金融工程学第三章

现在，我们就来用这两个基本证券来复制证券B和为证 券B定价。 首先，购买μPB 份（即103份）基本证券1和dPB 份（即 98.5份）基本证券2构成证券组合，在1年后不管市场是 上升还是下降状态，该证券组合产生的现金流都和证券 B相同，所以该证券组合是证券B的复制品。 由无套利均衡分析可知，证券B与复制品现在的市场价 格应该相等，于是证券B现在的市场价格应该是： PB=πμμPB+πddPB=0.4357 × 103+0.5447 × 98.5 ≈ 98.53 元 算出的结果和方法一的结果是相同的，这说明这种方法 是有效的。
如果未来时刻有N种状态，这N种状态的价格都已知， 那么只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况 和市场无风险利率水平，就可以对该资产进行定价， 这就是状态价格定价技术。该技术运用了无套利均衡 分析的基本思想和方法。我们以最简单的两种状态的 情况来举例说明： 假如有一份（有风险）证券A，现在的市场价格是PA， 1年后市场价格会出现两种可能的情况：价格上升至u PA，称为上升状态，出现这种情况的概率是q；或者价 格下跌至d PA，称为下跌状态，出现的概率为1-q。也 就是说，1年后证券A会出现两种不同的状态价格，如 下图所示：
（2）B公司的每股应该是6000万元/60万股=100元。
而B公司每股的现在价格是90元，显然B公司的股票被低 估了，所以存在套利机会。
（1）可以这样套利：卖空1％的A公司股票，买入1 ％的B公司债券，买入1％的B公司股票，将可以获得 无风险套利。套利交易产生的现金流如下：
西方经济学中基本的分析方法是供给与需求的均衡分 析。自20世纪50年代后期，莫迪利亚尼和米勒提出著 名的MM理论以后，无套利分析方法就成为现代金融 学的革命性方法。 无套利（No-arbitrage）分析方法，实质上就是最基 本、最简单的现金流的复制，该现金流的复制技术可 用于金融资产和金融工具的定价，也可以用于风险规 避和寻找套利机会。 无套利均衡分析，是金融工程的核心思想和基本方法， 其贯穿金融工程的始终，是金融衍生品定价的核心技 术，金融工程的所有定价问题都可以通过无套利均衡 分析来加以解决。
【例3-2】假定3种零息票债券面值都为100元，它们当前 的市场价格分别是：
1年后到期的零息票债券的价格为97元；
2年后到期的零wk.baidu.com票债券的价格为95元；
3年后到期的零息票债券的价格为92元； 若不考虑交易成本和违约情况，现市场上另有一面值为 100元的债券A，票面利率为10%，一年支付一次利息，3 年后到期，问： （1）债券A的当前合理价格应该是多少元？
（1）MM理论的基本假设： ①市场是无摩擦的，即不存在交易成本、代 理成本和破产成本，不存在公司所得税和个 人所得税。
②个人和公司可以按照相同的利率进行借贷，同 时不论举债多少，个人和公司的负债都不存在风 险。 ③经营条件相似的公司具有相同的经营风险。 ④不考虑企业增长问题，所有利润全部作为股利 分配。 ⑤公司的任何信息都可以无成本地传递给市场的 所有参与者。
（2）若市场上债券A的价格为119元，是否存在套 利机会？若有，如何构造套利策略？ （3）若市场上债券A的价格为121元，又如何构造 套利策略？ 解：（1）债券A的现金流为： ⑴第一年末获得100×10%=10元 ⑵第二年末获得100×10%=10元 ⑶第三年末获得100+100×10%=110元 现金流量图为：
⑵MM理论的基本结论：
①MM理论第一命题：在MM理论假设条件下，企 业价值与其资本结构无关。 ②MM理论第二命题：在MM理论假设条件下，资 金成本取决于对资金的运用，而不是取决于资金 的来源。 ③MM理论第三命题：在一定的条件下，企业的 市场价值与其除息政策无关。
（3）MM理论的意义：
该理论的提出极大的震惊了金融学术界，两人荣
解：A公司的价值是：

EBIT 1000 1000 PV 10000万元 t t 10% t 1 (1 10%) t 1 (1 10%)
A公司的股票每股应该是10000万元/100万股＝100元 B公司每年需要支付利息4000×8％＝320万元。 B公司的权益价值是10000万元－4000万元=6000万元。

记无风险利率为rf，则无风险总利率 =1+ rf 现在来定义一类与状态相对应的假想的证券，称之为 基本证券。基本证券1在1年后，如果市场上升，其市 场价值为1元，如果市场下降，其价值为0。基本证券 2则相反，1年后市场下跌时价值为1元，上升时价值 为0。将基本证券1目前的价格记为πμ，基本证券2目 前的市场价格记为πd。 现在可以用基本证券来复制上述的有风险证券A，购买 μPA 份基本证券1和dPA份基本证券2，由此构成的证券 组合，在1年后不管发生何种状态，都产生和证券A完 全同样的现金流，所以是证券A的复制品。由无套利均 衡分析，复制与被复制证券现在的市场价格应该相等： PA=πμμPA+πd dPA 即：πμμ+πd d=1
表：不确定状态下无风险套利现金流 套利头寸 即时现金流 未来现金流（元） （元） 状态1 状态2 买入1份证券B -110 118 105 卖空0.65份证券A 0.65×100 0.65×110 -(1+2%)×45.59 0 -0.65×90 -(1+2%)×45.59 0
卖空价值为45.59元的无 风险证券 45.59 净现金流 0.59

金融工程研究的一项核心内容是对金融资产或
金融工具进行估值和定价，方法是：利用复制 技术，将某项金融资产与市场中其他金融资产 组合起来、形成一个与无风险资产具有相同现 金流的投资组合、使其在市场均衡时只能获取 无风险利润，从而算出该金融资产在市场均衡 时的均衡价格，来作为它的价值。 当市场处于不均衡状态时，金融资产的价格会 偏离其应有的价值而引起套利机会，套利力量 将会推动市场重建均衡，使金融资产的价格回 到其应有的价值上，套利机会随之消失。
“0.1张1年期、0.1张2年期和1.1张3年期”相当于债券 A的一份复制组合，相当于一张债券A。 由无套利均衡分析可知，债券A的当前价格必须与该组合 现在的价值相等，否则就有套利机会。 所以该债券A的当前的合理价格为： 0.1×97+0.1×95+1.1×92=120.4元 （2）若债券A的现价为119元，说明其价值被低估，可 以构造如下套利策略： ⑴买入1张债券A； ⑵卖空1张债券A 的复制组合；即卖空：0.1张1年期零息 债券、0.1张2年期零息债券、1.1张3年期零息债券；套 利金额：120.4-119=1.4元
获诺贝尔经济学奖。他们理论成果中包含的无套 利均衡思想随后产生了巨大的影响，成为现代金 融学的方法论革命。
【例3-1】假定有A、B两家公司，他们的资产性质完全相同， 但资本结构（负债/所有者权益）不一样。两家公司每年创造 的息税前利润（EBIT－earning before interest and taxes） 都是1000万人民币。 其中：A公司的资本全部由股本权益构成，共100万股，投资 人对A公司的预期收益率为10％，这也是A公司的资本成本。 B公司的资本中有4000万元负债，可以认为是公司发行的债 券，年利率为8％，假定B公司现在的权益股份是60万份，且 每股定价90元人民币。 问： （1）作为一名投资者，现在是否存在套利机会？如果有应该 如何套利？ （2）利用无套利原理确定B公司的股价，使得投资者没有机 会套利。
净收益理论
营业收益理论
折中理论
1958年，莫迪利亚尼和米勒发表了著名的
论文——《资本成本、公司金融和投资理 论》，提出了现代资本结构理论——又称MM 理论。 企业资本结构的最简单含义是企业负债和 权益的比例结构。MM理论揭示出企业的资 本结构与企业的价值无关，由此引申出企 业的金融活动本质上并不创造价值的结果， 并阐明企业价值究竟是如何创造的，企业 的金融活动又是通过什么途径来创造企业 价值的。
因此，由0.65份证券A的多头和价值为45.59元的无 风险证券构成的组合，其未来的损益与证券B未来的 损益完全相同，所以证券B的价格等于该组合现在的 价格，即： PB=0.65×100+45.59=110.59（元）
注意：如果头寸的数值（x,L）解出来是负值，说明与 原来头寸的假设相反，应该是空头。 如果债券B现在价格为110元，市场低估了债券B，因 此存在套利机会。买进证券B，卖出证券B的复制组合， 就可以获得无风险套利利润。
金融工程的基本分析方法
（1）资本结构的概念 所谓资本结构是指企业各种长期资金来源的构成和 比例的关系。即是企业长期债务成本与股权成本的 比例。 资本结构理论认为：企业财务目标是使企业价值最 大化，而企业价值由股权价值和债务价值构成。企 业的财务目标就是要确定两者之间的最佳比例，从 而使得企业价值最大化。
所谓无套利就是金融市场不存在套利机会，即市场有效。如 果存在套利机会，套利者就可以构造套利组合（买入低估的 资产，同时卖出高估的资产），从而使得被低估的资产需求 增加，高估的资产需求下降，直到套利机会消失。 根据无套利均衡分析的思想：在有效市场中，任何一项 金融资产的定价应当使得该项金融资产进行无风险套利的机 会不复存在。 其关键在于：未来具有相同损益或现金流的两个金融资 产或资产组合，其现在的价值应该要相等，否则就会有无风 险的套利机会。
（2）西方国家传统的资本结构理论：
传统资本结构理 论
主要观点 债务成本低于权益成本，那么负债越 多，企业的加权平均资本成本就越低 ，企业的价值就越大。 当负债比例为100%时。企业的价值 最大 企业在增加成本较低的债务资本的同 时，企业风险也增加，则会导致股权 资本成本提高，故不存在最佳资本结 构。 是净收益理论和营业收益理论的折中
现在我们利用已有的3种零息票债券“复制”出上述现金流 ⑴购买0.1张1年期的零息债券，1年后，收益为100×0.1=10 元 ⑵购买0.1张2年期的零息债券，2年后，收益为100×0.1=10 元
⑶购买1.1张3年期的零息债券，3年后，收益为 100×1.1=110元
现金流量图为：
这样构造的零息票债券组合在未来产生的现金流和债券A在未 来的现金流完全相同，即：

与此同时，通过购买1份基本证券1和1份基本证券2构 成的证券组合，1年后无论市场出现何种状态，这个证 券组合的市场价值都将是1元。这是一项无风险投资， 由无套利均衡分析，其收益率应该是无风险收益率rf： （πμ+πd ） =1 联立两式形成方程组：

解得
需要说明的是： ⑴由上式可知，如果题目给出了上升比率μ、下降比率d、 和无风险总利率 ，就可以求出基本证券1、2的价格πμ、 πd。 ⑵基本证券不仅可以用来复制证券A和为证券A定价，还 可以用来复制任何证券和为任何证券定价。 【例3-4】假如证券A现在的市场价格是PA=100，rf=2%， u=1.07，d=0.98，其1年后的市场价格如图，另有一个证 券B，它在1年后的状态价格如图。请问证券B的价格是多 少？
现在考虑利用证券A和无风险证券L来构建一个与证 券B未来损益相同的复制组合。
构建一个组合：x份证券A的多头和现在价值为L的无风险 证券多头来复制证券B，使该组合未来的损益与B的损益 完全相同。无风险证券现在的价值为L，1年后的价值为 （1+2%）L。因此有以下两个方程：
解得：x=0.65（份）,L=45.59(元)
（3）若债券A的现价为121元，说明债券A价值被高 估，可以构造如下套利策略： ⑴卖空1张债券A； ⑵买入1张债券A的复制组合；即买入： 0.1张1年后 到期的零息票债券、0.1张2年后到期的零息票债券、 1.1张3年后到期的零息票债券
套利金额：121-120.4=0.6元
【例3-3】假设有一个风险证券A，当前的市场价格是 100元，1年后的市场有两种状态，在状态1时证券A的 价格上升至110元，在状态2时证券A的价格下跌至90元。 同样，也有一个证券B，它在1年后的损益为：在状态1 时上升至118元，在状态2时下跌至105元。假设无风险 年利率为2%（一年计一次复利），并且不考虑交易成本。 试问证券B的合理价格为多少？如果证券B的现在价格为 110元，是否存在套利？如果有，如何套利？ 解：证券B未来的损益与证券A不同，两个证券的损益状 态如图所示。