采样周期的选取

8-1 采样周期的选取

8-1-1 采样定理

采样定理也称香农(Shannon)定理,其结论如下:

如果采样角频率ωs (或频率f s )大于或等于2ωm (或2f m ),即

(8-1) 式中ωm (或f m )是连续信号频谱的上限频率,见图8-1,则经采样得到的脉冲序列能无失真 的再恢复到原连续信号.

从物理意义上来理解采样定理那就是,如果选择这样一个采样频率,使得对连续信号所含的最高频率来说,能做到在其一个周期内采样两次以上,则在经采样获得的脉冲序列中将包含连续信号的全部信息.反之,如果采样次数太少,即采样周期太长,那就做不到无失真的再现原连续信号.

8-1-2 采样周期的选取

采样周期T 0是数字控制系统设计的一个关键因素,必须

给以充分注意.工程实践证明,采样周期T 0根据表8-1给出的参考数据选取时,可以取得满意的控制效果.

对于随动系统,采样周期的选取在很大程度上取决于系统的性能指标.在一般情况下, 控制系统的闭环频率响应具有低通滤波特性,当随动系统输入信号的频率高于其闭环幅频特性的谐振频率ωr 时,信号通过系统将会很快衰减,而在随动系统中,一般可近似认为,开环频率响应幅频特性的剪切频率ωc 与闭环频率响应幅频特性的谐振频率ωr 相当接近,即幅频特性的谐振频率ωc ≈ωr .也就是说,通过随动系统的控制信号的最高频率分量ωc ,超过ωc 的分量通过系统时将被大幅度的衰减掉.根据工程实践经验,随动系统的采样频率ωs 可选为

ωs ≈10ωc (8-2) 考虑到T 0=2π/ωs ,则按式(8-2)选取的采样周期T 0与系统剪切频率ωc 的关系为

(8-3)

从时域性能指标来看,采样周期T 0通过单位阶跃响应的上升时间t r 及调整时间t s 可按下列经验关系式选取,即

(8-4)

(8-5)8-2 信号保持

信号保持是指将离散信号—脉冲序列转换成(或恢复到)连续信号的转换过程.用于

m

s ωω2≥0

ω

ωm

-ωm

|ε(j ω)|

图8-1连续信号频谱

c

T ωπ150=

s t T 40

10=

控制过程

采样周期(s)

流量 压力 液面

1

5 5

表8-1 采样周期T 0的参考数据 r t T 10

10=

这种转换过程的元件称为保持器.从数学意义上来讲,保持器的任务是解决各采样时刻 之间的插值问题.

8-2-1 零阶保持器

零阶保持器是在数字控制系统中应用最广泛的且具有常值外推功能的保持器,用 符号H 0来表示.也就是说,对于零阶保持器有下式成立,即

(8-6) 式中αp 为常值,η的变化范围是0≤η≤T 0.显然,在η=0时,式(8-6)也成立,这时有

(8-7) 由式(8-6)及(8-7)求得

(8-8) 式(8-8)说明零阶保持器是一种按常值规律外推的保持器.它把前一个采样时刻nT 0的采 样值ε(nT 0)不增不减的保持到下一个采样时刻(n+1)T 0到来之前的一瞬间.当下一个采 样时刻(n+1)T 0到来时,应以ε[(n+1)T 0]为常值继续外推.也就是说,任何一个采样时刻的 采样值只能作为常值保持到下一个相邻的采样时刻到来之前,其保持时间显然是一个 为采样周期T 0.零阶保持器的输出信号εH (t)如图8-2所示

零阶保持器的时域特性g H

1,宽度为T 0的方脉冲.高度等 于1,;宽度等于T 0,说明零阶保持器对采样值 G H (s)为 从图8-2看到,经由零阶保持器转换得到的连续信号具有阶梯形状,它并不等于采样前 的连续信号ε(t).平均地看,由零阶保持器转换得到的连续信号(图8-2中的点划线特性)在 时间上要迟后于采样前的连续信号.式表明,这个迟后时间等于采样周期的一半,即T 0/2.

8-2-2 一阶保持器

一阶保持器是一种基于两个采样值ε(nT 0)与ε[(n+1)T 0]按线性外推规律保持脉冲序 列ε*(t)的保持器.线性外推函数的斜率为 ,而外推函数值为 式中 η=t -nT 0; nT 0≤t ≤(n+1)T 0.

基于线性外推规律得到的一阶保持器的输出信号εH (t)示于图8-4.根据输出信号

εH (t)可求取一阶保持器的时域特性g H (t),并由时域特性g H (t)求得相应的频率响应为

从式(8-12)可见,,其平均相移 .因此,数字控制系统普遍采用零阶保持器.

()p

nT ατε=+0()0

0αε=nT ()()0

000,

T nT nT <≤=+τετεs

s G H (8-9)

()2

00

2

2sin T

j H e T T T s G ωωω-=(8-10)

()()

[]{}0

001T T n nT --εε()()()()[]

τ

εεετε0

00001T T n nT nT nT --+

=+()()()002

002002

2sin 1T arctg T j H e T T T T j G ωωωωωω--⋅⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛

+=

8-3 Z 变换

8-3-1 Z 变换

1. 设连续时间函数x(t)可进行拉氏变换,其象函数为X(s).考虑到t<0时x(t)=0,连续时

间函数经采样周期为T 0的采样开关后,得到脉冲序列为 对上式进行拉氏变换,得到

(8-13) 因复变量s 含在指数函数e -nT0s 中不便计算,故引进一个新变量

(8-14) 将式(8-14)代入式(8-13),求得以z 为变量的函数X(z),即

(8-15) 式(8-15)所示X(z)称为离散时间函数—脉冲序列x *(t)的Z 变换,记为X(z)=Z[x *(t)].连续时 间函数x(t)与相应的采样脉冲序列x *(t)具有相同的Z 变换,即

(8-16) 2. 求取离散时间函数—脉冲序列的变换有多种方法,下面举例说明其中的三种. (1) 级数求和法

将式(8-15)写成展开形式,即

(8-17) 式(8-17)是离散时间函数x *(t)Z 变换的一种级数表达形式.显然,只要知道连续时间函数 x(t)在采样时刻nT 0(n=0,1,2,…∞)上的采样值x(nT 0),便可通过式(8-17)求取其Z 变换的展 开形式.

例1. 试求取单位阶跃函数1(t)的Z 变换.

解 单位阶跃函数1(t)在所有采样时刻上的采样值均为1,即

1(nT 0)=1, n=0,1,2,…∞ 根据式(8-17)求得

在上式中,若|z|>1,则上式可写成下列闭式,即

(8-18)

()()()

∑∞

=*

-=0

00n nT t nT x t x δ()()∑∞

=-*

=0

00n s

nT e nT x s X s

T e z 0=()()∑∞

=-=0

0n n

z nT x z X ()[]()[]

()

z X t x Z t x Z ==*()()()()()⋅

⋅⋅++⋅⋅⋅+++=---n z nT x z T x z T x x z X 0201020()⋅

⋅⋅++⋅⋅⋅+++=---n z z z z 2111()1

1111-=

-=

-z z

z z