2021届江西省高考理科数学总复习第2讲：命题及其关系、充分条件与必要条件

2021届江西省高考理科数学总复习

第2讲：命题及其关系、充分条件与必要条件

[最新考纲] 1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件p⇒q且q p

p是q的必要不充分条件p q且q⇒p

p是q的充要条件p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件p q且q p

[常用结论]

1．在四种形式的命题中，真命题的个数只能为0,2,4.

2．p是q的充分不必要条件，等价于﹁q是﹁p的充分不必要条件．其他情况依次类推．

3．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q 的充分不必要条件⇔A B；p是q的必要不充分条件⇔A B；p是q的充要条件⇔A＝B.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()

(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．()

(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()

(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．()

[答案](1)×(2)×(3)√(4)√

二、教材改编

1．下列命题是真命题的是()

A．矩形的对角线相等

B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

C．若整数a是素数，则a是奇数

D．命题“若x2＞0,则x＞1”的逆否命题

A[令a＝c＝0，b＝d＝－1，则ac＜b d，故B错误；当a＝2时，a是素数但不是奇数，故C错误；取x＝－1，则x2＞0，但x＜1，故D错误．] 2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是()

A．“若x＜y，则x2＜y2”

B．“若x＞y，则x2＞y2”

C．“若x≤y，则x2≤y2”

D．“若x≥y，则x2≥y2”

C[根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C.]

3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B[若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.]

4．命题“若α＝π

3，则sin α＝

3

2”的逆命题为________命题，否命题为

________命题．(填真或假)

假假[若α＝π

3，则sin α＝

3

2的逆命题为“若sin α＝

3

2，则α＝

π

3”是假

命题；否命题为“若α≠π

3，则sin α≠

3

2”是假命题．]

考点1命题及其关系

判断命题真假的2种方法

(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

(2)间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

1.下列命题是真命题的是()

A．若1

x＝

1

y，则x＝y B．若x

2＝1，则x＝1

C．若x＝y，则x＝y D．若x＜y，则x2＜y2 [答案]A

2．下列命题中的真命题是()

①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；