一类时滞静态递归神经网络的全局鲁棒稳定性

收稿日期:2007209230

基金项目:国家自然科学基金资助项目(10771199)

作者简介:陶霓(19832　

),女,硕士研究生,主要研究方向为动力系统与神经网络.Email :tncolorcrystal @ 王林山(19552　

),男,博士,博士生导师,主要研究方向为动力系统与神经网络.Email :wls115cn @ 文章编号:167129352(2008)0320040203

一类时滞静态递归神经网络的

全局鲁棒稳定性

陶霓,王林山

(中国海洋大学数学系,山东青岛266071)

摘要:运用M 2矩阵的性质、Liapunov 泛函方法及不等式技巧,研究了一类时滞静态递归神经网络的全局鲁棒稳定性,给出了全局鲁棒稳定性的新的代数判据。关键词:静态神经网络;时滞;全局鲁棒稳定性中图分类号:O175 文献标志码:A

On global robust stability for a class of static recurrent neural

netw orks with delays

T AO Ni ,W ANGLin 2shan

(Department of Mathematics ,Ocean University of China ,Qingdao 266071,Shandong ,China )

Abstract :By using properties of the M 2matrix ,method of Liapunov function and inequality technique ,the global robust stability for a class of static recurrent neural netw orks with delays was studied ,and a new algebraic criterion was given.K ey w ords :static neural netw orks ;delays ;global robust stability

0　引言

局域递归神经网络模型(Local field recurrent neural netw ork m odels )将神经元内部状态作为变量研究,这类模型已被广泛研究[1]

。静态递归神经网络模型(Static recurrent neural netw ork m odels )将神经元的外部状态作为基本变量研究。目前,静态神经网络模型的动力学性质还未被深入地讨论。由于ReBp (The recurrent bake 2propagation )神经网络、Op 2type (The optimization 2type )神经网络等模型都是静态递归神经网络模型,因此,静态递归神经网络模型具有广泛的代表性,对其进行研究具有理论和应用两方面的价值。文献[2]中,H.Qiao 研究了如下静态神经网络模型:

d x i (t )

d t

=-a i x i (t )+f i ∑n

j =1w ij x j (t )+I i ,a i >0,i =1,2,…,n 。因为在网络的运行及信号的传递过程中,时滞是不可避免的,因此研究时滞静态神经网络是必要的而且更

有意义。本文运用M 2矩阵的性质、Liapunov 泛函方法[3]

及不等式技巧,研究了一类时滞静态神经网络的全局鲁棒稳定性。

　第43卷　第3期　V ol.43　N o.3

山　东　大　学　学　报　(理　学　版)

Journal of Shandong University (Natural Science )

2008年3月　

Mar.2008　

1　预备知识

考虑如下时滞静态递归神经网络

d x i (t )

d t

=-a i x i (t )+f i ∑n j =1t ij x j (t )+I i +g i ∑n

j =1w ij x j (t -τij )+P i ,a i >0,i =1,2,…,n 。(1)

A I ={A =diag (a i )n ×n :A ≤A ≤ A ,i.e.a i ≤a i ≤ a i ,i =1,2,…,n ,ΠA ∈A I ,

T I ={T =(t ij )

n ×n

:T ≤T ≤ T ,i.e.t ij ≤t ij ≤ t ij ,i ,j =1,2,…,n ,ΠT ∈T I

,

W I ={W =(w ij )n ×n :W ≤W ≤ W ,i.e.w ij ≤w ij ≤ w ij ,i ,j =1,2,…,n ,ΠW ∈W I

,

τI ={τ=(τij

)n ×n :0≤τ≤τ≤ τ,i.e.0≤τij ≤τij ≤ τij ,i ,j =1,2,…,n ,Πτ∈τI 。(2)

其中,t ij ,w ij 为连接权重,τij 表示时滞,t ij ,w ij ,τij 和 t ij , w ij , τij 分别是t ij ,w ij ,τij 的上、

下确界。a i ,I i ,P i 为常数。系统(1)可转化为如下向量形式:

d x (t )

d t

=-A x (t )+f (T x (t )+I )+g (W x (t -τ

)+P )。(3)定义1[4,5]

　对于具有条件(2)的系统(1),若对任意的A ∈A I ,T ∈T I ,W ∈W I ,τ∈τI ,系统(1)的惟一平

衡点x 3=(x 31,x 32,…,x 3n )T

是全局渐近稳定的,则称系统(1)是全局鲁棒稳定的。

引理1

[6]

　矩阵B =(b ij )n ×n 是一个M 2矩阵,则B 的逆矩阵存在,且存在σ=(σ1,σ2,…,σn )>0,使得

σB >0,存在Q =(Q 1,Q 2,…,Q n )T

>0,使得BQ >0。

作如下假设:

(H 1)存在常数αi ,βi >0,(i =1,2,…,n )使得|f i (x )-f i (y )|≤αi |x -y |,i =1,2,…,n ,

|g i (x )-g i (y )|≤βi |x -y |,i =1,2,…,n ,Πx ,y ∈

R 。(H 2)B =A -γW 3为M 2矩阵。

为行文方便引入下列符号:

A =diag (a 1,a 2,…,a n ),α=diag (α1,α2,…,αn ),β=diag (β1,β2,…,βn ),

γ=diag (γ1,γ2,…,γn )=diag (α1+β1,α2+β2,…,αn +βn ),x

+=(|x 1|,|x 2|,…,|x n |)T

,I

+=(|I 1|,|I 2|,…,|I n |)T ,P +=(|P 1|,|P 2|,…,|P n |)T ,f +(0)=(|f 1(0)|,|f 2(0)|,…,|f n (0)|)T

,

g +

(0)=(|g 1(0)|,|g 2(0)|,…,|g n (0)|)T

,V =αI +

+βP ++f +(0)+g +

(0),

H

+

=(|H 1|,|H 2|,…,|H n |)T ,W 3=(|w 3ij |)n ×n ,|w 3

ij |=max{|t ij |,| t ij |,|w ij |,| w

ij |,

i ,j =1,2,…

,n 。

2　主要结果

定理1　若系统(1)满足条件(H 1),(H 2),则对于任意的常值输入I ∈R n ,P ∈R n

,系统(1)存在惟一的全

局鲁棒稳定的平衡点。

证明　(Ⅰ

)平衡点的存在性。令h (x ,I ,P )=Ax -f (Tx +I )-g (Wx +P )。

(4)

其中A ∈A I ,T ∈T I ,W ∈W I ,I =(I 1,I 2,…,I n )T ,P =(P 1,P 2,…,P n )T

,i =1,2,…,n 。由(H 1)得 |f i (x )|≤αi |x |+|f i (0)|,|g i (x )|≤βi |x |+|g i (0)|,i =1,2,…,n ,Πx ,y ∈

R 。(5)定义同伦映射

H (x ,λ)=λh (x ,I ,P )+(1-λ

)x ,　λ∈J =[0,1]。(6)

则　|H i (x ,λ)|=λa i x i -f i ∑n

j =1t ij x j +I i -g i ∑n

j =1

w ij x j +P i +(1-λ

)x i ≥

|(1-λ+λa i )x i |-λαi

∑n

j =1

t ij x j +I i +|f i (0)|-λβi

∑n

j =1

w ij x j +P i +|g i (0)|

≥

　第3期陶霓,等:一类时滞静态递归神经网络的全局鲁棒稳定性

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