ，